专题07 整式加减中取值无关型的两种考法（解析版）

专题07 整式加减中取值无关型的两种考法 类型一、不含某一项问题 例1．多项式 中不含 项，求 的 值． 【答】 【分析】先把 合并同类项，再根据多项式 中不含 项，得关于m 方程，求解得出m 的值，然后把 合并同类项化简，最后代入计算即可． 【详解】解：∵ 又∵多项式 中不含 项， ∴ ， 解得： ． ∴ 当 时， ． ∴ 的值为 ． 【点睛】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中 不含某一项的理解． 例2．已知 ． (1)求 ； (2)当 时，求 的值： (3)若 的值与y 的取值无关，求m 的值． 【答】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）对已化简的 进行提公因数，然后将 整体代入，即可求解； （3）将 进行去括号，合并为 ，代数式的值与y 的取值无 关，则 ，即可求解 【详解】（1）解： （2）解：当 时， （3）解： ， ∵代数式的值与y 的取值无关， ∴ ， 解得 ． 【点睛】本题考查的是整式的加减，化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 【变式训练1】先化简，再求值： (1)求 的值，其中 ， ． (2)关于 ， 的多项式 不含二次项，求 的值． 【答】(1) ，7；(2)-2 【分析】（1）先去括号合并同类项，然后把 ， 代入计算即可． （2）先合并同类项，然后令不含项的系数等于0 求解即可． 【详解】（1） ， 当 ， 时，原式 ． （2）原式 ， 由结果不含二次项，得到 ，解得 ， 所以， ． 【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果 有括号先去括号，然后再合并同类项． 【变式训练2】已知代数式 ， ， ． (1)化简 所表示的代数式； (2)若代数式 值与x 的取值无关，求出 、 的值． 【答】(1) (2) ， 【分析】（1）先根据去括号的方法去括号，再应用合并同类项的法则合并同类项，即可得 出答． （2）根据（1）中的结论代入 ，先合并同类项，根据题意可得 ， ，计算即可得出答． 【详解】（1） ， （2） ， ， ∵代数式 的值与x 的取值无关， ∴ ， ． ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则进行求解是 解决本题的关键． 【变式训练3】已知 ， ． (1)化简 ； (2)当 ， ，求 的值： (3)若 的值与y 的取值无关，求 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）把 ， 整体代入（1）中的计算结果中求解即可； （3）根据与y 的取值无关即含y 的项的系数为0 求出x 的值即可得到答． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ； （2）解：∵ ， ， ∴ ； （3）解：∵ 的值与y 的取值无关， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计 算法则是解题的关键． 【变式训练4】已知，B 是关于x，y 的多项式，某同学在计算多项式 的结果时，不小 心把表示B 的多项式弄脏了，现在只知道 ， ． (1)试求B 表示的多项式． (2)若多项式 的值与字母x 的取值无关，求 的值． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）根据减法的意义先列式求解 ，可得 ，从而可得答； （2）由于多项式 的值与 的取值无关，可得含 的一次项与二次项的系数为0，可 得 ， 的值，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： ∴ ． （2）由于多项式 的值与 的取值无关，且 ， 所以 ， ， 解得： ， ． ∴ ． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，求解代数式的值， 理解题意，列出运算式与方程是解本题的关键． 类型二、错解型问题 例．已知： 求 的值，佳佳同学在做此题时，把 抄成了 ，但结果也正确，请你通过计算帮助分析原因． 【答】见解析 【分析】原式去括号、合并同类项化简，由化简结果知化简后与 的取值无关，据此可得 答． 【详解】解： = = = 代数式化简后与 的取值无关， 无论 ，还是 ，结果均正确． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式训练1】有这样一道题：当 ， 时，求多项式 的值． 小明说：“本题中 ， 是多余的条件” 小强马上反对说：“这不可能，多项式中每一项都含有 和 ，不给出 ， 的值，怎么能 求出多项式的值呢” 你同意哪名同学的观点请说明理由． 【答】小明，理由见解析 【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，根据化简结果解答． 【详解】解：我同意小明的观点． 理由如下： ， 所以 ， 是多余的条件，故小明的观点正确． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式训练2】已知代数式： ． (1)化简这个代数式； (2)小明同学取x，y 互为倒数的一对数值代入化简式中，计算得代数式的值为11，那么小 明同学所取的字母x 和y 的值分别是多少？ (3)聪明的小智同学从化简的结果中发现，只要字母x 取一个固定的数，无论y 取何数，代 数式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小智所取的字母x 的值是多少？ 