2019年高考数学试卷（文）（新课标Ⅱ）（解析卷）

1/18 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 答案解析版 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ，则A∩B= A. (–1，+∞) B. (–∞，2) C. (–1，2) D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知， ，故选C． 【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错 点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题． 2.设z=i(2+i)，则 = A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据共轭复数的概念，写出 ． 【详解】 ， 所以 ，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力 的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 1/18 3.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= A. B. 2 2/18 C. 5 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】 本题先计算 ，再根据模的概念求出 ． 【详解】由已知， ， 所以 ， 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的 考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模 的过程中出错． 4.生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只， 则恰有2 只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的 计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3 只兔子为 ，剩余的2 只为 ，则从这5 只中任取3 只 的 所 有 取 法 有 ， 共10 种．其中恰有2 只做过测试的取法有 2/18 共6 种， 所以恰有2 只做过测试的概率为 ，选B． 【点睛】 3/18 本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用 “ ” 列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用树图法， 可最大限度的避免出错． 5. “ ” 在一带一路知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 【分析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3 人成 绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测 正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙 预测正确，不符合题意，故选A． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了 基础知识、逻辑推理能力的考查． 6.设f(x)为奇函数，且当x≥0 时，f(x)= ，则当x<0 时，f(x)= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 先把x<0，转化为-x>0,代入可得 ，结合奇偶性可得 . 【详解】 是奇函数， ．当 时， ， 3/18 ，得 ．故选D． 【点睛】 4/18 本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利 用转化与化归的思想解题． 7.设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是 A. α 内有无数条直线与β 平行 B. α 内有两条相交直线与β 平行 C. α，β 平行于同一条直线 D. α，β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用 面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件， 由面面平行性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相 交直线都与 平行是 的必要条件，故选B． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住， “ 凭主观臆断，如：若 ，则 ”此类的错误． 8.若x1= ，x2= 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 = A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 从极值点可得函数 周期，结合周期公式可得 . 的 4/18 【详解】由题意知， 的周期 ，得 ．故选A． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算 素养．采取公式法，利用方程思想解题． 9.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p= 5/18 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除 的方法，如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可 排除B，C，故选D． 【详解】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ，故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 10.曲线y=2sinx+cosx 在点(π – ，1)处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当 时， ，即点 在曲线 上． 则 在点 处 的切线方程为 ，即 ．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学 运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错 5/18 首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点 再求导，然后列出切线方程． 11.已知a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα= 6/18 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答案． 【详解】 ， ． ，又 ， ，又 ， ，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函 数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细 心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感 觉． 12.设F 为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离 心率． 6/18 【详解】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴， 7/18 又 ， 为以 为直径的圆的半径， 为圆心 ． ，又 点在圆 上， ，即 ． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先 考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆 锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13.若变量x，y 满足约束条件 则z=3x–y 的最大值是___________. 【答案】9. 【解析】 【分析】 作出可行域，平移 找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数 可得. 7/18 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示， 8/18 阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线 中的 表示纵截距的相反数，当直线 过点 时， 取最大值 为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算 素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数 几何意义致误，从 线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值． 14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正 点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】 本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高 铁平均正点率约为 ． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估 算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算 出正点列车数量与列车总数的比值． 15. 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则 B=___________. 的 8/18 【答案】 . 【解析】 【分析】 先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得 ． ， 9/18 得 ，即 ， 故选D． