专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 量，它就是数学育里的不老神话。广受数学师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 弦图模型............................................................................................................................................... 2 模型2 勾股树模型......................................................................................................................................... 10 ...............................................................................................................................................18 模型1 弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个 全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰 是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵 活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时 能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形BD 中，E⊥BF 于点E，BF⊥G 于点F，G⊥D 于点G，D⊥E 于点，结论： △BE △ ≌BF △ ≌DG △ ≌D； 证明：∵∠B＝∠BF＝∠EB＝90°，∴∠BE＋∠FB＝∠FB＋∠FB=90°．∴∠BE＝∠FB． 又∵B＝B，∴△BE △ ≌BF，同理可得△BE △ ≌BF △ ≌DG △ ≌D． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形BD 中，E，F，G，分别是正方形BD 各边上的点，EFG 是正方形， 结论：△E △ ≌ BEF △ ≌ FG △ ≌ DG； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GF＝90°，∴∠BEF＝∠GF． 又∵EF ＝FG，∴△EBF △ ≌FG．同理可得△EBF △ ≌FG △ ≌GD △ ≌E． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形BD、EFG、PQM、均为正方形；结论：2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3 和图4 中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S 正方形BD=S 正方形PQM+8S△；S 正方形EFG=S 正方形PQM+4S△； ∴S 正方形BD+S 正方形PQM=S 正方形PQM+8S△+S 正方形PQM=2S 正方形PQM+8S△=2S 正方形EFG 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，E⊥B 于点，GB⊥B 于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△FE △ ≌BGF；E+GB=B。 证明：∵E⊥B 于点，GB⊥B 于点B，EF⊥FG，∴∠＝∠B＝∠EFG＝90° ∠ ∴ FE＋∠EF＝∠EF＋∠BFG=90°．∴∠FE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△FE △ ≌BGF，∴E=BF，F=BG，∴E+GB=BF+F=B。 条件：如图6，E⊥B 于点，GB⊥B 于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△FE △ ≌BGF；E-GB=B。 证明：同图5 证明可得：△FE △ ≌BGF，∴E=BF，F=BG，∴E-GB=BF-F=B。 条件：如图7，在Rt △BE 和Rt△BD 中，B＝B，E⊥BD，结论：△BE △ ≌BD；B-D=E。 证明：∵△BE 和△BD 是Rt △，E⊥BD，∴∠BE＝∠＝∠FB＝90°。 ∠ ∴ ＋∠BF＝∠BF＋∠DB=90°．∴∠＝∠DB。 又∵B＝B，∴△BE △ ≌BD，∴BE=D，∴B-D=B-BE=E。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼 就要想到用弦图的相关知识解决问题。 例1．（23-24 八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后 人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正 方形图．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用 ， 表示直角三角形的两直角边 ， 下列四个推断：① ；② ；③ ；④ ． 其中所有正确推断的序号是（ ）． ．①② B．①②③ ．①③④ D．①②③④ 【答】B 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得 、 可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴ ， ，即①、②正确； ∴ ，则： ， ,即③正确； ∴ ，∴ ，即④错误； 综上，正确的有①②③．故选B． 例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵 爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1 中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4， 现将这四个直角三角形拼成图2，则图2 中大正方形的面积为（ ） ．24 B．36 ．40 D．44 【答】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得 到 ， ，进而求出 的值，再进一步求解即可 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为， 图1 中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2 中最大的正方形的面积 ；故选：D． 例3．（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为 了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到， 它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别 为 ． 若正方形 的边长为2，则 ． 【答】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为、 且 ，则 ， ， ，再由正方形 的边长为2 得到 ，据此 可得答． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、 且 ， 由题意可知： ， ， ， ∴ ， ， ∵正方形 的边长为2，∴ ，∴ 故答为： ． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦 图”经修饰后的图形，四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，阴影部分的面积为 27，则 的长为 ． 【答】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，可知 、 、 分别为 、 、 的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等， 每一个都为正方形 面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形 面积的3 倍，即可得正方形 面积为9，继而得 ，由勾股定理可求得 的长． 【详解】解：由四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，可知 、 、 分别为 、 、 的中点，且 ， ， ， ， ， ， 又 ， ．故答为： ． 例5．（23-24 八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是 由四个全等的直角三角形围成的，若 ， ，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延 长一倍，得到如图2 中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） ．74 B．76 ．78 D．80 【答】B 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】如图，根据题意， ， ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∴这个风车的外围周长是 ，故选B． 【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦 图”，它是由4 个全等的直角三角形与1 个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正 方形的边长为1．（1）如图1，若用，b 表示直角三角形的两条直角边（<b），则b=______． （2）如图2，若拼成的大正方形为正方形BD，中间的小正方形为正方形EFG，连接，交BG 于点P，交 DE 于点M， =______． 