专题06 整式的加减专题复习——规律探究(解析版)

专题06 整式的加减专题复习——规律探究（解析版） 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 数式规律 典例1（2021 秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…， 其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是 ． 思路引领：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即可 得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，再将其代入﹣3x 和9x 中，取其中最小值即可得出 结论． 解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x， 依题意，得：x 3 ﹣x+9x＝1701， 解得：x＝243， 3 ∴﹣x＝﹣729，9x＝2187． 729 ∵﹣ ＜243＜2187， 故答为：﹣729． 总结升华：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元 一次方程是解题的关键． 典例2（2022 秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空： ① 2 ﹣，4，﹣8，16，﹣32，64， ， ，…； ②0，6，﹣6，18，﹣30，66， ，…； ③ 3 ﹣，3，﹣9，15，﹣33，63， ，…． （1）按第①行数的规律，分别写出第7 和第8 个数； （2）请你分别写出第②③行的第7 个数； （3）取每行数的第9 个数，计算这三个数的和． 思路引领：（1）根据已知数据都是前一个数乘2 的到得，再利用第奇数个系数为负数即可得出答； （2）根据3 行数据关系分别分析得出即可； （3）根据（2）得出的规律分别求出每行第9 个数，再把它们相加即可． 解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64， ∴第7 个数是﹣128，第八个数是256； （2）第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1 得到的，即第二行的第7 个数是﹣ 128+2＝﹣126，第三行的第7 个数是﹣128 1 ﹣＝﹣129； （3）根据以上所求得出：第一行第9 个数为﹣512，第二行第9 个数为﹣512+2＝﹣510，第三行第9 个 数为﹣512 1 ﹣＝﹣513， 则这三个数的和是：﹣512 510 513 ﹣ ﹣ ＝﹣1535． 总结升华：此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出得数字第②行数是第①行数加上2，第 ③行数正好比第①行数少1 得到的是解题关键． 针对训练1 1．（2021•武汉）按照一定规律排列的个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为 768，则为（ ） ．9 B．10 ．11 D．12 思路引领：观察得出第个数为（﹣2），根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可． 解：由题意，得第个数为（﹣2）， 那么（﹣2）﹣2+（﹣2）﹣1+（﹣2）＝768， 当为偶数：整理得出：3×2 2 ﹣＝768，解得：＝10； 当为奇数：整理得出：﹣3×2 2 ﹣＝768，则求不出整数． 故选：B． 总结升华：此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第个数为（﹣2）是解决问题 的关键． 2．（2021 秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的规律排列， 那么这串数中前 个数的和最小． 思路引领：根据题目中数据的特点，可以写出第个数，然后令第个数等于0，即可得到相应的的值，从 而可以解答本题． 解：∵有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002… ∴这串数的第个数为﹣2018+4（﹣1）＝4 2022 ﹣ ， 当4 2022 ﹣ ＝0 时， 解得，＝505…2， ∴那么这串数中前505 个数的和最小， 故答为：505． 总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出第多少个 数的值为0． 类型二 数阵、数表规律 典例3（2020 秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25 行第20 个数 是 ． 思路引领：观察数字的变化，第行有个偶数，求出第行的第一个数，结论可得． 解：观察数字的变化可知：第行有个偶数． ∵第1 行的第一个数是：2＝1×0+2； 第2 行第一个数是：4＝2×1+2； 第3 行第一个数是：8＝3×2+2； 第4 行第一个数是：14＝4×3+2； ••• ∴第行第一个数是：（﹣1）+2． ∴第25 行第一个数是：25×24+2＝602． ∴第25 行第20 个数是：602+2×19＝640． 故答为：640． 总结升华：本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算．准确找出数字的变化规律是解题的 关键． 典例4（2019 秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第+3 个数比第个数大2（其中是正整数） 第1 个 第2 个 第3 个 第4 个 第5 个 …… b （1）第5 个数表示为 ；第7 个数表示为 ； （2）若第10 个数是5，第11 个数是8，第12 个数为9，则＝ ，b＝ ，＝ ； （3）第2019 个数可表示为 ． 思路引领：（1）根据第+3 个数比第个数大2，即可求解； （2）根据第+3 个数比第个数大2，分别求出第10、11、12 个数即可求出结果； （3）根据数字的变化规律， 解：（1）∵第+3 个数比第个数大2， ∴第5 个数比第2 个数大2，∴第5 个数为b+2． ∵第4 个数比第1 个数大2，∴第4 个数为+2， ∴第7 个数比第4 个数大2，∴第7 个数为+4． 故答为b+2、+4． （2）∵第10 个数为+6， 第11 个数为b+6， 第12 个数为+6， +6 ∴ ＝5，b+6＝8，+6＝9 解得＝﹣1，b＝2，＝3． 故答为﹣1、2、3． （3）第一组数是、b、 第二组数是+2、b+2、+2 第三组数是+4、b+4、+4 第四组数是+6、b+6、+6 … 第组数的第三个数是+（2 2 ﹣） 2019÷3＝673， 第2019 个数是第673 组的第三个数， ∴第673 组的第三个数是+2×673 2 ﹣＝+1344． 故答为+1344． 总结升华：本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找数字的变化规律． 针对训练2 1．（2021 秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端 的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，…，我们把第一个数记为1，第二个数记为2，第三个数记为3，…，第个数记为，则6＝ ， 2020＝ ． 