专题12 三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题12 三角形中的重要模型之面积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 等积变换基础模型............................................................................................................................... 1 模型2 蝴蝶（风筝）模型............................................................................................................................... 9 模型3 燕尾（定理）模型............................................................................................................................. 13 模型4 鸟头定理（共角定理）模型.............................................................................................................18 模型5 金字塔与沙漏模型............................................................................................................................. 23 ...............................................................................................................................................27 模型1 等积变换基础模型 模型1）等底等高的两个三角形面积相等； 如图1，当AB // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线AB // 。 图1 图2 图3 模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如图2，当点D 是B 边上的动点时，则S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，当点D 是B 边上的动点，BE⊥D，F⊥D 时，则S△BD∶S△D＝BE∶F。 证明：模型1）如图1，过点作E⊥D、过点B 作BF⊥D。∵AB // ，∴E=BF。 ∵ ； ；∴ 。反之同理可证。 模型2）如图2，过点作⊥B。 ∵ ； ；∴S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，过点作F⊥D、过点B 作BE⊥D。 ∵ ； ；∴S△BD∶S△D＝BE∶F。 例1．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D 是边 上的点，且 ，则 与 的面积之比为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】此题考查了三角形面积问题，解题的关键是掌握三角形面积的表示方法．设点到 的距离为， 首先表示出 ， ，结合 ，得到 ． 【详解】解：设点到 的距离为，∴ ， ， ∵ ，∴ ．故选：． 例2．（23-24 八年级下·河北沧州·期中）如图， ， 分别是 的边AB，CD上的点， 与DE相 交于点 ， 与CE相交于点 ，若 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则阴 影部是的面积为 ． 【答】7 【分析】本题考查了平行四边形的性质，连接 、 两点，过点 作 于点 ．根据平行四边形 的性质得出 ， 进而减去公共的 的面积可得 ，同理 ，得出 ，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接 、 两点，过点 作 于点 ． ∵ ， ，∴ ． ∵四边形是 平行四边形，∴ ， ∴ 的 边上的高与 的 边上的高相等， ∴ ，∴ ，同理 ，∴ ． ∵ ， ，∴ ，故阴影部分的面积 ． 例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为 的角平 分线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ． 【答】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D 作 ， 为 的角平分线， ∵ 为 中点，∴ 设 ，则 则 ，故答为： ． 例4．（23-24 七年级下·江苏镇江·期中）【探究】 如图1， 是 中 边上的中线， 与 的面积相等吗？请说明理由， 【应用】如图2，点、B、分别是 、 、 的中点，且 ，则图2 中阴影部分的面积为 ； 【拓展】（1）如图3， 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，延 长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 为 ． （2）如图4， 中， ， ，点D、E 是 、 边上的中点， 、 交于点F．若 的面积为S，则四边形 面积为 （用含S 的代数式表示）；四边形 的面积存在最大值， 这个值为 ． 【答】探究： ，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2） ，32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接 ， ， ，运用探究结论可知 ，则 ，同理可得 ，即可求得阴影部分的面积； 拓展：（1）如图，连接 ， ，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得 结论；（2）连接 并延长交 于 ，可知 是 边上的中点，记6 个小三角形的面积分别为 ， ， ， ， ， ，可得 ，进而可得 ，可知四边 形 面积 ，要使得四边形 面积 最大，只需要使得 的面积最大，则只需 要 ，可得 的面积最大值为 ，即可求得四边形 面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 【详解】解：探究： ，理由如下：过点 作 ，交 于 ， ∵ 是 中 边上的中线，则 ， ∴ ，即： ； 应用：连接 ， ， ， ∵点、B、分别是 、 、 的中点，∴ ， ， ， ∴ ，则 ， 同理可得 ，∴阴影部分的面积为 ，故答为：24； 拓展：（1）如图，连接 ， ． ∵ ，则 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ 的面积 ．