专题09 期末复习(二)整式的加减(解析版 )

专题09 期末复习（二）整式的加减（解析版） 第一部分 整式加减复习学 知识点一 代数式 1．（2022 秋•朝阳区月考）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ） ．x×5 B．11 2 xy ．25t D．x 1÷ ﹣ y 思路引领：根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再 结合所给的选项进行判断即可． 解：x×5 的正确写法是5x，故不符合题意； 11 2 xy 的正确写法是3 2 xy，故B 不符合题意； 25t 的写法是正确的，故符合题意； x 1÷ ﹣ y 的正确写法x−1 y ，故D 不符合题意； 故选：． 总结升华：本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键． 2．（2012 秋•华容县期末）m 与的3 倍的和可以表示为（ ） ．3m+ B．3（m+） ．m+3 D．3m+3+3 思路引领：由“m 与的3 倍的和”可知用m 加上的3 倍即可． 解：m 与的3 倍的和是（m+3）． 故选：． 总结升华：此题考查列代数式，理解题意，正确列式即可，注意字母与数字的书写． 3．（2021 春•和平区月考）一件商品售价x 元，利润率为%（＞0），则这件商品的成本为 元． 思路引领：设成本是y 元，则y（1+%）＝x，据此即可求解． 解：设成本是y 元，则y（1+%）＝x， 则y¿ x 1+a% ． 故答是： x 1+a% ． 总结升华：本题考查了列代数式，正确理解增长率的含义是关键． 知识点二 整式的相关概念 4．把下列各式填在相应的大括号里： x 7 ﹣，1 3 x，4b，2 3a ，5−3 x ，y，s t ，x+1 3 ，x 7 + y 7 ，x2+x 2 +¿1，m−1 m+1 ，83x，﹣1 单项式集合{ …}； 多项式集合{ …}； 整式集合{ …}． 思路引领：根据单项式、多项式、整式的定义解答即可． 解：单项式有：1 3 x，4b，y，83x，﹣1； 多项式有：x 7 ﹣，x+1 3 ，x 7 + y 7 ，x2+x 2 +¿1； 整式有：1 3 x，4b，y，83x，﹣1，x 7 ﹣，x+1 3 ，x 7 + y 7 ，x2+x 2 +¿1． 故答为：1 3 x，4b，y，83x，﹣1；x 7 ﹣，x+1 3 ，x 7 + y 7 ，x2+x 2 +¿1；1 3 x，4b，y，83x，﹣1，x 7 ﹣，x+1 3 ，x 7 + y 7 ，x2+x 2 +¿1． 总结升华：本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 5．（2021 秋•常宁市期末）下列说法错误的是（ ） ．2x2 3 ﹣xy 1 ﹣是二次三项式 B．﹣x+1 不是单项式 ．2b2是二次单项式 D．﹣xy2的系数是﹣1 思路引领：根据多项式的次数，多项式的定义，单项式的定义，单项式的次数和系数的定义逐个判断即 可． 解：．2x2 3 ﹣xy 1 ﹣是二次三项式，故本选项不符合题意； B．﹣x+1 是多项式，不是单项式，故本选项不符合题意； ．2b2是三次单项式，故本选项符合题意； D．﹣xy2的系数是﹣1，故本选项不符合题意； 故选：． 总结升华：本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键， 注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，单 项式中所有字母的指数的和，叫这个单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其 中的每个单项式，叫多项式的项，多项式中，次数最高的项的次数，叫多项式的次数． 6．（2021 秋•晋江市校级期中）将多项式2x2 4+3 ﹣ x 按x 的降幂排列为 ． 思路引领：根据降幂排列的要求对原整式进行排序． 解：由题意得2x2 4+3 ﹣ x＝2x2+3x 4 ﹣， 故答为：2x2+3x 4 ﹣． 总结升华：此题考查了对多项式进行降幂排列的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 7．（2011 秋•洛宁县期中）若﹣3xm 2 ﹣y 2 ﹣和1 3 x5y4﹣m是同类项，求（m 2 ﹣）2 5 ﹣（m+）﹣2（m 2 ﹣）2+m+ 的值． 思路引领：利用同类项的定义求出m 与的值，原式合并后代入计算即可求出值． 解：∵﹣3xm 2 ﹣y 2 ﹣和1 3 x5y4﹣m是同类项， ∴m 2 ﹣＝5，﹣2＝4﹣m， 解得：m¿ 17 3 ，¿ 1 3 ， 可得m 2 ﹣＝5，m+＝6， 则原式＝﹣（m 2 ﹣）2 4 ﹣（m+）＝﹣25 24 ﹣ ＝﹣49． 总结升华：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 知识点三 添括号与去括号 8．