题型8 函数的实际应用（复习讲义）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型八函数的实际应用（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01 一次函数 一、一次函数图象与图形面积 解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或 两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成 的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法． 二、一次函数的实际应用 1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实 际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数 关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解 是否符合实际意义；（6）答． 3．方最值问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 对于求方问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不 等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有 多少种方． 4．方法技巧 求最值的本质为求最优方，解法有两种：（1）可将所有求得的方的值计算出来，再进行 比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可 直接确定最优方及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值， 再进行比较． 显然，第（2）种方法更简单快捷． 1．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步 行登山到山顶，乙先步行15 分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高 度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天 挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的 任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数． 3．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅 提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方，如图所示，员工可以任选一种 方与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方付给的报酬一样多； (2)求方二y 关于x 的函数表达式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方． 4 如图1，平面直角坐标系 中，等腰 的底边 在 轴上， ，顶点 在 的正半轴上， ，一动点 从 出发，以每秒1 个单位的速度沿 向左运动， 到达 的中点停止．另一动点 从点 出发，以相同的速度沿 向左运动，到达点 停止．已知点 、 同时出发，以 为边作正方形 ，使正方形 和 在 的同侧．设运动的时间为秒（ ）． （1）当点 落在 边上时，求的值；（2）设正方形 与 重叠面积为 ， 请问是存在值，使得 ？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，取 的中点 ，连结 ，当点 、 开始运动时，点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 运动，到达点 停止运动．请问在点 的整 个运动过程中，点 可能在正方形 内（含边界）吗？如果可能，求出点 在正 方形 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地， 快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 （单位：千米）与快递车所 用时间 （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用 小时 装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时． （1）求 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 考点02 反比例函数 一、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积如图①，S△B=2S△=|k|； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于、B 两点，且一次函数与x 轴交于 点，则S△B=S△+S△B= + = ； （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，为B 延长线与x 轴的交点，则S△B=S△–S△B= – = ． 二、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然 后求出交点坐标．针对 时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比 例函数图象的部分所对应的x 的范围例如，如下图，当 时，x 的取值范围为 或 ；同理，当 时，x 的取值范围为 或 ． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定 ①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点， 可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解 的情况． 三、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方，特别 注意自变量的取值范围． 6．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数 和反比例函数 的图 像交于点 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线 向上平移3 个单位后，与 轴交于点 ，与 的图像交于点 ，连 接 ，求 的面积． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点 ，连接 ，过点 B 作 ，交反比例函数 在第一象限的图象于点 ． (1)求反比例函数 和直线 的表达式； (2)将直线 向上平移 个单位，得到直线l，求直线l 与反比例函数图象的交点坐标． 8 南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有 土石方总量600 千立方米，总需要时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600 天． 设每天打通土石方x 千立方米．（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多02 千立方米，工期比原 计划提前了100 天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y 轴交于点，与反比例函数 的图象的一个交点为 ，过点B 作B 的垂线l． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在直线l 上，且 的面积为5，求点的坐标； (3)P 是直线l 上一点，连接P，以P 为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为 m．若点D，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值． 考点03 二次函数 1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直 线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或 其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐 标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 2、函数动点问题 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似 等有关的二次函数综合题． （2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运 动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到 大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是 多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后 结合题干中与动点有关的条件进行计算． 10．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方 的处射门， 球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为244m，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向 正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方225m 处？ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 112022 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生 错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 （人）与时间 （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15 表示 ） 时间 （分 钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~1 5 人数 （人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知 识求出 与 之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点 有2 个，每个检测点每分钟检测20 人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？ 全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12 分钟内让 全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 12．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实 验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 （单位： ）以、飞行高度 （单位： ）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 3 40 … 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 0 飞行高度 0 22 40 5 4 64 … 探究发现： 与， 与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关 于的函数解析式和 关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该 航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端 点 ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 13．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数 学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在x 轴上，球 与y 轴的水平距离 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足一次 函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足 二次函数关系 ． (1)求点P 的坐标和的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过．要使球的落地点到点的距离更近，请通 过计算判断应选择哪种击球方式． 1