专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯 性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ .................................................................................................................................................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型.................................................................................................................................8 ...............................................................................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知如图，等腰直角三角形B，∠B=90°，P 为底边B 的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF 为等腰直角三角形（由①②推得）；③E=FB 或E=F；④ ； ⑤ ；⑥ 。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形B，∠B=90°，点 是 的中点 同理可得： ， ，∵B=，∴E=FB； 又 是直角， 是等腰直角三角形，同理：易证 是等腰直角三角形。 ∴E+F=FB+F=B，∴ 。 ，∴SEPF=SEP+SPF=SEP+SPE=SP，∴ 。 ∵E=FB，E=F，∠B=90°；∴ 例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， 为边 的中点，点 ， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ） ．18 B． ．9 D． 【答】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是 解题关键．连接 ，根据等腰直角三角形的性质以及 得出 ，将四边形 的 面积转化为三角形 的面积再进行求解． 【详解】解：连接 ，如图： ∵ ， ，点D 是 中点， ∴ ∴ ， ∴ 又∵ ∴ 故选： 例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P 是 中点，两边 分别交 于点E、F，当 在 内绕顶点P 旋转时（点E 不与、B 重合），给出下列四个结论：① 是等腰三角形；②M 为 中点时， ；③ ； ④ 和 的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，根据等角的余角相等求出 ，然后利用“角边角”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，全等三角形的面积相等求出 ， 随着点E 的变化而变化， 不一定等于 ，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ， ，然后解答即可． 【详解】解：∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ∵点P 为 的中点，∴ ， ∵ 是直角，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ 是等腰三角形，故①正确； ∴ ，故④正确； ∵ 随着点E 的变化而变化，∴ 不一定等于 ，故③错误； ∵M 为 中点， ，∴ ， ∴ ，故②正确；故①②④正确，故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出 是解决此题的关键． 例3．（23-24 九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1 的正方形BD 的对角线，BD 相交于点，∠MP 为直 角，使点P 与点重合，直角边PM，P 分别与，B 重合，然后逆时针旋转∠MP，旋转角为θ（0°＜θ＜ 90°），PM，P 分别交B，B 于E，F 两点，连接EF 交B 于点G，则下列结论：①EF＝ E；②S 四边形 EBF：S 正方形BD＝1：4；③BE+BF＝ ；④在旋转过程中，当△BEF 与△F 的面积之和最大时，E＝ ； ⑤G•BD＝E2+F2．其中结论正确的个数是（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】 【分析】①由四边形 是正方形，直角 ，易证得 （S），则可证得结论；②由 ①易证得 ，则可证得结论；③ ，故可得结 论；④首先设 ，则 ， ，继而表示出 与 的面积之和，然后利用二 次函数的最值问题，求得答；⑤易证得 ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 ，再利用 与 的关系， 与 的关系，即可证得结论 【详解】解：① 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， （S）， ， ， ，故正确； ② ， ，故正确；③ ，故正确； ④过点 作 ， ， ，设 ，则 ， ， ， ， 当 时， 最大； 即在旋转过程中，当 与 的面积之和最大时， ，故错误； ⑤ ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ，故正确故选 【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三 角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题注意掌握转化思想的应用是解此题的关键 例4．（23-24 八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 中， ， ， 为 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点 上，得到 ，将 绕点 旋转，射线 ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，如图1 所示． (1)操作发现：如图2，当 ， 分别是 ， 的中点时，试猜想线段 与 的数量关系是________， 位置关系是________． (2)类比探究：如图3，当 ， 不是 ， 的中点，但满足 时，判断 形状，并说明理由． (3)拓展应用：①如图4，将 绕点 继续旋转，射线 ， 分别与 ， 的延长线交于 ， 两点，满足 ， 是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由； ②若在 绕点 旋转的过程中，射线 ， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，满足 ，若 ， ，则 ________（用含 ， 的式子表示）． 