（2020 秋•兴业县期末）下列去括号正确的是（ ） ．x﹣（5y 3 ﹣x）＝x 5 ﹣y 3 ﹣x B．5x [2 ﹣ y﹣（x﹣z）]＝5x 2 ﹣y+x﹣z ．2x+（﹣3y+7）＝2x 3 ﹣y 7 ﹣ D．﹣3（b + ﹣d）＝﹣3b 3 3 ﹣﹣d 思路引领：根据去括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． 解：、x﹣（5y 3 ﹣x）＝x 5 ﹣y+3x．故本选项错误； B、5x [2 ﹣ y﹣（x﹣z）]＝5x 2 ﹣y+x﹣z．故本选项正确； 、2x+（﹣3y+7）＝2x 3 ﹣y+7．故本选项错误； D、﹣3（b + ﹣d）＝﹣3b+3 3 ﹣d．故本选项错误； 故选：B． 总结升华：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相 乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号 里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 12．（2017 秋•蒙自市期末）下列添括号的变形中，正确的是（ ） ．+b﹣＝+（b﹣） B．﹣b+＝+（b+） ．+b﹣＝﹣（b+） D．+b﹣＝﹣（b﹣） 思路引领：根据添括号法则解答． 解：、原式＝+（b﹣），计算正确，符合题意． B、原式＝+（﹣b+），计算错误，不符合题意． 、原式＝﹣（﹣b+），计算错误，不符合题意． D、原式＝﹣（﹣b+），计算错误，不符合题意． 故选：． 总结升华：本题主要考查了去括号与添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号 里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验． 知识点四 整式的化简 9．（2021 秋•江都区校级月考）化简： （1）2x+3y﹣（3x﹣y）； （2）4（m2+）+2（﹣2m2）． 思路引领：（1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 解：（1）2x+3y﹣（3x﹣y） ＝2x+3y 3 ﹣x+y ＝﹣x+4y； （2）4（m2+）+2（﹣2m2） ＝4m2+4+2 4 ﹣m2 ＝6． 总结升华：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 10．先化简，再求值． （1）3（2x2y 3 ﹣xy2）﹣（xy2 3 ﹣x2y），其中x¿ 1 2 ，y＝﹣1； （2）3 [ 2 ﹣﹣b+（4 3 ﹣b）]，其中＝﹣1，b＝3． 思路引领：（1）先把两多项式外的括号去掉，注意括号前是负因数时，把负因数同括号内各项相乘后 各项要改变符号；再把式子中的同类项进行合并整理，把字母的值代入化简后式子，即可得出答； （2）从内到外先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可化简原式，再将字母的值代入计算即可 得出答． 解：（1）3（2x2y 3 ﹣xy2）﹣（xy2 3 ﹣x2y） ＝6x2y 9 ﹣xy2﹣xy2+3x2y ＝9x2y 10 ﹣ xy2， 当x¿ 1 2 ，y＝﹣1 时， 原式＝9×（1 2 ）2×（﹣1）﹣10× 1 2 ×（﹣1）2 ¿−9 4 −10 2 ¿−29 4 ； （2）3 [ 2 ﹣﹣b+（4 3 ﹣b）] ＝3 [ 2 ﹣﹣b+4 3 ﹣b] ＝3+2b 4+3 ﹣ b ＝﹣+5b， 当＝﹣1，b＝3 时， 原式＝﹣（﹣1）+5×3＝16． 总结升华：本题考查整式加减，代数式求值的相关知识，熟知去括号法则及合并同类项法则是关键． 知识点五 求代数式的值与整体思想 11．（2020 秋•宽城区期末）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要． 例如：已知2+2＝2，则代数式22+4+3＝2（2+2）+3＝2×2+3＝7． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若x2 3 ﹣x＝4，求1﹣x2+3x 的值． （2）当x＝1 时，代数式px3+qx 1 ﹣的值是5，求当x＝﹣1 时，代数式px3+qx 1 ﹣的值． （3）当x＝2020 时，代数式x5+bx3+x+6 的值为m，直接写出当x＝﹣2020 时，代数式x5+bx3+x+6 的值． （用含m 的代数式表示） 思路引领：（1）将1﹣x2+3x 变形，再将x2 3 ﹣x＝4 整体代入计算即可． （2）先由当x＝1 时，代数式px3+qx 1 ﹣的值是5，得出p+q 1 ﹣＝5，进而得出p+q 的值，再将x＝﹣1 代入px3+qx 1 ﹣并对其变形，然后将p+q 的值整体代入计算即可． （3）先由当x＝2020 时，代数式x5+bx3+x+6 的值为m，得出×20205+b×20203+×2020+6＝m，变形得出 ×20205+b×20203+×2020 的值，再将x ＝﹣2020 代入x5+bx3+x+6 ，然后变形并整体将 ×20205+b×20203+×2020 的值代入计算即可． 