专题06 整式中规律探索的三种考法（解析版）

专题06 整式中规律探索的三种考法 类型一、单项式规律性问题 例．有一列式子，按一定规律排列成 ， ， ， ， ，…，第个式子为 （为正整数）． 【答】 【分析】通过观察发现：每项前面的系数是前一项的系数乘以 ，每一项的次数是 ． 【详解】解：每项前面的系数是前一项的系数乘以 ， ∴第项的系数是 ， 每一项的次数是 ， ∴第个式子为 ． 故答是： ． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是能够找出这列式子的规律． 【变式训练1】观察下列单项式： 按此规律，可以得到第2020 个 单项式是 ． 【答】 【分析】根据已知单项式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】第1 个单项式为 ， 第2 个单项式为 ， 第3 个单项式为 ， 第4 个单项式为 ， 第5 个单项式为 ， 归纳类推得：第的单项式为 ，其中为正整数， 则第2020 个单项式为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了单项式规律题，观察已知单项式，正确归纳类推出一般规律是解题关 键． 【变式训练2】有一组单项式依次为 根据它们的规律，第个 单项式为 ． 【答】 或 【分析】根据观察，可发现第个单项式的分母为 ，分子为 ． 【详解】解：通过观察可发现第个单项式的分母为 ，分子为 ，故第个单项式 为 ，还可以写成 ． 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查的知识点是探寻单项式的排列规律，根据所给数据总结归纳出数据的排 列规律是解此题的关键． 类型二、数字类规律探索 例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺 时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1 这 点开始跳，第1 次跳到数3 那个点，如此，则经2015 次跳后它停的点所对应的数为 （ ） ．5 B．3 ．2 D．1 【答】 【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1 成一个循环，再用解循环问题的方法求解． 【详解】解：按照题意，第一次在1 这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次 跳到2，2 是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1 这个点， 发现这是一个循环，3、5、2、1 是一个循环， ， ∴最后到2 这个点． 故选：． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循 环问题的方法求解． 【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表： （1）上表中，第九行有 个算式，第九行最中间的算式是 ． （2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15 个数是 ， 【答】 ， 【分析】（1）根据规律第9 行有9 个数，每一个算式的第二个加数都是 ，第个数即为 中间的数，第一个加数按照1，2， ， ， ，写出即可求解． （2）根据规律写出第 行的数的表达式，再根据每一行的数的个数与行数相同，求出第 个数是第行的最后一个数，然后把 代入进行计算即可得解； 【详解】（1）观察可得，第9 行有9 个数，每一个算式的第二个加数都是 ，第个数即 为中间的数，第一个加数按照1，2， ， ， ， ∴第九行有个算式，第九行最中间的算式是 故答为：， ； （2）根据规律，第行的数为： ∵第1 行有1 个数，第2 行有2 个数，第3 行有3 个数，…，第 行有 个数， ∵ ∴第15 个数是第5 行第5 个数，即 故答为： ． 【点睛】本题考查数字变化规律探究，根据指数的变化特点写出第 行排列的各数是解题 的关键． 【变式训练2】将正整数按如图所示的规律排列，有序数对 表示第 排，从左到右第 个数．如有序数对 表示8，则有序数对 表示的数为 ． 【答】123 【分析】有序数对 表示第 排，从左到右第 个数．则前排的数字共有 个数， 将=16 代入，可得出第16 行有16 个数，第1 个数是136，从大到小排列，据此解答即可． 【详解】解：由图可知， 第一排1 个数， 第二排2 个数，数字从大到小排列， 第三排3 个数，数字从小到大排列， 第四排4 个数，数字从大到小排列， …， 则前排的数字共有 个数， ∵当=16 时， ， ∴第16 行有16 个数，第1 个数是136，从大到小排列， ∴第16 行第14 个数是123， 故选：． 故答为：123． 【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中 给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题． 【变式训练3】斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为 “兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等 领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第个数记为 ，则 与斐波那契数列中的第 个数相同． 【答】2022 【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列 中的1 可记作2，这样 ， ，…，依次化简，结论可得． 【详解】解：∵斐波那契数列中 ， 1= ∴ ， ∴ …… 故答为：2022 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的 关键． 