2017年高考数学试卷（文）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 【考点】1D：并集及其运算． 【专题】11：计算题；49：综合法． 【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出 两集合的并集． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}， ∴A∪B={1，2，3，4} 故选：A． 【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集 的运算规则，是集合中的基本概念型题． 2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 3．（5分）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ） A．4π B．2π C．π D． 【考点】H1：三角函数的周期性． 【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可． 【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题． 4．（5分）设非零向量，满足| + |=| ﹣|则（ ） A．⊥ B．| |=| | C．∥ D．| |＞| | 【考点】91：向量的概念与向量的模． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ． 【解答】解：∵非零向量，满足| + |=| ﹣|， ∴ ， ， ， 解得 =0， ∴ ． 故选：A． 【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注 意向量的模的性质的合理运用． 5．（5分）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ） A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，2） 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可． 【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为：= = ∈（1， ）． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为（ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一 半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱 的一半， V=π•32×10﹣•π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】 本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小 值即可． 【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由 解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 8．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 【考点】3G：复合函数的单调性． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则 y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． 【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二 次数函数的图象和性质，难度中档． 9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师 说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看 丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根 据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道 对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出 正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会 知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是 优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了． 给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就 知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良， 则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道 自已的成绩了 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师 所说及最后甲说话，属于中档题． 10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 （ ） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上 的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张 卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再 随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的 合理运用． 12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x 轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为 （ ） A． B．2 C．2 D．3 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公 式求解即可． 【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣ 1）， 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知： ，解得M（3，2 ）． 可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ， 则M到直线NF的距离为： =2 ． 故选：C． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ． 【考点】HW：三角函数的最值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的 图像与性质． 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即 可． 【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），其 中tanθ=2， 可知函数的最大值为： ． 故答案为： ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的 应用，考查计算能力． 14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）= 12 ． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根 据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于 基础题． 15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上， 则球O的表面积为 14π ． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上， 可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为： = ． 则球O的表面积为：4× =14π． 故答案为：14π．【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空 间想象能力以及计算能力． 16 ．（5 分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 2bcosB=acosC+ccosA，则B= ． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值； 58：解三角形． 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB= ， ∵0＜B＜π， ∴B= ， 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为 Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2． （1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式； （2）若T3=21，求S3． 【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方 程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差 数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公 式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式 和求和，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5， 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5， 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去）， 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*； （2）b1=1，T3=21， 可得1+q+q2=21， 解得q=4或﹣5， 当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2， d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6； 当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7， d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公 差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础 题． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可． 【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂ 平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD； （2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x， 则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点， 连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE， 则OE= ，PO= ，PE= = ， △PCD面积为2 ，可得： =2 ， 即： ，解得x=2，PO=2 ． 则V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PO= =4 ． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几 何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率分布直方图如下： （1）记A表 示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 K2= ． 【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验． 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； （2 ）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2= ≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案； （3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62； （2）根据题意，补全列联表可得： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则有K2= ≈15.705＞6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由频率分布直方图可得： 旧 养 殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 1= （27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57 .5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1； 新 养 殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 2= （37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67 .5×0.008）×5=5×10.47=52.35； 比较可得：1＜2， 故新养殖法更加优于旧养殖法． 【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方 差的计算，关键认真分析频率分布直方图． 20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M作x轴的垂 线，垂足为N，点P满足 = ． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的 左焦点F． 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合． 【专