解：（1）∵x2 3 ﹣x＝4， 1 ∴﹣x2+3x ＝1﹣（x2 3 ﹣x） ＝1 4 ﹣ ＝﹣3． （2）当x＝1 时，代数式px3+qx 1 ﹣的值是5，即p+q 1 ﹣＝5， ∴p+q＝6． ∴当x＝﹣1 时， px3+qx 1 ﹣ ＝﹣p﹣q 1 ﹣ ＝﹣（p+q）﹣1 ＝﹣6 1 ﹣ ＝﹣7． （3）∵当x＝2020 时，代数式x5+bx3+x+6 的值为m，即×20205+b×20203+×2020+6＝m， ×2020 ∴ 5+b×20203+×2020＝m 6 ﹣， ∴x＝﹣2020 时， x5+bx3+x+6 ＝×（﹣2020）5+b×（﹣2020）3+×（﹣2020）+6 ＝﹣（×20205+b×20203+×2020）+6 ＝﹣（m 6 ﹣）+6 ＝﹣m+12． 总结升华：本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并运用整体代入思想是解题的关键． 12．若（3x+1）5＝x5+bx4+x3+dx2+ex+f，则++e＝ ． 思路引领：可以令x＝±1，再把得到的两个式子相减，即可求值． 解：∵（3x+1）5＝x5+bx4+x3+dx2+ex+f， 令x＝﹣1，有﹣32＝﹣+b + ﹣d﹣e+f① 令x＝1，有1024＝+b++d+e+f② 由②﹣①有：1056＝2+2+2e， 即：528＝++e． 总结升华：本题考查了代数式求值的知识，注意对于复杂的多项式可以给其特殊值，比如±1． 知识点六 整式“缺项”及与字母取值无关的问题 13．已知关于x，y 的多项式x2+2bxy+x2﹣x 2 ﹣xy+y 不含二次项，求，b 的值． 思路引领：先合并同类项，再根据题意得到+1＝0，2b 2 ﹣＝0，进而解决此题． 解：x2+2bxy+x2﹣x 2 ﹣xy+y＝（+1）x2+（2b 2 ﹣）xy﹣x+y． ∵关于x，y 的多项式x2+2bxy+x2﹣x 2 ﹣xy+y 不含二次项， +1 ∴ ＝0，2b 2 ﹣＝0． ∴＝﹣1，b＝1． 总结升华：本题主要考查合并同类项、多项式，熟练掌握多项式的定义、合并同类项法则是解决本题的 关键． 14．（2022 春•泰州期末）已知：＝3x2+2xy+3y 1 ﹣，B＝x2﹣xy． （1）计算：﹣3B； （2）若﹣3B 的值与y 的取值无关，求x 的值． 思路引领：（1）利用去括号的法则去掉括号再合并同类项即可； （2）令y 的系数的和为0，即可求得结论． 解：（1）﹣3B ＝（3x2+2xy+3y 1 ﹣）﹣3（x2﹣xy） ＝3x2+2xy+3y 1 3 ﹣﹣x2+3xy ＝5xy+3y 1 ﹣； （2）∵﹣3B＝5xy+3y 1 ﹣＝（5x+3）y 1 ﹣， 又∵﹣3B 的值与y 的取值无关， 5 ∴x+3＝0， ∴x¿−3 5 ． 总结升华：本题主要考查了整式的加减，正确利用去括号的法则进行运算是解题的关键． 知识点七 整式的实际应用 15．（2021 秋•曲阳县期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面 为长方形（长为m，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图 ②中两块阴影部分的周长和是（ ） ．4m B．4 ．2（m+） D．4（m+） 思路引领：设图①小长方形的长为，宽为b，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和， 根据题意得到+2b＝m，代入计算即可得到结果． 解：设小长方形的长为，宽为b， 上面的长方形周长：2（m + ﹣﹣），下面的长方形周长：2（m 2 ﹣b+ 2 ﹣b）， 两式联立，总周长为：2（m + ﹣﹣）+2（m 2 ﹣b+ 2 ﹣b）＝4m+4 4 ﹣（+2b）， +2 ∵ b＝m（由图可得）， ∴阴影部分总周长为4m+4 4 ﹣（+2b）＝4m+4 4 ﹣m＝4． 故选：B． 总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2022 春•南岸区期末）如图1，是（x+y）（为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x 的次数从 大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的 数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各 项的系数与图2 中某行的数一一对应． 