专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Vv's terem）：在等边三角形内任意一点P 到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形 的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置 无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去 相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连 接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 .................................................................................................................................................2 模型1 等边三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................2 模型2 等腰三角形中维维尼亚模型...............................................................................................................7 ...............................................................................................................................................14 模型1 等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边 中，P 是平面上一动点，过点P 作PE⊥，PF⊥B，PD⊥B，过点作M⊥B。 结论：①如图1，若动点P 在三角形B 内时，则PD+PE+PF=M； ②如图2，若动点P 在三角形B 外时，则PD+PE-PF=M。 （当点P 在三角形B 外时，受P 的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。 图1 图2 证明：①如图1，连结P，BP，P。∵ 是等边三角形，∴B=B=， 则 ， ∵ ； ∴PD+PE+PF=M。 ②如图3，连结P，BP，P。∵ 是等边三角形，∴B=B=， 则 ， ∵ ； ∴PD+PE-PF=M。 例1．（2024·河北·二模）如图，P 为边长为2 的等边三角形B 内任意一点，连接P、PB、P，过P 点分别 作B、、B 边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF 等于（ ） ． B． ．2 D． 【答】B 【分析】求出等边三角形的高，再根据△B 的面积等于△PB、△PB、△P 三个三角形面积的和，列式并整 理即可得到PD＋PE＋PF 等于三角形的高． 【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×s60°＝ ，∴S△B＝ ×2× ＝ ， ∵PD、PE、PF 分别为B、、B 边上的高，∴S△PB＝ B•PD，S△P＝ •PE，S△PB＝ B•PF， ∵B＝B＝，∴S△PB+S△P+S△PB＝ B•PD+ •PE+ B•PF＝ ×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF， ∵S△B＝S△PB+S△P+S△PB，∴PD+PE+PF＝ ．故选B． 【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解． 例2．（2024 八年级·广东·培优）如图，点P 为等边 外一点，设点P 到三边的距离 ，且 ，则 的面积等于（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接 、 、 ，过B 作 于点G，根据面积相等得出 ，求出 ，得出 ， 即可求出面积． 【详解】解：如图，连接 、 、 ，过B 作 于点G， ∵ ， ， ， ，∴ ， ∴ ．故选： 例3．（23-24 八年级上·浙江宁波·期中）如图，P 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，以下3 个结论：① ；② ；③ ；④若点P 到 三边的距离 分别为 ， ， ，则有 ，其中正确的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】将 绕点顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，由全等三角形的性质可得 ， ， ，可证 是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求 ，取 中 点Q，连接 ，根据直角三角形斜边中线性质可求 ，进判断 为等 边三角形， ，可得 ， ，可判断①，由勾股定理可求 的 长，可判断②，由三角形的面积公式可求 的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求 的值，即可判断④． 【详解】解：如图，将 绕点顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ∴ ， ，∴ ， ， ， ∴ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， 取 中点Q，连接 ，∴ ，∴ 是等边三角形， ∴ ，∵ ，∴ ， 又 ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故①错误； ∵ ，∴ ，故②正确； ∴ ，故③正确，如图， ∴ ，∴ ，故④正确，故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形 的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 例4．（23-24 八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在 中， 且 过作 于点P，点M 是直线 上一动点，设点M 到 两边 、 的距离分别为m，， 的高为． (1)当点M 运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、、之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M 运动到 的延长线上时，求证： 【答】(1)证明见解析(2) ，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）当点P 与点M 重合时，过点M 作 于点D， 于点E，由等边三角形的性质 得出 ，则 ，根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接 ，根据 可得出结论；（3）连接 ，根据 可得出 ，进行变形后 可得出结论． 