【答】 12 ##05 【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出 ，根据完全平方公式变形可得 （2）根据题意，证明 ，根据 ，即可求解． 【详解】（1）∵大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， ∴ ， ，由 ，得 ，∴ ． （2）∵四边形EFG 为正方形， ∴ ， ， ，∴ ． ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFG 拼成的一个大正方形BD， ∴ ，∴ ． 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ， ∴ ． ∵ ，∴ ．故答为：12，05 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值，正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判 定与性质、梯形面积的计算等知识，掌握以上知识是解题的关键． 例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦 图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2 方式摆放围 成边长为10 的正方形 ，则空白部分面积为 【答】50 【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关 键． 【详解】解： 正方形 的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积 大正方形的面积 小正方形面积 ．故答为： ． 例8．（23-24 八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ，E 是B 边上的中线， 过点作 ，垂足为F，过点B 作B 的垂线交F 的延长线于点D． (1)求证： ．(2)若 ，求E． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）证明 (S)，由全等三角形的性质得出 ；（2）根据全等三角形的性 质，得出 ， ，结合题意得出 ，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵ ， ，∴ ，∴ ， 又∵ ，且 ，∴在 和 中， ， ∴ (S)，∴ ； （2）由（1）可得 ，∴ ， ， ∵E 是B 边上的中线，∴ ，∴ ， 在 中，∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明 是解题的关键． 例9．（23-24 八年级下·广东揭阳·期末）综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图 1 所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形 ，四边形 和四边形 都是正方形．某班开展综合与 实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展． (1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2 所示，请你猜想线段 之间的数量关系：________ __； (2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3 所示，请你猜想线段 之间的数量关系：______ __； (3)小明将图3 中的 延长至点M，使得 ，连接 与 相交于点，请你在图3 中画出图形． 若 ，求线段 与 之间的数量关系． 【答】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质证明即可；（2）由全等三角形的性质证明即可； （3）先补全图形，可证明 ，再根据其性质即可证明． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ； （2）解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ； （3）解：补全图形如图： 由题意得， ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ， ,∴ ，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ． 模型2 勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形， 如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图 形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边 为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为、b，斜边为；且、b、三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为： ； ∴S1 。同理： ； 。 由题意可得： ；∴S1+S2 =S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形 的边长为，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角 三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下去，结论： 。 证明：∵正方形 的边长为， 为等腰直角三角形， ∴ ， ，∴ ．观察，发现规律： ， ， ， ，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m 的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直 角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假 设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第代勾股树中正方形的个数为： ；第代勾股树中所有正方形的面积为： 。 证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有 =22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有 =23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有 =24-1（个）， 由此推出第代勾股树中正方形有 （个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为和b，斜边长为，根据勾股定理可得： =m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 ； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 ； 第三代勾股树中所有正方形的面积为 ； 第代勾股树中所有正方形的面积为 。 例1．（23-24 八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为、b，斜边为，以直角三角 形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形 中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作 、 、 ． 结论Ⅰ： 、 、 满足 只有（4）； 结论Ⅱ：∵ ，∴ 的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）． ．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 ．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答】D 【分析】分别表示出 、 、 的面积，根据勾股定理判断即可． 【详解】解： 直角三角形的三边长分别为 、 、， ， 图1 中， ， ， ， 则 ， ， ，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ： ， 对于Ⅱ： ，但是 都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为，那么 ，掌握勾股定理是解题的关键． 例2．（23-24 八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形 中， ，分别以四边形 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，b，，d．若 ，则 ． 【答】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾 股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意可知： ， ， ， ． 在直角 和 中， ，即 ， ， ．故答为：12 例3．（23-24 九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为 斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，．．．． 按照此规律继续下去，则 的值为 ． 【答】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积，根据面积的变化找出变化规律 是解题的关键．根据题意求出面积标记为 的正方形的边长，得到 ，同理求出 ，得到 规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍， 正方形 的边长为2， ， 面积标记为 的正方形的边长为 ， ， 面积标记为 的正方形边长为 ， ， 面积标记为 的正方形的边长为 ， ， 根据同样的规律，依次类推， ，