思路引领：根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到6和2020的 值． 解：由题意可得， 1＝1， 2＝1+2＝3， 3＝1+2+3＝6， 4＝1+2+3+4＝10， 5＝1+2+3+4+5＝15， …， ∴＝1+2+3+…+¿ n(n+1) 2 ， ∴当＝6 时，6¿ 6×7 2 =¿21， 当＝2020 时，2020¿ 2020×2021 2 =¿2041210， 故答为：21，2041210． 总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的 值． 2．（2018 秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10 行数的第1 个数是（ ） ．﹣46 B．﹣36 ．37 D．45 思路引领：观察排列规律得到第1 行有1 个数，第2 行有2 个数，第3 行有1 个数，…，第9 行有9 个数， 则可计算出前9 行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10 行数的第1 个数为﹣46． 故选． 解：第1 行有1 个数，第2 行有2 个数，第3 行有1 个数，…，第9 行有9 个数， 所以前9 行的数的个数为1+2+3+…+9＝45， 而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数， 所以第10 行数的第1 个数为﹣46． 故选：． 总结升华：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这 类问题． 3．（2017 秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数， 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x＝ ，第2017 个格子中的数为 ． （2）判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m 的值，若不能，请说明理由． （3）若取前3 格子中的任意两个数记作、b，且≥b，那么所有的|﹣b|的和可以通过计算|9 |+|9 |+| ﹣★ ﹣☆ | ★﹣☆得到，其结果为 ；若、b 为前19 格子中的任意两个数记作、b，且≥b，则所有的|﹣b|的和为 ． 思路引领：（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出x 的值，再根据第9 个数是2 可得☆＝2， 然后找出格子中的数每3 个为一个循环组依次循环，在用2014 除以3，根据余数的情况确定与第几个数 相同即可得解； （2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算． （3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果． 解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， 9+ + ∴ ★☆＝★+ + ☆x， 解得：x＝9， + + ★☆x＝☆+x 6 ﹣， ∴★＝﹣6， 所以，数据从左到右依次为9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…， 第9 个数与第三个数相同，即☆＝2， 所以，每3 个数“9、﹣6、2”为一个循环组依次循环， 2017÷3 ∵ ＝672…1， ∴第2017 个格子中的整数与第1 个格子中的数相同，为9． 故答为：9，9； （2）9 6+2 ﹣ ＝5，2018＝2015+3＝2015+9 6 ﹣，2015÷5＝403，403×3＝1209， 所以是第1209+1+1＝1211 个数，即m＝1211， 故前1211 个数的和为2018； （3）∵取前3 格子中的任意两个数，记作、b，且≥b， ∴所有的|﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9 2|+| 6 2| ﹣ ﹣﹣＝30． ∵由于是三个数重复出现，那么前19 个格子中，这三个数， 9 出现了7 次，﹣6 和2 各出现了6 次． ∴代入式子可得： |9﹣（﹣6）|×7×6+|9 2|×7×6+|2 ﹣ ﹣（﹣6）|×6×6＝1212． 故答为：30，1212． 总结升华：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找出数字间的关系，得出规律． 类型三 图形的增长规律 典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形 数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1 的“正 方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10 个图形中右下方的“三角形数”中的所有点 数是 ． 思路引领：观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4＝1+3，第二个图形是9＝3+6，第三个图形是 16＝6+10，…则按照此规律得到第10 个图形的规律即可． 解：∵第1 个图形是4＝1+（1+2）， 第2 个图形是9＝（1+2）+（1+2+3）， 第3 个图形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4）， … ∴第10 个图形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66． 故答为：66． 总结升华：此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因 素，然后推广到一般情况． 典例5（2020 秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14 个图中黑色小正方形 地砖的数量是（ ） ．360 B．363 ．365 D．369 思路引领：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多 1 个，求出第个图中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把＝14 代入进行计算即可． 解：第1 个图只有（2×1 1 ﹣）2＝12＝1 块黑色地砖， 第2 个图有黑色与白色地砖共（2×2 1 ﹣）2＝32＝9，其中黑色的有1 2（9+1）＝5 块， 第3 个图有黑色与白色地砖共（2×3 1 ﹣）2＝52＝25，其中黑色的有1 2（25+1）＝13 块， … 第个图有黑色与白色地砖共（2 1 ﹣）2，其中黑色的有1 2[（2 1 ﹣）2+1]， 当＝14 时，黑色地砖的块数有1 2 ×[（2×14 1 ﹣）2+1]¿ 1 2 ×730＝365． 故选：． 总结升华：本题考查图形的变化规律，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图序号之间的关系是解 题的关键． 