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取 定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在 范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方 体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一 个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长 为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 【答案】 (1). 共26 个面. (2). 棱长为 . 【解析】 【分析】 第一问可按题目数出来，第二问需 正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几 何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计18 个面，第二层共有8 个面，所以该半 正多面体共有 个面． 如图，设该半正多面体的棱长为 ，则 ，延长 与 交于点 ，延长 交正方体棱于 ，由半正多面体对称性可知， 为等腰直角三角形， ， 在 9/18 ，即该半正多面体棱长为 ． 10/18 【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物 体位置还原 关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面 化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形． 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根 据要求作答． （一）必考题：共60 分。 17.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【解析】 【分析】 （1）先由长方体得， 平面 ，得到 ，再由 ，根据线 面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先设长方体侧棱长为 ，根据题中条件求出 ；再取 中点 ，连结 ， 是 10/18 证明 平面 ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为在长方体 中， 平面 ； 11/18 平面 ，所以 ， 又 ， ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）设长方体侧棱长为 ，则 ，由（1）可得 ；所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ，解得 ； 取 中点 ，连结 ，因为 ，则 ； 所以 平面 ， 所以四棱锥 的体积为 . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记 线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 18.已知 是各项均为正数的等比数列， . （1）求 的通项公式； 11/18 （2）设 ，求数列 的前n 项和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以根据数列 是等比数列将 转化为 ， 转化为 12/18 ，再然后将其带入 中，并根据数列 是各项均为正数以及 即可通过 运算得出结果； (2)本题可以通过数列 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列 的通项公式， 再通过数列 的通项公式得知数列 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得 出结果。 【详解】(1)因为数列 是各项均为正数的等比数列， ， ， 所以令数列 的公比为 ， ， ， 所以 ，解得 (舍去)或 ， 所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， 。 (2)因为 ，所以 ， ， ， 所以数列 是首项为、公差为 的等差数列， 。 本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差 数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。 19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表）.（精确到0.01） 附： . 【答案】(1) 增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ； 12/18 （2）平均数 ；标准差 . 【解析】 13/18 【分析】 (1)本题首先可以通过题意确定 个企业中增长率超过 的企业以及产值负增长的企 业的个数，然后通过增长率超过 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的 企业总数即可得出结果； (2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。 【详解】(1)由题意可知，随机调查的 个企业中增长率超过 的企业有 个， 产值负增长的企业有 个， 所以增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 。 (2)由题意可知，平均值 ， 标准差的平方： ， 所以标准差 。 【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考 查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题。 20.已知 是椭圆 的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原 点． （1）若 为等边三角形，求C 的离心率； （2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b 的值和a 的 取值范围. 【答案】(1) ；（2） ，a 的取值范围为 . 13/18 【解析】 【分析】 （1）先连结 ，由 为等边三角形，得到 ， ， 14/18 ；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点 存在，当且 仅当 ， ， ，根据三个式子联立，结合题中条件， 即可求出结果. 【详解】（1）连结 ，由 为等边三角形可知：在 中， ， ， ， 于是 ， 故椭圆C 的离心率为 ； （2）由题意可知，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ， 即 ① ② ③ 由②③以及 得 ，又由①知 ，故 ； 由②③得 ，所以 ，从而 ，故 ； 14/18 当 ， 时，存在满足条件的点 . 故 ，a 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记 椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题. 21.已知函数 .证明： （1） 存在唯一的极值点；（2） 15/18 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】 （1）先对函数 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一 ，使得 ，进 而可得判断函数 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立； （2）先由（1）的结果，得到 ， ，得到 在 内存在唯一实根，记作 ，再求出 ，即可结合题意， 说明结论成立. 【详解】（1）由题意可得， 的定义域为 ， 由 ， 得 ， 显然 单调递增； 又 ， ， 故存在唯一 ，使得 ； 又当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减； 因此， 存在唯一的极值点； 15/18 （2）由（1）知， ，又 ， 所以 在 内存在唯一实根，记作 . 由 得 ， 又 ， 故 是方程 在 内的唯一实根； 综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【点睛】 16/18 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、 以及函数零点的问题，属于常考题型. （二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分． 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线l 过 点 且与 垂直，垂足为P. （1）当 时，求 及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1 ） ，l 的极坐标方程为 ；（2 ） 【解析】 【分析】 （1）先由题意，将 代入 即可求出 ；根据题意求出直线的直角坐标 方程，再化为极坐标方程即可； （2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值 范围. 【详解】（1）因为点 在曲线 上， 所以 ； 即 ，所以 ， 因 直线l 过点 且与 垂直， 为 16/18 所以直线的直角坐标方程为 ，即 ； 因此，其极坐标方程为 ，即l 的极坐标方程为 ； （2）设 ，则 ， ，由题意， ，所以 ，故 ，整理得 ， 因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以 ， 17/18 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ，即 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考 题型. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据 ，将原不等式化为 ，分别讨论