当y＝1 时，（x+y）＝（x+1）＝x+ 1 ﹣x 1 ﹣+ + ⋯ 1x+0，其中表示的是x 项的系数（＝1，2， ，）， ⋯ 0是常 数项． 如（x+1）3＝3x3+2x2+1x+0＝x3+3x2+3x+1，其中3＝1，2＝1＝3，0＝1．所以，（x+1）3展开后的系数和为 3+2+1+0＝1+3+3+1＝8． 也可令x＝1，（x+1）3＝3×13+2×12+1×1+0＝3+2+1+0＝23＝8． 根据以上材料，解决下列问题： （1）写出（x 1 ﹣）6去掉括号后，每一项按照字母x 的次数从大到小排列的等式； （2）若（2x+1）4＝4x4+3x3+2x2+1x+0，求4+2+0的值； （3）已知（x+t）5＝5x5+4x4+3x3+2x2+1x+0，其中t 为常数．若3＝90，求5+4+3+2+1+0的值． 思路引领：（1）由题意可则，（x 1 ﹣）6的系数与杨辉三角的第7 行数对应，即可求解； （2）由（2x+1）4＝16x4+32x3+24x2+8x+1，求解即可； （3）求出t＝±3，当t＝3 时，令x＝1，则5+4+3+2+1+0＝45＝1024；当t＝﹣3 时，令x＝1，则 5+4+3+2+1+0＝（﹣2）5＝﹣32． 解：（1）由题意可则，（x 1 ﹣）6的系数与杨辉三角的第7 行数对应， ∴（x 1 ﹣）6＝x6 6 ﹣x5+15x4 20 ﹣ x3+15x2 6 ﹣x+1； （2）∵（2x+1）4＝16x4+32x3+24x2+8x+1， ∴4+2+0＝16+24+1＝41； （3）∵3＝10t2＝90， ∴t＝±3， 当t＝3 时，（x+3）5＝5x5+4x4+3x3+2x2+1x+0， 令x＝1，则5+4+3+2+1+0＝45＝1024； 当t＝﹣3 时，（x 3 ﹣）5＝5x5+4x4+3x3+2x2+1x+0， 令x＝1，则5+4+3+2+1+0＝（﹣2）5＝﹣32； 综上所述：5+4+3+2+1+0的值为1024 或﹣32． 总结升华：本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的 关键． 第二部分 整式加减复习晚上作业 1．（2014 春•沛县期中）如果两块面积为公顷、b 公顷的棉田，分别产棉花m 千克、千克，那么这两块棉 田的平均产量为（ ） ．m a 千克/公顷 B．n b 千克/公顷 ．m+n a+b 千克/公顷 D．m a + n b 千克/公顷 思路引领：求这这两块棉田的平均产量，首先算出棉花的总产量和总面积数；再用棉花的总产量除以总 面积数即可． 解：（m+）÷（+b）¿ m+n a+b （千克/公顷）． 故选：． 总结升华：此题考查列代数式，注意理解题意，利用常见数量关系解决问题． 2．（2022•南京模拟）如果整式x 2 ﹣+5x 2 ﹣是三次三项式，那么等于（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 思路引领：根据多项式的概念解答即可． 解：∵多项式x 2 ﹣+5x 2 ﹣是关于x 的三次三项式， 2 ∴﹣＝3， 解得＝5， 故选：． 总结升华：本题考查了根据多项式的次数求参数的值，理解三次三项式的含义是解决本题的关键． 3．（2021 秋•建华区期中）已知单项式26b+1 与1 3 3mb3 的和仍然是单项式，则式子9m2﹣m 36 ﹣ 的值为（ ） ．﹣1 B．﹣2 ．﹣3 D．﹣4 思路引领：根据合并同类项法则得出3m＝6，+1＝3，求出m、的值，再代入求出答即可． 解：根据题意，得3m＝6，+1＝3， 解得m＝2，＝2． 所以9m2﹣m 36 ﹣ ＝9×22 2×2 36 ﹣ ﹣ ＝﹣4． 故选：D． 总结升华：本题考查了合并同类项法则和求代数式的值，能根据合并同类项法则得出3m＝6，+1＝3 是 解此题的关键． 4．（2022 秋•玄武区期中）下列去括号正确的是（ ） ．2﹣（2﹣b2）＝2 2 ﹣﹣b2 B．﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）＝﹣2x+y+x2﹣y2 ．2x2 3 ﹣（x 5 ﹣）＝2x2 3 ﹣x+5 D．﹣﹣（﹣42+1 3 ﹣）＝42 1+2 ﹣ 思路引领：根据去括号法则逐个判断即可． 解：．2﹣（2﹣b2）＝2 2+ ﹣ b2，故本选项不符合题意； B．﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）＝﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项不符合题意； ．2x2 3 ﹣（x 5 ﹣）＝2x2 3 ﹣x+15，故本选项不符合题意； D．﹣﹣（﹣42+1 3 ﹣）＝﹣+42 1+3 ﹣ ＝42+2 1 ﹣，故本选项符合题意； 故选：D． 总结升华：本题考查了去括号法则，能熟记去括号法则是解此题的关键，①括号前面是“+”号，把括 号和它前面的“+”去掉，括号内各项都不改变符号，②括号前面是“﹣”号，把括号和它前面的