【变式训练4】观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第个数记为 ， 且满足 ．则 ， ． 【答】 【分析】由题意推导可得= ，即可求解． 【详解】解：由题意可得：1=2= ，2= ，3= ， ∵ ，∴2+ =7， ∴4= ， ∵ ， ∴5= ， 同理可求6= ， = ∴ ， ∴2022= ， 故答为： ， ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 类型三、图形类规律探索 例根小棒，搭2020 个这样的小正方形需要小棒（ ）根． ．8080 B．6066 ．6061 D．6060 【答】 【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1 个正方形，火柴棒的数量增加3 根，由此求 出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：搭2 个正方形需要4+3×1＝7 根火柴棒； 搭3 个正方形需要4+3×2＝10 根火柴棒； 搭个这样的正方形需要4+3（﹣1）＝3+1 根火柴棒； ∴搭2020 个这样的正方形需要3×2020+1＝6061 根火柴棒； 故选． 【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出 其中的规律，有一定难度，要细心观察总结． 【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的， 其中第①个图形中有5 个小三角形，第②个图形中有10 个小三角形，第③个图形中有16 个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ） ．69 B．73 ．77 D．83 【答】B 【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答． 【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1）， 第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3， 第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4， 第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5， 第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6， …… 第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73 第个图形中三角形的个数为5+2×(-1)+3+4……+(+1)（>1） 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变换增加个数规律,列出代 数式． 【变式训练2】如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ，第（2） 个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为 ，……，依此类推，由正边形“扩展”而来 的多边形的边数记为 ，当 的结果是 时，的值为 ． 【答】673 【分析】结合图形观察数字，发现： ， ， ， 进 一步得到 ，代入进行裂项，即可求解． 【详解】解：结合图形观察数字，发现： ， ， ， 进一步得到 ， ∴ ， 解得 ， 故答为：673． 【点睛】此题考查了图形的变化规律题，注意从特殊推广到一般是解题关键． 【变式训练3】观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5 个三角形； 第三个图形中有9 个三角形；…，则第15 个图形中有 个三角形． 【答】57 【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可． 【详解】解：第1 个图形中一共有1 个三角形， 第 2 个图形中一共有1+4=5 个三角形， 第 3 个图形中一共有1+4+4=9 个三角形， …， 第个图形中三角形的个数是1+4（﹣1）=（4 3 ﹣）个， 当=15 时，4 3=4×15 3=57 ﹣ ﹣ ． 故答为：57． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用 规律解决问题． 课后训练 1．我们把 称为有理数 的差倒数，如：2 的差倒数是 ，-2 的差倒数是 ．如果 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依 此类推，那么 的值是（ ） ．− B．−3 ． D． 【答】D 【分析】根据“差倒数”的定义，写出前几个数，从而可以发现数字的变化规律，然后即 可求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 则 这列数每三个数一个循环． 2020÷6=336……4 ∵ ， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查数字类的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点， 求出所求式子的值． 2．如图是由边长为1 的木条组成的几何图，观察图形规律，第一个图由1 个正方形组成， 共用的木条根数S1＝4，第二个图由4 个正方形组成，共用的木条根数S2＝12，第三个图由 9 个正方形组成，共用的木条根数S3＝24，以此类推…那么第100 个图共用的木条根数S100 为（ ） ．19600 B．20400 ．20200 D．