2016年高考数学试卷（文）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一 个选项符合题目要求. 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}， ∴A∩B={1，2}． 故选：D． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义 的合理运用． 2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（ ） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案． 【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i， ∴z=3﹣2i， ∴=3+2i， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难 度不大，属于基础题． 3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ） A．y=2sin（2x﹣ ） B．y=2sin（2x﹣ ） C．y=2sin（x+ ） D．y=2sin（x+ ） 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A， ω，φ值，可得答案． 【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2， = ，故T=π，ω=2， 故y=2sin（2x+φ）， 将（ ，2）代入可得：2sin（ +φ）=2， 则φ=﹣ 满足要求， 故y=2sin（2x﹣ ）， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确 定各个参数的值是解答的关键． 4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A．12π B． π C．8π D．4π 【考点】LG：球的体积和表面积． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球． 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可 求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2， 正方体的体对角线为 =2 ， 即为球的直径，所以半径为 ， 所以球的表面积为 =12π． 故选：A． 【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题． 5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x 轴，则k=（ ） A． B．1 C． D．2 【考点】K8：抛物线的性质． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性 质，可得k值． 【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0）， 曲线y= （k＞0）与C交于点P在第一象限， 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1， 代入C得：P点纵坐标为2， 故k=2，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函 数的性质，难度中档． 6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a= （ ） A．﹣ B．﹣ C． D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1， 解得：a= ， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中 档． 7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（ ） A．20π B．24π C．28π D．32π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；35：转化思想； 49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4， 圆锥的高是2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面 积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面 积，注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ， ∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4， ∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， ∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是28π， 故选：C． 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能 是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的 概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率． 【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯， ∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．故选：B． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基 础． 9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输 出的s=（ ） A．7 B．12 C．17 D．34 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17，故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时， 可采用模拟程序法进行解答． 10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相 同的是（ ） A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y= 【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值． 【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞）， 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求； 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求； 函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求； 函数y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函 数的定义域和值域，是解答的关键． 11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】HW：三角函数的最值． 【专题】 33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性 质． 【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx （﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以 及正弦函数的值域即可得到所求最大值． 【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x） =1﹣2sin2x+6sinx， 令t=sinx（﹣1≤t≤1）， 可得函数y=﹣2t2+6t+1 =﹣2（t﹣）2+ ， 由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增， 即有t=1即x=2kπ+ ，k∈Z时，函数取得最大值5． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式， 同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3| 与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 xi=（ ） A．0 B．m C．2m D．4m 【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数 的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称， 进而得到答案． 【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x）， 故函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称， 故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，故 xi= ×2=m， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度 中档． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ﹣6 ． 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用． 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可． 【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥， 可得12=﹣2m，解得m=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 ﹣5 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应 用；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合 得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数 得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得B（3， 4）． 化目标函数z=x﹣2y为y= x﹣z， 由图可知，当直线y= x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小 值为：3﹣2×4=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数 形结合的解题思想方法，是中档题． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b= ． 【考点】HU：解三角形． 【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公 式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得 sinA= = = ， sinC= = = ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ， 由正弦定理可得b= = = ． 故答案为： ． 【点评】 本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角 的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题． 16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取 走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”， 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡 片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 1和3 ． 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑． 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两 种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断 出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3． 故答案为：1和3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这 类题注意找出解题的突破口． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如 [0.9]=0，[2.6]=2． 【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an} 的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a4=4，a5+a7=6． ∴ ， 解得： ， ∴an= ； （Ⅱ）∵bn=[an]， ∴b1=b2=b3=1， b4=b5=2， b6=b7=b8=3， b9=b10=4． 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24． 【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中 档． 18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保 人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计 值； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求P（B）的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【考点】B2：简单随机抽样． 【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计． 【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人 数．总事件人数，即可求P（A）的估计值； （Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费 的160%”的人数．然后求P（B）的估计值； （Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计 值． 【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事 件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保， P（A）的估计值为： = ； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为： = ； （ Ⅲ ） 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 估 计 值 为 = =1.1925a．【点评】本题考 查样本估计总体的实际应用，考查计算能力． 19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD， CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中 直线与直线之间的位置关系． 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体 几何． 【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可． （2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥 D′﹣ABCFE的高，即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD， CD上，AE=CF， ∴EF∥AC，且EF⊥BD 将△DEF沿EF折到△D′EF的位置， 则D′H⊥EF， ∵EF∥AC， ∴AC⊥HD′； （Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4， ∵AE= ，AD=AB=5， ∴DE=5﹣= ，∵EF∥AC， ∴ = = = = ， ∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1， ∵HD′=DH=3，OD′=2 ， ∴满足HD′2=OD′2+OH2， 则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH， 又OD′⊥AC，AC∩OH=O， 即OD′⊥底面ABCD， 即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高． 底面五边形的面积S= + = + =12+ = ， 则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= S•OD′= × ×2 = ． 【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的 判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积 公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高． 考查学生的运算和推理能力． 20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围． 【考点】66：简