2018年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合． 【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩B={0，2}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查． 2．（5分）设z= +2i，则|z|=（ ） A．0 B． C．1 D． 【考点】A8：复数的模． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【解答】解：z= +2i= +2i=﹣i+2i=i， 则|z|=1． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能 力． 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现 翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论 中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一 半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简 易逻辑． 【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新 农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果． 【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确． C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a=2， 故C项正确． D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为2a， 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故D项正确． 因为是选择不正确的一项， 故选：A． 【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发 现问题解决问题的能力． 4．（5分）已知椭圆C： + =1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆C： + =1的一个焦点为（2，0）， 可得a2﹣4=4，解得a=2 ， ∵c=2， ∴e= = = ．故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截 该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．12 π B．12π C．8 π D．10π 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然 后求解圆柱的表面积． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R， 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2， 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R= ， 则该圆柱的表面积为： =12π． 故选：B． 【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质， 是基本知识的考查． 6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f （x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求 解切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函 数， 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 =（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． + D． + 【考点】9H：平面向量的基本定理． 【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， = ﹣ = ﹣ = ﹣× （ + ） = ﹣ ， 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础 题． 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求 值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型 函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果． 【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， = ， = ， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为 ， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性 质的应用． 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在 此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） A．2 B．2 C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点N在左视图上 的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度： =2 ． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查 计算能力． 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角 为30°，则该长方体的体积为（ ） A．8 B．6 C．8 D．8 【考点】MI：直线与平面所成的角． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间 位置关系与距离． 【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即 可． 【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2， AC1与平面BB1C1C所成的角为30°， 即∠AC1B=30°，可得BC1= =2 ． 可得BB1= =2 ． 所以该长方体的体积为：2× =8 ． 故选：C． 【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算 能力． 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上 有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α= ，则|a﹣b|=（ ） A． B． C． D．1 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1= ，从而|cosα|= ，进而|tanα|=| |=|a﹣b|= ．由此能求出结果． 【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α= ， ∴cos2α=2cos2α﹣1= ，解得cos2α= ， ∴|cosα|= ，∴|sinα|= = ， |tanα|=| |=|a﹣b|= = = ． 故选：B． 【点评】 本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 12．（5分）设函数f（x）= ，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值 范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0） 【考点】5B：分段函数的应用． 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【解答】解：函数f（x）= ，的图象如图： 满足f（x+1）＜f（2x）， 可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0， 解得x∈（﹣∞，0）． 故选：D． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性 以及不等式的解法，考查计算能力． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ﹣7 ． 【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系． 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1， 可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本 知识的考查． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 6 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即 可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+ z， 平移直线y=﹣x+ z， 由图象知当直线y=﹣x+ z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结 合是解决本题的关键． 15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|= 2 ． 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关 系，求解即可． 【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2， 圆心到直线的距离为： = ， 所以|AB|=2 =2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力． 16 ．（5 分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知 bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为 ． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】 直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三 角形的面积． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于0＜B＜π，0＜C＜π， 所以sinBsinC≠0， 所以sinA= ， 则A= 由于b2+c2﹣a2=8， 则： ， ①当A= 时， ， 解得bc= ， 所以 ． ②当A= 时， ， 解得bc=﹣ （不合题意），舍去． 故： ． 故答案为： ． 【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦 定理的应用及三角形面积公式的应用． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn= ． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项． （2）利用定义说明数列为等比数列． （3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an， 则： （常数）， 由于 ， 故： ， 数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得： ， 所以：b1=1，b2=2，b3=4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于 （常数）； （3）由（1）得： ， 根据 ，所以： ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式 的求法及应用． 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折 痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ= DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积； LY：平面与平面垂直． 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面 ACD⊥平面ABC； （2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ= DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出 三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积． 【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC， 又AB⊥DA．且AD∩AC=A， ∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC； （2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3 ， ∴BP=DQ= DA=2 ， 由（1 ）得DC⊥AB，又DC⊥CA ，∴DC⊥面ABC ，∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V= = × × = =1． 【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题 的能力，属于中档题． 19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3） 和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [ [ [ [ [ [ [ 0， 0.1） 0.1， 0.2） 0.2， 0.3） 0.3， 0.4） 0.4， 0.5） 0.5， 0.6） 0.6， 0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； （2）估计该家庭使用节水 龙头后，日用水量小于0.35m3的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算， 同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了 节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均 用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水． 【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表， 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图： （2）根据频率分布直方图 得： 该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为： p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量 为： （1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为： （1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3． 【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求 法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题． 20．（12分）设抛物线C：y2 =2x，点A（2，0），B（﹣2，0）