【详解】（1）解：当点P 与点M 重合时， ， 理由：过点M 作 于点D， 于点E，如图，则 ， ， ∵ 且 ∴ 是等边三角形， ∵ 即 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ； （2）解： ．理由如下：如图②，连接 ，则 ， ∴ ，即 ， 又∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ； （3）解：如图，连接 ，则 ， ∴ ，即 ， 又∵ 是等边三角形，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，两边同时除以2022 得， ， ∴ ，即 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用， 运用等积法建立关系式是解题的关键． 模型2 等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰 （B=）中，点P 在B 上运动，过点P 作PD⊥B，P⊥，E⊥B， 结论：①如图1，若动点P 在边B 上时，则PE+PD=F。 ②如图2，若动点P 在B 延长线上时，则|PF-PE|=D。 图1 图2 证明：①如图1，连结P；∵ 是等边三角形，∴B=， 则 ，∵ ； ∴PE+PD=F。 ①如图2，连结P；∵ 是等边三角形，∴B=， 则 ，∵ ； ∴PF-PE=D。 例1．（23-24 八年级上·广西百色·期末）如图，已知△B 是等腰三角形，B=，点是B 上任意一点，E⊥B， F⊥，等腰三角形的腰长为4，面积为4 ，则E+F 的值为( ) ．15 B．2 ．25 D．3 【答】B 【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到 B•E＋ •F＝12，根据等腰三角形的性质进而求得E＋F 的值． 【详解】连接，如图， ∵B＝＝4，∴S△B＝S△B＋S△＝ B•E＋ •F＝12， ∵B＝，∴ B（E＋F）＝4 ，∴E＋F＝2 ．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 例2．（23-24 九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形 沿EF 折叠，使点D 落在点B 处，P 为 折痕 上的任意一点，过点P 作 ，垂足分别为G，，若 ， ，则 ． 【答】8 【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此 题的关键．连接 ，过点E 作 于Q，根据 可得出 ，根据折叠 的性质可得 ， ， ，利用勾股定理求出 ，继而求出 ，然后即可 求出结论． 【详解】解：如图，过点E 作 于Q，连接 ， ∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ， 由折叠可得， ，∴ ，∴ ， ∵ 、 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵四边形 是长方形，∴ ， ． ∵ ， ，∴ ． 由折叠易知， ， ， ， ∴ ∴ ．∴ ．故答为：8． 例3．（23-24 八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰 并标注： ， ，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出： ______度；(2)乙同学提出： 的面积为：______； (3)丙同学提出：点D 为边 的中点， ， ，垂足为E、F，请求出 的值； (4)丁同学说受丙同学启发，点D 为边 上任一点， ， ， ，垂足为E、F、， 则有 ．请你为丁同学说明理由． 【答】(1) (2)25(3) (4)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；（2）过点B 作 ，交于点，根据 角所对 的直角边等于斜边的一半求出 ，根据三角形面积公式求出 即可；（3）先证明 ，根据 ， 得出 ，即 ，即可求出结果；（4）连接 ，根据三角形的 面积公式得出 ， ， ，根据 ，得出 ，即 ，即可求出结果． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：过点B 作 ，交于点，则： ， ， ， ， ； （3）解：连接 ，如图所示： ，点D 为边 的中点， 平分 ， ， ， （角平分线的性质）； ∵ ， ， ， 由（2）知 ， ， ； （4）证明：连接 ，如图所示： ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即： ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练 掌握等腰三角形的性质，准确计算． 例4．（23-24 山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边 上的一点， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形 中， ，点 是底边 的延长线上的一点， ， 垂足为点 ， ，垂足为点 ．求证： 为定长．（3）如图（3），已知：点 为等边三角 形 内任意一点，过 分别作三边的垂线，分别交三边与 、 、 ．求证： 为定长． 【答】证明见解析 【分析】（1）首先过点 作 ，垂足为点 ；连接 ，根据 列出等式， ，然后根据 ，即可得证； （2）首先过点 作 ，垂足为点 ；连接 ，根据 ，得出 ，然后根据 ，即可得证； （3）根据 ，得出关系式 ，然 后根据 为等边三角形，得出 ，即可得证 【详解】（1）过点 作 ，垂足为点 ；连接 ． ∵ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长． （2）过点 作 ，垂足为点 ；连接 ． ∵ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，为定长． 即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长． （3）∵ ，∴ ． 又∵ 为等边三角形，∴ ．∴ ，为定长． 即等边三角形内一点到三边距离之和为定长． 【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题 例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1， ∠B＝∠，则四边形BD 为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形BD 为等邻角四边形，且∠＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形BDE 中，ED∥B，对角线BD 平分∠B． ①求证：四边形BDE 为等邻角四边形；②若∠+∠+∠E＝300°，∠BD＝∠，请判断△BD 的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形BD 中，∠B＝∠BD，E⊥B，垂足为E，点P 为边B 上的一动点，过 点P 作PM⊥B，P⊥D，垂足分别为M，．