专题05 整式加减中的无关型的三种考法（解析版）

专题05 整式中加减无关型的三种考法 类型一、不含某一项的问题 例．已知多项式 不含 和 的项，试写出这个多项式，再 求当 时该多项式的值． 【答】多项式为 ，4 【分析】根据题意可知 ，求出m 和的值，然后将 代入计算即可． 【详解】∵多项式 不含 和 的项， ∴ ， ∴ ， ∴多项式为 ， 当 时，多项式为 ． 【点睛】本题考查了多项式中的无关项，解题的关键是理解题意，确定m，的值． 【变式训练1】已知、B 分别是关于 ， 的多项式，一同学在计算多项式 结果的时 候，不小心把表示的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道 ， ． (1)请根据仅有的信息试求出表示的多项式； (2)若多项式 中不含 项，求 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知 ，然后根据整式的运算法则计算即 可求出答． （2）根据整式的运算法则计算 ，然后令含y 的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ． ∵多项式 中不含 项， ． 解得： ． 【点睛】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式的加减运算 法则是解题关键． 【变式训练2】已知关于x，y 的两个多项式 与 的和中不含二次 项，则m＝ ． 【答】3 【分析】先将两个多项式相加，然后合并同类项，根据二次项系数为0，求出m 的值即可 【详解】 ∵和中不含二次项， 解得 故答为：3 【点睛】本题主要考查了整式的加减要理解：和中不含二次项即二次项系数为0，是解题 的关键 【变式训练3】若关于，b 的多项式 中不含有 项，则 ． 【答】6 【分析】去括号合并同类项根据不含 项令其系数为0 即可得到答． 【详解】解：原式 ， ∵多项式 中不含有 项， ∴ ， ， 故答为6． 【点睛】本题考查去括号，合并同类项，多项式不含某项求待定系数问题，解题的关键是 熟练掌握多项式不含某项，某项系数为0． 类型二、取值与字母无关 例．若多项式 的值与字母x 无关，试求多项式 的值． 【答】12 【分析】先将多项式进行合并，根据值与字母x 无关，得到含 的项的系数均为0，求出 的值，再去括号，合并同类项进行多项式的化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式 的值与字母x 无关， ∴ ， ， 解得 ， ； ∴ ． 【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题以及化简求值．解题的关键是熟练掌握整式加 减的运算法则，正确的进行计算． 【变式训练1】已知： ， (1)若 ，求 的值； (2)若代数式的 的值与 无关，求此时 的值． 【答】(1)52；(2) 【分析】（1）若 ，则 ， ，求出 、 的值各是多少，即 可求出 的值是多少； （2）化简代数式 ，令的系数为0，即可； 【详解】（1）由题可得 ， ，所以 ， 把 ， ，代入得：原式 （2） 由题可得 ，得 【点睛】此题主要考查了整式的加减 化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入 计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【变式训练2】已知 ， ． (1)求 ；并把化简结果按字母x 升幂排列 (2)若 的值与y 的取值无关，求x 的值． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）将 ， 代入计算即可； （2）令y 的系数为0 可得关于x 的方程，即可解得x 的值． 【详解】（1）解：当 ， 时， ， ， ； （2）解：∵ ， ， ， ∴ 的值与y 的取值无关，即 ， 解得： 【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握取值无关题型的解题思路是解题关键． 【变式训练3】已知 ． (1)求 的值； (2)若 的值与字母 的取值无关，求 的值； (3)利用（2）中的数学方法解决问题： 经销公司计划购进甲、乙两种型号的口罩共30 箱，甲型号口罩每箱进价为700 元，销售利 润为 ；乙型号口罩每箱进价为500 元，售价为每箱750 元．购进口罩后，该公司决定， 每出售一箱甲型号口罩，返还顾客现金 元，乙型号口罩售价不变．如果购进甲型号口罩 箱，那么购进乙型号口罩 箱， ①当购进的30 箱口罩全部售出后，所获利润为多少元?（用含 的式子表示） ②若无论购进甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同，求 的值． 【答】(1) ；(2)5 (3)① ；②30 【分析】（1）由题意知 ； （2）由（1）知 ，由 的值与字母 的取值无关， 可得 ，计算求解即可； （3）①由题意知，当购进的30 箱口罩全部售出后，所获利润为 元；②由①知，当购进的30 箱口 罩全部售出后，所获利润为 元，由题意知 ，计算 求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴ 的值为 ； （2）解：由（1）知 ， ∵ 的值与字母 的取值无关， ∴ ，解得 ， ∴ 的值为5； （3）①解：由题意知，当购进的30 箱口罩全部售出后，所获利润为 元， ∴利润为 元； ②解：由①知，当购进的30 箱口罩全部售出后，所获利润为 元， ∵无论甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同， ∴ ，解得 ， ∴ 的值为30． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减中的化简求值，整式加减中的无关型问题．解 题的关键在于对知识的熟练掌握． 类型三、问题探究型 例．