【答】(1) ， (2) 是等腰直角三角形，理由见详解 (3)① 是等腰直角三角形，理由见详解；② 或 或 【分析】（1）根据题意易得 ，然后可证 ，则问题可求证；（2）连接 ， 然后可证 ，则有 ，进而问题可求解；（3）①连接 ，然后可 证 ，则有 ，进而问题可求解；②根据①及（2）可直接进行求解． 【详解】（1）解：连接 ，如图所示： ∵ ， ， 为 的中点， ∴ ， ，∴ 都是等腰直角三角形， ∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ；故答为 ， ； （2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：连接 ，如图所示： ∵ ， ， 为 的中点，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形； （3）解：① 仍然具有（2）中的情况，理由如下：连接 ，如图所示： ∵ ， ， 为 的中点， ∴ ， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形； ②由①和（2）可知：在 绕点 旋转的过程中，始终有 ， 当 ， 是 ， 上的点，如图3，∵ ， ，∴ ； 当射线 ， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，如图4，∴ ； 当射线 ， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，如图所示：∴ 故答为 或 或 ． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角 形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 模型2 等直+高分线模型 等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。 条件：如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于 点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ． 结论：① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ；⑤ ． 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ． 平分 ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ， ， ， 平分 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离， ， ∵ ，∴ ，∵三角形BD 是等腰直角三角形，∴ 。 例1．（23-24 九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， 于D， 平分 ，且 于E，与 相交于点F，是 边的中点，连接 与 相交于点G，以下结论中： ① 是等腰三角形；② ；③ ；④ ． 正确的结论有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】 【分析】证明 可得 ，即可判定①；证明 得到 ，进而证 明 得到 ，即可判断②；利用三线合一定理和直角三角形的性质得到 ， ，进而利用勾股定理得到 ，由此即可判断③；如图所示， 连接 ，证明 ，得到 ，利用勾股定理即可证明 ，即可判断 ④． 【详解】解：∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，即 是等腰三角形，故①正确； ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故②正确； ∵是 边的中点，∴ ， ，∴ ， ∴ ，故③正确； 如图所示，连接 ，∵ ， ∴ ，∴ ， 在 中，由勾股定理得 ，∴ ，故④正确；故选． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和 定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识，通过证明三角形全等得到相应的线段相 等，进而利用勾股定理得到结论是解题的关键． 例2．（23-24 八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰 中， 于点 D， 的平分线分别交 于E、F 两点，M 为 的中点， 的延长线交 于点，连接 ， 下列结论：① ；② 为等腰三角形；③ ；④ ，其中正确结论有 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出 ， ， ，进而证 ，即可判断①；根据 平分 ，得出 ，再根据三角 形的内角和定理得出 ，即可得出 ，即可判断②；根据等腰三角 形的三线合一即可得出 ，即可判断③；再证 ，推出 ，即可判断④． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ，∴ 为等腰三角形，故②正确； 又∵M 为 的中点，∴ ，故③正确； 在 和 中， ， ，故①正确； 在 和 中 ， ， ， ，故④正确；即正确的有4 个，故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上 中线性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理等相关知识的应用，能熟练 运用相关图形的判定与性质是解此题的关键，主要考查学生的推理能力． 例3．（23-24 八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图， 中， ， 于 ， 平 分 ，且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连结 与 相交于点 ．（1） 说明： ；（2）说明： ；（3）试探索 ， , 之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）利用S 判定Rt△DFB≌Rt△D，从而得出BF=． （2）利用S 判定Rt△BE≌Rt△BE，得出E=E= ，又因为BF=所以E= = BF （3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解． 【解析】解：（1）∵D⊥B ∠ ∴ BDF=∠D=90 ∠+∠D=90 ∵BE⊥ ∠ ∴ +∠FBD="90 " ∠ ∴ FBD=∠D ∵ ∠BD="90 " ∠ ∴ DB= ∴BD="D " △ ∴BDF △ ≌D ∴ (2) ∵ 平分 ∴△B 关于直线BE 成轴对称图形 ∴ ∵ ∴ (3) 连结G ∠ ∵ DB= ∵D⊥B △ ∴BD 是等腰直角三角形 ∵是B 的中点 ∴D 是B 的中垂线 ∴G="BG " ∠EG=2∠EB=45 ∵BE⊥ △ ∴GE 是等腰直角三角形 ∴E=GE= G 即E=GE= BG 例4．