20000 【答】 【分析】本题要通过第1、2、3 和4 个图找出普遍规律，进而得出第个图的规律为S＝4＋ 2×（−1），得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1 个图由1 和小正方形组成，共用的木条根数S1＝4×1，即S1＝4×1＋2×1×（1−1）； 第2 个图由4 个小正方形组成，共用的木条根数S2＝4×2＋2×2；即S1＝4×2＋2×2× （2−1）； 第3 个图由9 个小正方形组成，共用的木条根数S3＝4×3＋2×3；即S1＝4×3＋2×3× （3−1）； 第4 个图由16 个小正方形组成，共用的木条根数S4＝4×4＋2×4；即S1＝4×4＋2×4× （4−1）； … 由此发现规律是： 第个图由2个小正方形组成，共用的木条根数S＝4＋2×（−1）， 当＝100 时，S100＝4×100＋200×（100−1）＝20200， 故选：． 【点睛】本题考查图形变换找规律的问题，熟练找出前四个图形的规律是解题个关键． 3．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4 根小棒，搭两个小正方形需要 17．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，… （1）写出第10 个和第2020 个单项式． （2）写出第个单项式． 【答】（1）﹣19x10y，﹣4039x2020y；（2）( 1) ﹣ +1(2 1) ﹣ xy． 【分析】（1）通过观察题意可得：10 为偶数，单项式的系数为负数，是﹣19，x 的指数为 10，y 的指数不变，还是1，由此可得出第10 个单项式，同理第2020 个单项式也可由此得 出； （2）通过观察题意可得：为奇数时，单项式的系数为正数，为偶数时，单项式的系数为负 数．系数的数字部分是连续的奇数，可用2 1 ﹣来表示，第个单项式的x 的指数为，y 的指 数不变，还是1，由此可解出本题． 【详解】解：（1）∵当＝1 时，xy， 当＝2 时，﹣3x2y， 当＝3 时，5x3y， 当＝4 时，﹣7x4y， 当＝5 时，9x5y， ∴第10 个单项式是﹣(2×10 1) ﹣ x10y，即﹣19x10y． 第2020 个单项式是﹣(2×2020 1) ﹣ x2020y，即﹣4039x2020y． 故答为：﹣19x10y，﹣4039x2020y． （2）∵为奇数时，单项式的系数为正数，为偶数时，单项式的系数为负数． ∴符合可用( 1) ﹣ +1表示， ∵系数的数字部分是连续的奇数， ∴可用2 1 ﹣来表示， 又∵第个单项式的x 的指数为，y 的指数不变，还是1， ∴第个单项式可表示为( 1) ﹣ +1(2 1) ﹣ xy． 故答为：( 1) ﹣ +1(2 1) ﹣ xy． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． 4．由于（﹣1）＝ ，所以我们通常把（﹣1）称为符号系数． （1）观察下列单项式：﹣ ，…按此规律，第5 个单项式是 ，第 个单项式是 ． （2） 的值为 ； （3）你根据（2）写出一个当为偶数时值为2，当为奇数时值为0 的式子 ． 【答】（1） ， ；（2）b 或；（3）1+（﹣1）． 【分析】（1）观察发现，奇数项为负，偶数项为正，系数的分子与项数相同，系数的分母 的规律是42 1 ﹣，字母x 的指数与项数相同，据此可解； （2）分为奇数和为偶数两种情况来计算即可； （3）取指数为的项的底数与不含的项互为相反数，则不难得出答． 【详解】（1）观察下列单项式： ，…按此规律，第5 个单项式是 ，第个单项式是 故答为： ， ． （2）为奇数时， ， 为偶数时， 故答为：b 或． （3）可以这样写一个当为偶数时值为2，当为奇数时值为0 的式子：1+（﹣1）． 故答为：1+（﹣1）． 【点睛】此题考查单项式规律的探究，观察并发现数字间的规律是解题的关键 5．图1 由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图，第1 层有1 个圆圈，每一层都比上 一层多1 个圆圈，一共堆了层． （1）如图1 所示，第100 层有 个小圆圈，从第1 层到第层共有 个小圆圈； （2）我们自上往下按图2 的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20 层的第5 个 数是 ； （3）我们自上往下按图3 的方式排列一串整数31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第1 层到 第20 层的所有数的绝对值的和 ． 【答】（1）100， ；（2）195；（3）50400． 【分析】（1）观察图1 发现规律：第层有个小圆圈，从第1 层到第层共有圆圈的个数为 1+2+3+…+，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2 发现规律：从1 开始的自然数列，第层放个，进而可得第20 层第5 个数； （3）观察图3 发现规律：第层放个，从第1 个数开始，符号“+ ” ﹣周期变化，绝对值依次 加2，可得第20 层最后一个数的绝对值，最后得第1 层到第20 层所有数的绝对值和． 【详解】解：（1）图1 规律：第层有个小圆圈，则第100 层有100 个小圆圈， 因为1+2+3+…+＝ ． 所以从第1 层到第层共有 个小圆圈； 故答为：100， ； （2）图2 规律：从1 开始的自然数列，第层放个，则第20 层第5 个数为： 1+2+3+…+19+5＝195． 故答为：195； （3）图3 规律：第层放个，从第1 个数开始，符号“+ ” ﹣周期变化，绝对值依次加2， 则第20 层最后一个数的绝对值为： 31+（2+3+4+…+20）×2＝449， 则第1 层到第20 层所有数的绝对值和为： 31+33+35+…+449＝50400． 故答为：50400． 【点睛】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻 找其中规律是解题关键．