针对训练3 1．（2021 秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 10 个图形共有 个〇． 思路引领：观察图形的变化先得前几个图形中圆圈的个数，可以发现规律：第个图形共有（3+1）个〇， 进而可得结果． 解：观察图形的变化可知： 第1 个图形共有1×3+1＝4 个〇； 第2 个图形共有2×3+1＝7 个〇； 第3 个图形共有3×3+1＝10 个〇； … 所以第个图形共有（3+1）个〇； 所以第10 个图形共有10×3+1＝31 个〇； 故答为：31． 总结升华：本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 2．（2018 秋•硚口区期中）对于大于或等于2 的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分 裂成从1 开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 ． 思路引领：由题意可知：每个数中所分解的最大的奇数是前边底数的2 倍减去1．由此得出答即可． 解：自然数2的分裂数中最大的奇数是2 1 ﹣． 20182分裂的数中最大的奇数是2×2018 1 ﹣＝4035， 故答为：4035． 总结升华：此题考查数字的变化规律，注意根据具体的数值进行分析分解的最大的奇数和底数的规律， 从而推广到一般． 3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为1 的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1 个 正方体叠成，第（2）个图形由4 个正方体叠成，第（3）个图形由10 个正方体叠成，依次规律，第 （10）个图形由（ ）个正方体叠成． ．120 B．165 ．220 D．286 思路引领：根据图形的变换规律，可知第个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1) 2 ，据此可得第 （6）个图形中正方体的个数． 解：由图可得： 第（1）个图形中正方体的个数为1； 第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3； 第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6； 第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10； 故第个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1) 2 ， ∴第10 个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220． 故选：． 总结升华：本题主要考查了图形变化类问题，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意： 第个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1) 2 ． 类型四 乘方规律 典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据 其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ） ．0 B．1 ．7 D．8 思路引领：由已知可得7 的尾数1，7，9，3 循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个 位数字相同，即可求解． 解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，… 7 ∴的尾数1，7，9，3 循环， 7 ∴0+71+72+73的个位数字是0， 2023÷4 ∵ ＝505…3， 7 ∴0+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同， 7 ∴0+71+…+72022的结果的个位数字是7， 故选：． 总结升华：本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 典例7（2022 秋•东港区校级月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S＝1+2+22+23+……+22007，则2S＝ 2+22+23+24+……+22008，因此2S﹣S＝22009 1 ﹣，即S＝22009 1 ﹣，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…… +32022值为 3 2023−1 2 ． 思路引领：令S＝1+3+32+33+……+32022，则3S＝3+32+33+……+32023，作差求出S 即可． 解：令S＝1+3+32+33+……+32022， 则3S＝3+32+33+……+32023， 3 ∴S﹣S＝32023 1 ﹣， 则S¿ 3 2023−1 2 ， 即1+3+32+33+……+32022¿ 3 2023−1 2 ． 故答为：3 2023−1 2 ． 总结升华：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的求和方法，灵活应用此方法求和是解题的关键． 针对训练4 1．（2021 秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23 2 ﹣；2+22+23＝24 2 ﹣；2+22+23+24＝25 2 ﹣；……，已知按 一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝，用含的式子表示这组数之和是（ ） ．22 2 ﹣ B．210 2 ﹣5 2 ﹣ ．22﹣ D．220﹣ 思路引领：把所求的数列的各数提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所给的等式的规 律求解即可． 解：∵2+22＝23 2 ﹣；2+22+23＝24 2 ﹣；2+22+23+24＝25 2 ﹣；…， 2+2 ∴ 2+23+…+2＝2+1 2 ﹣， 2 ∴501+2502+2503+…+2999+21000 ＝2500×（2+22+23+…+2499+2500） ＝2500×（2500+1 2 ﹣） ＝2500×（2×2500 2 ﹣）， 2 ∵500＝， ∴原式＝（2 2 ﹣） ＝22 2 ﹣． 故选：． 总结升华：本题主要考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总 结出规律． 2．（2019 秋•汾阳市期末）任意大于1 的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：23＝ 3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是 （ ） ．13 B．14 ．15 D．16 思路引领：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有