（23-24 八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角 中， ， ，点 为 上一点， 于点 ，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ． (1)若 ，求证： 垂直平分 ；(2)若点 在线段 上运动． ①请判断 与 的数量关系，并说明理由；②求证： 平分 ． 【答】(1)证明见解析(2)① ，理由见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂 直平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用 证明 得到 ，即可推出 为 的垂直平分线； （2）①利用同角的余角相等得到 ，利用 证明 ，即可得到 ； ②作 交 于点，先证明 ， ， ，再利用 证明 ， 推出 是等腰直角三角形，据此即可证明 ，从而得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，∴ 为 的垂直平分线； 方法二：∵ 且 ，∴BD垂直平分 ； （2）解： ，理由如下：∵ ，∴ ， ∵ 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， 又∵在等腰直角 中， ， ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ； ②作 交BD于点，∴ ，∴ ， ∵ ， ，且 ，∴ ， ∵等腰直角 中， ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ，即 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ∴ 平分 ． 1．（23-24 山东威海九年级上期中）已知 中， ， ，D 是 边的中点，点 E、F 分别在 、 边上运动，且保持 ．连接 、 、 得到下列结论：① 是等腰 直角三角形；② 面积的最大值是2；③ 的最小值是2．其中正确的结论是（ ） ．②③ B．①② ．①③ D．①②③ 【答】B 【分析】证明 ，进一步可得 ， ，所以可知 是等腰直角三角形．故①正确；根据由于 是等腰直角三角形，可知当 时， 最 小，此时 ， ．故③错误；利用 ，推出 ， 当 面积最大时，此时 的面积最小，求出此时 ，故 ②正确； 【详解】解：①∵ 是等腰直角三角形，∴ ， ； 在 和 中， ∴ ；∴ ， ； ∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形．故此选项正确； ③由于 是等腰直角三角形，因此当 最小时， 也最小； 即当 时， 最小，此时 ．∴ ．故此选项错误； ②∵ ，∴ ，∴ ， 当 面积最大时，此时 的面积最小， ∵ ， ，∴ ，∴ ， 此时 ，故此选项正确； 故正确的有①②，故选：B 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟 练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 2．（2024·广东汕头·二模）如图，四边形BD 为正方形， 的平分线交B 于点E，将 绕点B 顺 时针旋转90°得到 ，延长E 交F 于点G，连接BG，DG 与相交于点．有下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）个 ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】①由旋转的性质得 ，可得 ； ②由正方形的性质得 ，即 ，进而可得 ； ③先证明 ，可得 ，根据 ， 平分 可得 进 而可得 ； ④先证明 ，可得 ，即 ，故可求解． 【详解】解：①∵根据旋转可知， ， ，故①正确； ②由正方形的性质得 ， 平分 ， ， ， ， ，故②正确； ③ ，∴=F，∵G 平分 ，∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ，故③正确； ④ ， ， ， ， ， ，故④正确，综上，正确的结论是①②③④，共四个，故D 正确．故选：D． 【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分 线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多， 综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角 中， ， 于点D， 的平 分线分别交 于点E，F，M 为 中点， 延长线交 于点，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ；⑤ ，其中正 确结论的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】根据三线合一的性质证明 ，即可判断①；证明、B、D、M 四点共圆，则 ，得到 ，即可判断③；证明 ，过点D 作 于 点，则 ，设 ，则 ，得到 ，则 ，即 ，即可判断②；求出 ，过点D 作 于点P，求出 ，即可判断④；证明 ，则 ，利用等 量代换即可判断⑤ 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ 平分 ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵M 为 中点，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 在 和 中 ， ∴ ，∴ ，∴①正确； ∵ ，∴、B、D、M 四点共圆，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ 平分 ∴③正确； ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 过点D 作 于点，则 ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ∵ ∴ ，即 ，∴ ；故②正确； ∵ ，∴ ∴ ， 过点D 作 于点P，则 ，∴ ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ∴ ，故④错误； ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，故⑤正确； 综上可知，正确结论是①②③⑤，故选： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，全等三角形的 判定和性质、四点共圆等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键，综合性较强． 4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，BE 平分∠B，且BE⊥于点E，与 D 交于F，是B 边的中点，连接D 与BE 交于点G，则下列结论：①BF＝；②∠＝∠DGE；③E＜BG； ④S△D＝S 四边形EG；⑤DG•E＝D•EF 中，正确结论的个数是（