故答为：54； （2）连接 并延长交 于 ，∵点 、 是 、 边上的中点，∴ 是 边上的中线， 记6 个小三角形的面积分别为 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ∴ ，即： ，∴ ，即： ， 同理可知， ，∴ ， ∴四边形 面积 ，要使得四边形 面积 最大，只需要使得 的面积最大， ∵ 中， ， ，∴要使得 的面积最大，则只需要 ， ∴ 的面积最大值为 ， 则四边形 面积最大值为 ，故答为： ，32． 例5．（23-24 八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线 ， ， 为直线 上的点， ， 为直 线 上的点．如果 ， ， 为三个定点，点 在直线 上移动，那么无论点 移动到何位置， 与 的面积始终相等，其理由是 ___． 应用： （1）如图 ， 、 、 三点在同一条直线上， 与 都是等边三角形，连结 ， ．若 ， ，求 的面积．（2）如图，已知 ， ， ， 是矩形 边上的点，且 ， ，连结 交 于点 ，连结MC交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ， 若四边形 的面积等于，求四边形 的面积． 【答】规律：同底等高的两个三角形的面积相等；（1） （2） 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理，等边三角形的性质，平行线之间的距离等知识点； 规律：利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”求 即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等” ，将四边形 的面积拆成4 个小三角形，将四个小三角形转化为矩形 的一半，即可求解． 【详解】解：规律：∵直线 ，∴点 和点 到直线 的距离相等． 又∵在 和 中， ，∴ （同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答为：同底等高的两个三角形的面积相等． （1）如图所示，过点 作 于点 ， ∵ 与 都是等边三角形，∴ ∴ ，∴ ∵ ∴ ∵ ， ，∴ ∴ ∴ ∴ ； （2）如图所示，连接 ， ∵四边形 是矩形，∴ ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 又 ，∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ 模型2 蝴蝶（风筝）模型 蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则 四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 1）任意四边形的蝴蝶定理： 如图1，结论：① 或 ；② 。 证明：由基础模型2）知： ； ；即故 ；即 。 由基础模型2）知： ；即 。 2）梯形蝴蝶定理： 如图2，结论：① ；② 。 证明：∵四边形BD 为梯形，∴D//B，∴易证 ，∴ 。 同理可证得： 。 例1．（23-24 八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形 中， 和 相交于点，把 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，则下列各式成立的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】作 于点 ，从而可分别表示出 和 然后可得出 ，同理可得出 ，这样即可证得 ． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 则 ， ， ，同理可证： ， ， ．故选：D． 【点睛】本题考查了三角形面积的求法．解答该题时，主要是抓住不同底等高三角形面积间的数量关系． 例2．（23-24 九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形 中， ， ，如果对角 线 与 相交于点， 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下列 结论中，不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】证 ，可得 ，再利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式 逐一分析判断各选项即可得出结论． 【详解】解：∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故B 符合题意； ∵ ，∴ ，即 ，故不符合题意； ∵ ，∴ ，即 ，∴ ，故不符合题意； ∵ ， ，∴ ，∴ ，故D 不符合题意；故选B 【点睛】本题考查的是梯形的性质，相似三角形的判定与性质，等底或等高的两个三角形的面积之间的关 系，证明 是解本题的关键． 例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别 为 ，则梯形的面积为 ． 【答】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据梯形，得到 ，过作 于E，延长 交 于F，则 ，证明 ，得到 ，设梯形上下底分别为 ，两个三角形对应的高分别为 ，根据三角形的面积公式，得到 ，再根据梯形的面积公 式进行求解即可．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，是解题的 关键． 【详解】解：∵四边形 是梯形，∴ ， 如图，过作 于E，延长 交 于F，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， 设梯形上下底分别为 ，两个三角形对应的高分别为 ，∴ ，∴ ∴ ；故答为： ． 例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究 请阅读下列材料，完成相应的任务： 凸四边形的性质研究 如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做 凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成 的两对对顶三角形的面积之积相等． 例如，在图1 中，凸四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ， ， ， 的面积分别为 ，则有 ，证明过程如下： 任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形 的对角线 相交于 点 ，分别记 ， ， ， 的面积为 ，求证 ； （3）如图3，在四边形 中，对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的面积为________________． