专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型（解析版）

专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578 模型 模型1、垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图1 图2 图3 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。 【变形1】 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 【变形2】 条件：如图3，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意一点，连接P、BP，P，DP；结论：P2+P2=DP2+BP2 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ____________． 【答】34 【分析】在Rt△B 和Rt△B 中，根据勾股定理得B2+2=B2，D2+2=D2，进一步得B2+2+D2+2=9+25，再根据 B2=B2+2，D2=2+D2，最后求得B2+D2=34． 【详解】解：∵BD⊥，∴∠B=∠B=∠D=∠D=90°， 在Rt△B 和Rt△B 中，根据勾股定理得， B2+2=B2，D2+2=D2，∴B2+2+D2+2=9+25， ∵B2=B2+2，D2=2+D2，∴B2+D2=34；故答为：34． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一 数学模型是解题关键． 例2．（2023 秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若 ， ， 则 的长为（ ） ．25 B．3 ．4 D． 【答】D 【分析】在 中， ，在 中， ，再根据 即可得出答． 【详解】解：在 中， ，在 中， ， ∴ ， ∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键． 例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，、BD 是方程 的两个解，则四边形 的面积是（ ） ．60 B．30 ．16 D．32 【答】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理 快速求解即可． 【详解】由题意可知：四边形 的面积 ∵、BD 是方程 的两个解， ∴ ，四边形 的面积 ， 故答为：B． 【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线 的成绩计算面积是解题关键． 例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P 是矩形BD 所在平面内任意一点，则有以 下重要结论：P2+P2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△B 中，＝4，B＝6，D 是△B 内一点，且D＝2，∠DB＝90°，则B 的最小值为_____． 【答】4 2 ﹣ 【分析】以D、BD 为边作矩形DBE，连接E、DE，根据题意可得 ，即可求出E 的长度， 当、D、E 三点共线时，B 的值最小，且为E 与D 长度之差，故B 最小值可求． 【详解】解：以D、BD 为边作矩形DBE，连接E、DE，如图所示： 则B＝DE，由题意得： ，即 ，解得：E＝ ， 当、D、E 三点共线时，DE 最小，∴B 的最小值＝DE 的最小值＝E-D＝ -2，故答为： -2． 【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已 给的新知推断D、E、、B 之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值． 例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对 角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点， ， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M 的坐标为________； (3)如图（2），将 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接 ， ， ．求 证： ，即四边形 是勾股四边形； (4)若将图（2）中 绕顶点B 按顺时针方向旋转度 ，得到 ，连接 ， ，则 ________°，四边形 是勾股四边形． 【答】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4) 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形； （2）如图（1）中，以、B 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形MB 的顶点M 的坐标为（3，4）或（4， 3）；（3）如图（2），连接E，只要证明△DE 是直角三角形即可解决问题； （4）如图（3），当 °，四边形BD 是勾股四边形．连接E，只要证明△DE 是直角三角形即可 解决问题． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答为矩形、正方形； （2）解：如图（1）所示， ∴M 的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答为（3，4）或（4，3）； （3）证明：如图（2），连接E，由旋转得： ≌ ，∴ ， ， ∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形； （4）解：如图（3）， °，四边形 是勾股四边形． 理由如下：连接E，由旋转得： ≌ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形；故答为 ． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 例6．（2022 秋·江西抚州·九年级校考阶段练习） (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形 ②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号） (2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说 明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点 ，试探究 ， ， ， 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ， ， ，已知 ， ， 求 ． 