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先根据互为倒数的意义得到 ，再列方程组求解即可； （3）先将 提取公因数y，再求当 时x 的值即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由已知得 ， ∴ ，即 ， 解得： ，则 ． （3）原式 由题意得： ∴小智所取的字母x 的值是 【点睛】本题考查了整式的加减和解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 课后训练 1．关于x，y 的代数式 中不含有二次项，则k 的值为（ ） ．3 B． ．4 D． 【答】B 【分析】直接利用合并同类项法则得出关于k 的等式，进而得出答． 【详解】解： 关于x，y 的代数式 中不含有二次项， ， 解得 ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，正确得出 是解题的关键． 2．已知 ， ．若计算 的结 果与字母b 无关，则的值是 ． 【答】 / 【分析】先化简 ，再代入 ， ，进一步化简后，令含b 的项的系数为0 即可． 【详解】解： = = = = ； ∵ ， ， ∴上式= = = ， ∵ 的结果与字母b 无关， ∴ ， ∴ ； 故答为： ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是理解当整式中不含某个字母时，那么含 该字母的项合并后系数为0． 3．已知： ． (1)求 ； (2)若 的值与 的取值无关，求 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，原式 ，然后去括号，合并同类项，即可求解； （2）根据 的值与 的取值无关，可得 ，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵ ， ， ∴原式 ； （2）解：若 的值与 的取值无关， 则 与 的取值无关， 即： 与 的取值无关， ∴ ， 解得 ． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则以及合并同类项是解题的关键． 4．已知 ， ． (1)求 ； (2)若多项式 的值与字母x 的取值无关，求的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）先根据 ，然后进行计算即可； （2）先算出 的值，然后令含x 的项的系数为0 即可． 【详解】（1）因为 ， 所以 ． （2） ． 因为多项式 的值域字母x 的取值无关， 所以 ，所以 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求 解． 5．对于 ， ，定义，若 ，则称 与 是关于1 的“对称数”． (1)填空：7 与________是关于1 的“对称数”， 与________是关于1 的“对称数” (2)若 ， ，判断 与 是不是关于1 的“对称数”，并 说明理由 (3)已知 ， ，其中 ， 均为常数，且无论 取何值，与 都是关于1 的“对称数”，求 ， 的值； 【答】(1) ， (2) 与 是关于1 的“对称数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题中所给关于1 的“对称数”的定义，即可进行解得； （2）将和b 相加，看结果是否为2，若为2，则 与 是关于1 的“对称数”，否则不是； （3）根据无论 取何值，与 都是关于1 的“对称数”可得 的结果等于2，且含有x 的项系数为0，即可进行求解． 【详解】（1）解：设7 与m 是关于1 的“对称数”， 则 ，解得 ， 设 与是关于1 的“对称数”， 则 ，解得： ， 故答为： ， ． （2） ， ∴ 与 是关于1 的“对称数”． （3） ， ∵无论 取何值，与 都是关于1 的“对称数”， ∴ ，解得： ． 【点睛】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则 和运算顺序． 6．某野生动物门票价格为60 元/张，并推出了两种购票方，且两种方不能同时使用． 设某旅游团一次性购买门票x 张（x 为正整数）． (1)如果选择方一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方二，该旅游团爱心捐款m 个500 元（m 为正整数）． ①该旅游团一共需要花费的总费用为____元；（用含m，x 的代数式表示） ②当 时，无论x 取什么值，都存在一个正整数m，使选择方二的总费用始终比选择 方一的费用多某个固定值，则m 的值为____，固定值为____． 【答】(1)当 时，该旅游团购买门票的费用为 元；当 时，该旅游团购买 门票的费用为 元 (2)① 或 ；②m 的值是5，固定值是2100 【分析】对于（1），分 ， ，分别列出代数式即可； 对于（2）①，直接列出关系式即可，对于②，用方二的总费用-方一的总费用，再根据整 式加减法法则计算，然后根据题意求出m 的值和固定值． 【详解】（1）当 时， ； 当 时， ． 答：当 时，该旅游团购买门票的费用为 元； 当 时，该旅游团购买门票的费用为 元． （2）① 或 ； 故答为： 或 ； ② = = = 因为无论x 取什么值，都存在一个正整数m，使选择方二的总费用始终比选择方一的费用 多某个固定值，所以 ，即 ， 当 时，原式= ． 答：m 的值是5，固定值是2100．故答为：5，2100． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减法运算，确定各数量之间的关系是解题的 关键． 7．已知代数式 ． (1)当 时，求 的值； (2)若 的值与y 的取值无关，求x 的值． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）先把、B 的代数式代入 化简，再把 代入化简后的式子计算 即可； （2）先把、B 的代数式代入 化简，结合 的值与y 的取值无关可得关于x 的方 程，解方程即可． 【详解】（1） ； 当 时， 原式 ； （2） ； ∵ 的值与y 的取值无关， ∴ ，解得： ． 【点睛】本题考查了整式的加减，正确理解题意、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的 关键．