专题06 整式中与参数有关的两种考法（解析版）

专题06 整式中与参数有关的两种考法 类型一、直接求参数 例．已知 是关于 ， 的五次单项式，则这个单项式是 【答】 / 【分析】根据单项式的定义列出方程求出的值，再代入求解即可． 【详解】解： 是关于 ， 的五次单项式 ，且 整理得： 且 解得： （舍） 把 代入单项式中 单项式为： ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了单项式的知识，熟练掌握单项式的定义且考虑全面是解题的关键． 例2 关于x 的多项式 （为正整数）是二次三项式，则 ． 【答】4 或2/2 或4 【分析】根据多项式的项和次数的定义．列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得： ， 当 时， 原式 ，符合题意， 故答为：4 或2． 【点睛】本题考查了多项式．解题的关键是要明确相关概念（组成多项式的每个单项式叫 做多项式的项；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；多项式中不含字母的项叫 常数项）． 【变式训练1】已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y 的七次单项式，求m2 3 ﹣m+1 的值． 【答】1 或41 【分析】直接利用单项式的系数和次数确定方法分析得出答． 【详解】解：∵（m+3）x3y|m+1|是关于x，y 的七次单项式， 3+| ∴ m+1|＝7 且m+3≠0，解得：m＝3，或m＝﹣5， ∴m2 3 ﹣m+1＝9 9+1 ﹣ ＝1，或m2 3 ﹣m+1＝25+15+1＝41． 故m2 3 ﹣m+1 的值是1 或41． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数和次数确定方法是解题关键． 【变式训练2】若多项式 是关于x，y 的三次多项式，则 ． 【答】8． 【分析】根据多项式是三次多项式，得m-+1=3，且-2=0，规范求解即可． 【详解】∵多项式 是关于x，y 的三次多项式， m-+1=3 ∴ ，且-2=0， m=4 ∴ ， ＝2，∴m＝8， 故答为：8． 【点睛】本题考查了多项式的次数，熟练掌握多项式次数的确定，灵活运用系数为零原则 消除高次项，是解题的关键． 【变式训练3】已知p=（m+2） ﹣（﹣3）xy||﹣1 y ﹣，若P 是关于x 的四次三项式，又是 关于y 的二次三项式，则 的值为 ． 【答】 【详解】分析：根据多项式的概念即可求出m，的值，然后代入求值． 详解：依题意得：m2=4 且m+2≠0，||-1=2 且-3≠0， 解得m=2，=-3， 所以 = ． 故答是： ． 点睛：本题考查多项式的概念，解题的关键是熟练运用多项式概念 类型二、分类讨论求参数 例．若多项式 是关于 的三次多项式，则多项式 的值为 ． 【答】 或 / 或 【分析】分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得 的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式 是关于 的三次多项式， 当 时， ， ，则 ，∴ ，∴ ； 当 ， ， ，则 ，∴ ，∴ ； 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的次数是最高次数的项的次数是解题的关 键． 例2．整数 时，多项式 是三次三项代数式． 【答】2 或1 【分析】根据 为三次三项式可得 或 ，算出后再带入多项式 判断是否满足三次三项式即可． 【详解】∵ 为三次三项式， ∴ 或 ， 解得 或 ， （1）当 时，原多项式是 满足题意； （2）当 时，原多项式是 满足题意； （3）当 时，原多项式是 ，当 时，无意义，不满足题意； 综上，整数的值为2 或1， 故答为：2 或1． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的概念是解题关键． 【变式训练1】若关于x 的多项式 与多项式 的次数相同，则式子 的值为 ． 【答】2 或8 【分析】分 和 两种情况，再分别利用多项式的次数的定义求出的值，然后代入 即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当 时，关于x 的多项式 的次数是2， 关于x 的多项式 与多项式 的次数相同， ， 则 ； （2）当 时，关于x 的多项式 的次数是4， 关于x 的多项式 与多项式 的次数相同， ， 则 ； 综上，式子 的值为2 或8， 故答为：2 或8． 【点睛】本题考查了多项式的次数，正确分两种情况讨论是解题关键． 【变式训练2】若多项式 是关于x 的三次多项式，则多项式 的值为 ． 【答】2 或7． 【分析】根据多项式的次数为3，需要进行分类讨论，可得m 的值，从而求出的值，进而 可得答． 【详解】解：∵多项式 是关于x 的三次多项式， ①当 时，即 ， 此时， ； ∴ ， ∴ ； ∴三次多项式为： ； ∴ ； ②当 时，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴三次多项式为： ； ∴ ； 故答为：2 或7． 【点睛】此题主要考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义，正确求出 m、的值进行解题． 【变式训练3】若关于x 的多项式 与多项式 的次数相同，且m、互 为相反数，则 的值为 ． 