【答】(1)③④(2)四边形BD 是垂美四边形；理由见解析 (3) ；理由见解析(4) 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答； （4）证明△GB≌△E，进而得出E⊥BG，根据（3）的结论计算即可． （1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④ 正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答为：③④； （2）解：四边形BD 是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵B＝D，∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∵B＝D，∴点在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线是线段BD 的垂直平分线，∴⊥BD，即四边形BD 是垂美四边形； （3）解： ， 证明如下：如图①，∵⊥BD，∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得， ， ，∴ ； （4）解：如图3，连接BE、G，设B 与E 交于点M， ∵∠G＝∠BE＝90°，∴∠G+∠B＝∠BE+∠B，即∠GB＝∠E， 在△GB 和△E 中， ， ∴△GB≌△E（SS），∴∠BG＝∠E， ∵∠E+∠ME＝90°，∴∠BG+∠BM＝90°，即E⊥BG， ∴四边形GEB 是垂美四边形，∴ ， ∵B＝10，＝8，∴ ， ， ， ∴ ，则GE＝ ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾 股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 模型2、378 和578 模型 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因 为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等 边三角形。 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时； 结论：①这两个三角形的面积分别为6❑ √3、10❑ √3；②3、8 与5、8 夹角都是60°。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150° ．135° D．120° 【答】D 【分析】法1：拼成一个边长为8 的等边三角形，即可求解。法2：设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作 D⊥B 于点D，设BD=x，分别在Rt△DB 和Rt△D 中，利用勾股定理求得D，从而可建立方程，求得x 的值， 可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵△B 的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形， 又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°， 所以最大角和最小角的和是 120°故选D 法2：设△B 的三边B=5，=7，B=8，过点作D⊥B 于点D，如图 设BD=x，则D=8-x 在Rt△DB 中，由勾股定理得： ；在Rt△D 中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵ ，D⊥B∴∠BD=30゜∴∠BD=90゜-∠BD=60゜∴∠B+ =180 ∠ ゜-∠BD=120゜ ∵B>>B∴∠B>∠BD>∠故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾 股定理的使用创造了条件． 例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，则∠B＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 【答】 【分析】法1：拼成一个边长为8 的等边三角形，即可求解。法2：过点作 交B 延长线于点D， 设D=x，则B=3+x，在 和 中，利用勾股定理求出 ，可求出D 的长，从而得到BD 的 长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】法1：∵△B 的边长为3，7，8， ∴其可以和边长为5，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B 为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°故选 法2：如图，过点作 交B 延长线于点D， ∵在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，可设D=x，则B=3+x， 在 中， ，在 中， ， ∴ ，解得： ，∴B=3+x=4， ∴在 中， ，∴ ，∴ ．故选 ． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的 一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7，试过作D 垂直B 于点D 并求出D 的长度． 解：如图所示，作D⊥B 于点D，设D＝x，则BD＝B﹣D＝5﹣x， 则在直角三角形BD 和直角三角形D 中，由勾股定理有：B2﹣BD2＝2+D2， 即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故D 长度为1． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形，从而求解。 例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△B 中，B＝16，＝14，B＝6，则△B 的面积为（ ） ．24 B．56 ．48 D．112 【答】 【分析】如图，过 作 于 ，设 ，则 ，根据 中 ， 利用勾股定理建立方程，求得 ，继而用勾股定理求得 ，从而求得面积． 【详解】法1：∵该三角形的三边长的比为 3 7 8 ∶∶， ∴其可以和三边长的比为 5 7 8 ∶∶的三角形（边长为 10，14，16）拼成一个边长为 16 的等边三角形， ∴拼成的等边三角形的高为 8❑ √3，∴△B 的面积为1 2×6×8❑ √3=24❑ √3 法2：如图，过 作 于 ，设 ，则 ， 在 中 解得 故选 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△B 的三边长分别为5，7，8，△DEF 的三边分别为5，2x，3x 5 ﹣， 若两个三角形全等，则x=__． 