有这样一道题：当 ， 时，求多项式 的值，小明同学说：题中给出的条件“ ， ”是多余的．你认为他的说法有道理吗？为什么？ 【答】有道理，见详解 【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：原式 ， 结果与 的取值无关，有道理． 【点睛】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练1】已知 ． (1)若 ，按要求完成下列各小题． ①化简 ； ②若 ，y 为2 的倒数，求 的值； (2)若多项式 的值与字母x 的取值无关，求，b 的值． 【答】(1)① ，② (2) ， 【分析】（1）将两个多项式加起来化简，然后将 代入即可，求出 的数值代 入 即可； （2）多项式的值与字母x 的取值无关，即让含有 的项系数为零． 【详解】（1）解：① ② ，y 为2 的倒数 ， （2）解： 多项式 的值与字母x 的取值无关 ， ， 【点睛】本题考查了多项式的加减与求代数式的值，相关知识点有：绝对值的计算、倒数 等，多项式的准确运算是本题正确的关键． 【变式训练2】（1）若关于 ， 的多项式 是一次二项式，则 _______ __ （2）一堂数学课上，师给学生出了一道题： 当 ， 时，求 的值．题目刚出完，小红说， 老师给的条件 ， 是多余的；小明则认为，不给这两个条件，就不能求出结 果，所以不是多余的．你认为谁说得对，请说明理由． 【答】（1）3；（2）小红说得对，理由见解析 【分析】（1）首先把多项式合并同类项，根据化简后是一次二项式，则二次项系数等于 0，据此即可得出答． （2）先合并同类项，再根据结果判断即可． 【详解】解：（1） 根据题意可得： ， 解得： 故答为：3 ． （2）小红说得对， 理由如下： =5． 因此，该代数式化简后不含，b，值与，b 的取值无关，即条件 ， 是多余的． 【点睛】本题考查了多项式的化简，整式的加减，理解化简后是一次二项式，则二次项系 数等于0 是关键． 【变式训练3】有这样一道计算题： 的值， 其中 ， ． (1)小明同学把“ ”错看成“ ”，但计算结果仍正确；小华同学把“ ”错 看成“ ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明； (2)求该多项式的值． 【答】(1)理由见解析；(2) ． 【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断； （2）把 代入化简后的整式中计算即可． 【详解】（1）解： 化简后的结果不含 ，所以取值与 无关，故小明看错 结果也会是正确的； 又 时， ， 故小华看错 ，结果也是正确的； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 课后训练 1．若多项式 的值与 和 无关，求 的值． 【答】 【分析】先根据整式加减运算法则将多项式 变形为 ，根据多项式 的值与 和 无关，求 出、b 的值，将 合并同类项，最后代入数值求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式 的值与 和 无关， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则， 求出、b 的值． 2．已知 ，当与 的差与 的取值无关时，求代数式 的值． 【答】 ， ． 【分析】表示出 ，利用当与 的差与 的取值无关可得： ， ，再化简 ，将 ， 时代入计算即 可． 【详解】解：由题可得： ， ， 又 原式 ． 当 ， 时． 原式 ． 【点睛】本题考查整式加减中的无关性，已知字母的值，求代数式的值，解题的关键是熟 练掌握以上相关知识并熟练应用． 3．已知，B 是关于x，y 的多项式，某同学在计算多项式 的结果时，不小心把表示B 的多项式弄脏了，现在只知道 ， ． (1)试求B 表示的多项式． (2)若多项式 的值与字母x 的取值无关，求 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据减法的意义先列式求解 ，可得 ，从而可得答； （2）由于多项式 的值与 的取值无关，可得含 的一次项与二次项的系数为0，可 得 ， 的值，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： ∴ ． （2）由于多项式 的值与 的取值无关，且 ， 所以 ， ， 解得： ， ． ∴ ． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，求解代数式的值， 理解题意，列出运算式与方程是解本题的关键． 4．化简求值 (1) ，其中 ， ． (2)已知 ， ．若式子 的值与的取值无关， 求b 的值． 【答】(1) ；；(2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，将 ， 代入代数式求值即可求解， （2）先计算 ，根据化简后值与 的取值无关，即可求得 的值． 【详解】（1）解： ； 当 ， 时， 原式 ； （2）解：∵ ， ∴ ∵ 的值与的取值无关， ∴ 解得 【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握整式的加减法则并正确的去括号是解题 的关键． 5．先化简，再求值． (1)已知 ，求多项式 的值； (2)已知 ， ，当 的值与x 的取值无关时，求多项式 的值． 【答】(1)8；(2) 【分析】（1）先去括号，合并同类项，即可化简整式．再根据绝对值和平方的非负性求出 和b 的值，最后代入化简后的式子计算即可． （2）化简 ，根据“与x 的取值无关”可求出m 和的值．再化简所求多项式，代入 m 和的值计算即可． 【详解】（1）解： ． ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴原式 ； （2）解： ． ∵ 的值与x 的取值无关， ∴ ， 解得： ， ∴ ．