【答】 或 或或 【分析】分 和 两种情况讨论，根据多项式的定义求得b 的值，再利用互为相反 数的定义即可求解． 【详解】当 时，依题意得： ，解得： 或 ， 当 时，依题意得： ，解得： 或 ， m ∵、互为相反数， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值为： 或 或或． 【点睛】本题考查了整式，解题的关键是正确理解多项式的概念，难点是分类讨论． 课后训练 1．已知多项式 关于x 的五次多项式，且三次项的 系数为3，则 的值为（ ） ．2 或12 B． 或6 ．6 D．2 【答】 【分析】根据题意，|+2|=5，-3≠0，-(m-2)=3，求得m，后，代入计算即可． 【详解】∵多项式 关于x 的五次多项式，且三次项 的系数为3， |+2|=5 ∴ ，-3≠0，-(m-2)=3， 解得=3 或= -7，m=-1，≠3， ∴m-=-1-(-7)=6， 故选． 【点睛】本题考查了多项式的次数，即多项式中次数最高的项的次数，多项式的系数即各 项的数字因数，正确理解次数和系数，并列式计算是解题的关键． 2．已知关于x 的多项式 为二次三项式，则当 时，这个二次三 项式的值是（ ） ．7 B．6 ．4 D．3 【答】 【分析】根据多项式的项数和次数的概念列方程求得m 和的值，从而代入求值． 【详解】解：∵关于x 的多项式（m+3）x3-x+x-m 为二次三项式， ∴m+3=0，=2， 解得：m=-3， ∴关于x 的多项式为-x2+x+6， 当x=-1 时， 原式=-（-1）2+（-1）+6=-1-1+6=4， 故选：． 【点睛】本题考查代数式求值，理解多项式次数和项数的概念，掌握有理数混合运算的运 算顺序和计算法则是解题关键． 3．若多项式xy|m﹣|+（﹣1）x2y2+1 是关于x，y 的三次多项式，则m＝ ． 【答】3 或﹣1 【分析】用多项式的次数求出m， 【详解】解：∵多项式xy|m﹣|+（﹣1）x2y2+1 是关于x，y 的三次多项式， 1 ∴﹣＝0，1+|m | ﹣＝3， ∴＝1，|m | ﹣＝2， ∴m﹣＝2 或﹣m＝2， ∴m＝3 或m＝﹣1， ∴m＝3 或﹣1． 故答为：3 或﹣1． 【点睛】本题考查了多项式的次数，去绝对值运算，用次数建立等量关系是解题关键 ． 4．若多项式 是关于 的一次多项式，则 需满足的条件是 ． 【答】m＝0 【分析】根据多项式为一次多项式，得到第一项系数为0，第二项系数不为0，即可求出m 的值． 【详解】∵多项式m（m-1）x3+（m-1）x+2 是关于x 的一次多项式， m ∴（m-1）=0，且m-1≠0， 则m=0． 故答为：m=0． 【点睛】此题考查了多项式，弄清题意是解本题的关键． 5．已知关于 的多项式 是二次三项式，则 ，当 时，该多 项式的值为 ． 【答】 【分析】先根据二次三项式的定义确定m 的值，再把 代入整式求出代数式的值． 【详解】解：∵关于x 的多项式 是二次三项式， ∴ ，且 ． ∴ ． ∴关于x 的多项式 为 ． 当 时， 原式 ． 故答为：① ，② ． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值，掌握二次三项式的定义是解决本题的关键． 6．关于x、y 的多项式 是四次二项式，则 ． 【答】2 或 【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答． 【详解】解：∵关于x、y 的多项式 是四次二项式， ∴当 ，|m+1|=3 时， ∴m=2； 当m+3=0 时，m=-3，原多项式为 ， 综上所述，m 的值为2 或 ． 故答为：2 或 ． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m 的值是解题关键． 7．若多项式 是关于x，y 的三次多项式，则m= ． 【答】0 或8． 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答． 【详解】解：∵多项式 是关于x，y 的三次多项式， −2 ∴ ＝0，1＋|m−|＝3，∴＝2，|m−|＝2， ∴m−＝2 或−m＝2，∴m＝4 或m＝0，∴m＝0 或8． 故答为：0 或8． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 8．如果关于x、y 的多项式 是三次三项式，试探讨 、的 取值情况． 【答】 或 【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3． 【详解】解： 由题意可知： ， 解得 或 当 时，多项式化为 ，此时当 时多项式为三次三项式； 当 时，多项式化为 ，此时当 时多项式为三次三项式； 综上所述，当 且 或者 且 时多项式为三次三项式 故答为： 或者 【点睛】此题主要考查了三次三项式的定义，正确把握相关定义是解题关键． 9．已知多项式7xm+kx2-（3+1）x+5 是关于x 的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+-k 的值． 【答】5 【分析】先根据这是三系三项式可求出m 的值，再根据一次项的系数为-7 可知k、的值， 然后代入求解即可 【详解】由题意，得m=3，k=0，-（3+1）=-7 解得=2 所以m+-k=3+2-0=5 【点睛】此题考查的是对多项式定义的理解．几个单项式的和叫做多项式；在多项式中， 每个单项式叫做多项式的项；此时，这个单项式的次数是几，就把这个单项式叫做几次项， 而且多项式的次数是所有单项式的最高次．