【答】4 【详解】∵两个三角形全等， ∴ 或 ，解得：无解或x=4 故答为4 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形，从而求解。 例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△B 中，B＝8，＝7，∠B＝60°，则△B 的面积为 ． 解：如图所示：作D⊥B 交B 于点D，则∠D＝90°． ∵∠B＝60°，∴∠BD＝30°．设BD 为x，则D 为（8﹣x），B 为2x． ∵∠BD＝30°∴ ＝ ，＝7，∴D＝ x． ∴（ x）2+（8﹣x）2＝72． 解得x1＝ ，x2＝ ． ∴当x1＝ 时，△B 的面积为S＝ B•D＝ ×8× × ＝6 ； 当x2＝ 时，△B 的面积为S＝ B•D＝ ×8× × ＝10 ．故答为6 或10 ． 课后专项训练 1．（2023 春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，点E 为对角线BD 上任意一点，连接E、E． 若B=5，B=3，则E2-E2等于( ) ．7 B．9 ．16 D．25 【答】 【分析】连接，与BD 交于点，根据题意可得 ，在 与 中，利用勾股定理可得 ，在 与 中，继续利用勾股定理可得 ，求解 即可得． 【详解】解：如图所示：连接，与BD 交于点， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴ ， 在 中， ，在 中， ， ∴ ， 在 中， ，在 中， ， ∴ ，∴ ， 故选：． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E 是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论 正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点E 作EF B ⊥，延长FE 交D 于点M，由题意可证四边形BFM，四边形DFM 是矩形，可得 M=BF，MD=F，MF D ⊥，根据勾股定理可得： ． 【详解】如图：过点E 作EF B ⊥，延长FE 交D 于点M． ∵四边形BD 是矩形，∴∠BD= B= BD= D=90° ∠ ∠ ∠ 又∵EF B ⊥∴四边形BFM，四边形DFM 是矩形∴M=BF，MD=F，MF D ⊥ ∵ ， ， ， ∴ 故：选． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键． 3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ， 则四边形 的面积最大值是（ ） ．16 B．32 ．36 D．64 【答】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：设 ，四边形 面积为S，则 ， 则： 当 时，S 最大为：32﹔故选：B． 【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键． 3．（2023·山东八年级课时练习）已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则∠＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 【答】 【分析】法1：拼成一个边长为8 的等边三角形，即可求解。法2：过点作D⊥B 于D，设D＝x，则BD＝ B−D＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出D＝4，则D＝ ，再证∠D＝30°． 【详解】法1：∵△B 的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形， 如图，观察图形可知∠为等边三角形的一个内角，所以∠=60°故选 法2：过点作D⊥B 于D，如图所示： 设D＝x，则BD＝B−D＝5−x，在Rt△BD 中，由勾股定理得：D2＝B2−BD2， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2＝2−D2， ∴B2−BD2＝2−D2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴D＝4， ∴D＝ ，∴∠D＝30°，∴∠＝90°−30°＝60°，故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股 定理，证出∠D＝30°是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△B 的边长分别为5，7，8，则△B 的面积是（ ） ．20 B．10 ．10 D．28 【答】 【分析】过作D B ⊥于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图， B=5 ∵ ，=7，B=8，过作D B ⊥于D，∴B2-BD2=2-D2=D2，∴52-BD2=72-（8-BD）2， 解得：BD= ，∴D= ，∴△B 的面积=10 ，故选． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8 的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形 BD 的对角线、BD 满足＋BD＝12，则当＝ 时，四边形BD 的面积最大． 【答】6 【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：设 ，则 ∵四边形BD 的对角线互相垂直，∴ ， 则： ．∴=6 时，面积有最大值；故答是6． 【点睛】本题主要考查了配方求最大值，准确分析计算是解题的关键． 7．（2022 秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形 的对角线 、 互相垂直于点 ， ， ， ，那么 ． 【答】 / 【分析】过点 作 于 ，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 ，在 中， 由勾股定理可得 ，然后借助 的面积求出 ，再在 中，由勾 股定理可得 ；证明 ，由相似三角形的性质计算 的长即可． 【详解】解：如下图，过点 作 于 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴在 中， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∵ ， 又∵ ， ∴