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；（2）分别过点 作 于点 于点 ，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；（3）设 ， ， 根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可． 【详解】解：（1）∵ ， ， ； （2）如答图，分别过点 作 于点 于点 ． ； ； ； ； （3）由 ， ， ，设 ， ， 根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等， 可得：3x²=4×6=24,则x=2 ,即 ， ， ∴四边形 的面积= + + + =4+6+ + =10+8 ． 【点睛】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线 分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键． 模型3 燕尾（定理）模型 条件：如图，在 中，E 分别是 上的点， 在 上一点。 结论：S1 S2 S3 S4 （S1+S3）（S2+S4） BE E。 证明：由基础模型2）知： ； ；故 ； 即S1 S2 S3 S4 （S1+S3）（S2+S4） BE E。 例1．（23-24 七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的 比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： ； （结论应用）（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积； （拓展延伸）（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明： ； （迁移应用）（4）如图4， 中，M 是 的三等分点 ，是 的中点，若 的面 积是1，请直接写出四边形 的面积： ． 【答】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用： 【经验发展】过作 于，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； 【结论应用】连接 ，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得 到 与 面积之间的关系； 【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到 与 面积之间的关系； 【迁移应用】连接 ，设 ,即可得出 , , ,进而得到 ． 【详解】（经验发展）如图1，过 作 于 ， ， ， ，即 ． （结论应用）如图2，连接 ，∵ ， ， 又∵ ， ， ， 又 的面积为1， 的面积为12． （拓展延伸）如图3，∵ 是 上任意一点，∴ ， ∵ 是 上任意一点， ， ， ∴ ，即 ． （迁移应用）如图4，连接 ，∵ 是 的三等分点 ，∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ．故答为 ． 例2．（23-24 七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1， 是 的中线， 与 的 面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1 中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以 ，于是 ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】如图2，点D 在 的边 上，点P 在 上． 若 是 的中线，请判断 与 的大小关系，并说明理由． 若 ，则 ： ______． (2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形 的各边，使得，B，，D 分别为 的中点， 依次连接E，F，G，得四边形 ．直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______． 【答】(1)① ，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的 关键．（1）①根据中线的性质可得 ，点 为 的中点，推得 是 的中线， ，得到 ，即可得出结果；②设 边 上的高为 ，根据三角形的面积公式 可得 ， ，即可推得 ，同理推得 ，即可求得 ，即可证明 ； （2）连接 ， ， ，根据中线的判定和性质可得 ， ， ， ，推得 ， ，即 可求得 ，即可证明 ． 【详解】（1）解：①证明：∵ 是 的中线，∴点 为 的中点， ， ∴ 是 的中线，∴ ，∴ ， 即 ，∴ ②设 边 上的高为 ，则 ， ， ∵ ，∴ ，同理 ， 则 ，即 ，∴ ． （2）①证明：连接 ， ， ，如图： ∵点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点， ∴ ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中线， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，即 ． 例3．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）已知 是ΔABC的 边上一点，连结 ，此时有结论 ，请解答下列问题：（1）当 是 边上的中点时， 的面积 的面积（填“>”“<” 或“=”）． （2）如图1，点 分别为 边上的点，连结 交于点 ，若 、 、 的 面积分别为5，8，10，则 的面积是 （直接写出结论）． （3）如图2，若点 分别是ΔABC的 边上的中点，且 ，求四边形 的面积．可 以用如下方法：连结 ，由 得 ，同理： ，设 ， ，则 ， ，由题意得 ， ，可列方程组为： ， 解得 ，可得四边形 的面积为20．解答下面问题： 如图3， 是 的三等分点， 是 的三等分点， 与 交于 ，且 ，请计算四边 形 的面积，并说明理由． 【答】（1）=；（2）18；（3） ，见解析 【分析】（1）利用同高（或同底）的三角形面积比等于对应边（或高）的比即可得． （2）连接 ，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得． （3）连接 ，利用同高的三角形面积比等于对应边的比，结合已知条件联立方程可得． 【详解】（1）∵ ， 是 边上的中点∴ ，则 （2）如图，连结 ∵ 、 、 的面积分别为5，8，10， ∴ ， ∴ 设 ， 则 整理得 解得 ， 则 ． （3）连结 ，设 ， ，∴ ， ， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ 则可列方程组 ，加减消元法解得 ∴四边形 的面积为： 【点睛】本题考查同高的三角形面积比等于对应边的比这一知识点推论，掌握从中理解此推论是解题关键． 模型4 鸟头定理（共角定理）