在点P 的运动过程中，判断PM+P 与E 的数量关系？请说明理 由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形BD 是等邻角四边形，∠＝∠B，E 为B 边上的 一点，ED⊥D，E⊥B，垂足分别为D、，B＝2 dm，D＝3dm，BD＝ dm．M、分别为E、BE 的中 点，连接DM、，求△DEM 与△E 的周长之和． 【答】(1)55°(2)①见解析；②△BD 是等边三角形，理由见解析 (3)在点P 的运动过程中，PM+P＝E，理由见解析(4)（6+2 ）dm 【分析】（1）由∠=130°，∠B=120°知不可能还有内角与∠、∠B 相等（否则内角和大于360°），则∠= ∠D，即得∠D=55°；（2）①由ED//B 得∠EDB=∠DB，根据对角线BD 平分∠B 得∠BD=∠DB，故 ∠BD=∠EDB，即证四边形BDE 为等邻角四边形；②设∠EDB=∠DB=∠BD=x°，∠BD=∠=y°，由∠+∠+ ∠E=300°得3x+y=240，在△BD 中，x+2y=180，可解得 ，即∠DB=60°，∠BD=∠=60°，故△BD 是等 边三角形；（3）过P 作PG E 于G，由图象可得：四边形PMEG 是矩形，再证明△PG △ ≌P，得G=P，即 有PM+P＝EG+G=E；（4）作B D，由(3)中的结论可得：ED+E=B，设D=xdm，利用B2=BD2﹣D2=B2﹣ 2，解得x，求得B，进而求出ED+E，再根据斜中线定理求得△DEM 与△E 的周长之和． 【详解】（1）解：∵∠=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知： ∠=∠D，∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°； （2）①证明：∵ED//B，∴∠EDB=∠DB， ∵对角线BD 平分∠B，∴∠BD=∠DB ，∴∠BD=∠EDB，∴四边形BDE 为等邻角四边形， ②解：△BD 是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DB=∠BD， 设∠EDB=∠DB=∠BD=x°，∠BD=∠=y°， ∠ ∵ +∠+∠E=300°，五边形BDE 内角和为(5 2)×180°=540° ﹣ ， ∠ ∴ ED+∠B=540°－300°=240°，即：3x+y=240， 在△BD 中，∠DB+∠BD+∠=180°，即x+2y=180， 由联立方程组 ，解得 ， ∠ ∴ DB=60°，∠BD=∠=60°，∴△BD 是等边三角形； （3）解：在点P 的运动过程中，PM+P=E，理由如下： 过P 作PG E 于G，如图： ∵PM B，E B，PG E，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°， ∴四边形PMEG 是矩形，∴PM=EG，ME//PG，B//PG，∴∠B=∠GP， ∠ ∵ B=∠P，∴∠GP＝∠P，∵P D，∴∠PG=∠P=90°， ∵P=P，∴△PG △ ≌P（S），∴G=P，∴PM+P＝EG+G=E， 即在点P 的运动过程中，PM+P 的值总等于E； （4）作B D，垂足为，如图：由(3)中的结论可得：ED+E=B， 设D=xdm，则=D+D=(3+x)dm， ∵B⊥F，∴∠B=90°，∴B2=BD2﹣D2=B2﹣2， ∵B＝2 ，D＝3，BD＝ ，∴( )2﹣x2＝(2 )2 (3+ ﹣ x)2，解得：x＝1， ∴B2＝BD2﹣D2，＝37 1 ﹣＝36，∴B＝6dm，∴ED+E＝6， ∠ ∵ DE＝∠BE＝90°，且M、分别为E、BE 的中点， ∴DM＝M＝EM＝ E，＝B＝E＝ BE， △ ∴DEM 与△E 的周长之和 DE+DM+EM++E+E＝DE+E+BE+E＝DE+B+E＝DE+E+B＝6+2 ， △ ∴DEM 与△E 的周长之和为(6+2 )dm． 【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三 角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．（23-24 八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△ 中， ， ， 是△ 外一 点， 到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ） ．5 B．6 ． D． 【答】D 【分析】连接,B,，由D:E:F=1:4:4，设D=x，E=4x，F=4x，根据E=F，得到为∠B 的角平分线，再根据 B=，得到⊥B，根据三线合一及勾股定理求出D=4，再根据 ，得到方程求解即 可． 【详解】解：连接,B,, 由D:E:F=1:4:4，设D=x,E=4x,F=4x， ∵E=F，∴为∠B 的角平分线， 又∵B=，∴⊥B，∴D 为△B 的中线，∴、D、三点共线，∴BD=3， 在Rt△BD 中，D= =4，∴ ∴12=10x+10x−3x，∴x= ∴=4+ = 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面 积公式是解题的关键． 2．（23-24 九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△B 中，B＝，t＝2，BD⊥于点D，点G 是底边B 上一点， 过点G 向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝15，则BF 的长度为（ ） ．075 B．08 ．125 D．135 【答】 【分析】连接G，根据S△G+S△BG＝S△B，＝B，得到GE+GF＝BD，求得GF 的长，根据∠B=∠，得到t∠B=t ＝2＝ ，求解即可 【详解】解：连接G， ∵S△G+S△BG＝S△B， ∴ ××GE+ ×B×GF＝ ××BD， ∵＝B， ∴GE+GF＝BD， ∵BD＝4，GE＝15， ∴GF＝25， ∵t∠B=t＝2＝ ， ∴BF=125 故选． 【点睛】本题主要考查锐角的正切值，三角形面积公式，解此题的关键在于作辅助线构造三角形 3．（23-24 八年级下·福建泉州·期中）如图， 是三角形内一点， ，若 ，且 是等边三角形，则 的周长为（ ） ．12 B．18 ．24 D．30 【答】B 【分析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，由条件推出四边形 ，四边形 是平行四边 形， 是等边三角形，得到 ，即可求出 的周长． 【详解】解：延长 交 于 ，延长 交 于 ， ， ， 四边形 ，四边形 是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， 同理： 是等边