2017年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ） A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x|x＜} D．A∪B=R 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合． 【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论． 【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}， ∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误； A∪B={x||x＜2}，故C，D错误； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩 产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这 种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解． 【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据 集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩 产量稳定程度； 在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳 定程度； 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水 平”， 故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B． 【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基 础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和 意义的合理运用． 3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i） 【考点】A5：复数的运算． 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数． B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数． C．（1+i）2=2i为纯虚数． D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题． 4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取 一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型． 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进 行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S= ， 则对应概率P= = ， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的 面积是解决本题的关键． 5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂 直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ） A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求 得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积． 【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ， 同理当y＜0时，则△APF的面积S= ， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查 数形结合思想，属于基础题． 6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 （ ） A． B． C． D． 【考点】LS：直线与平面平行． 【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与 距离． 【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题 意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A． 【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决 本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大 值即可． 【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：，则z=x+y经过可行域 的A时，目标函数取得最大值， 由 解得A（3，0）， 所以z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可 行域，判断目标函数的最优解是解题的关键． 8．（5分）函数y= 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应 用． 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可． 【解答】解：函数y= ， 可知函数是奇函数，排除选项B， 当x= 时，f（ ）= = ，排除A， x=π时，f（π）=0，排除D． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数 的特殊点是判断函数的图象的常用方法． 9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得 函数图象的对称性． 【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）， ∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx， 即f（x）=f（2﹣x）， 即y=f（x）的图象关于直线x=1对称， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对 称性是解答的关键． 10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输 入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2． 【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“ ”内不能输入“A＞1000”， 又要求n为偶数，且n的初始值为0， 所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数， 所以D选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣ cosC）=0，a=2，c= ，则C=（ ） A． B． C． D． 【考点】HP：正弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值； 58：解三角形． 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1， ∵ ＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得 = ， ∴sinC= ， ∵a=2，c= ， ∴sinC= = = ， ∵a＞c， ∴C= ， 故选：B． 【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 12．（5分）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞） C．（0， 1]∪[4，+∞） D．（0， ]∪[4，+∞） 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°， ∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求 得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得m的 取值范围．【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时， 设椭圆的方程为： （a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x， y），y＞0， 则a2﹣x2= ， ∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα= ，tanβ= ， 则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣ =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ ， ∴tanγ=﹣ ，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值， ∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足 ∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ， 解得：0＜m≤1； 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3， 当M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足 ∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得： m≥9， ∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想 及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+ 与垂直，则 m= 7 ． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量+ 与垂直，利用 向量垂直的条件能求出m的值． 【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1）， ∴ =（﹣1+m，3）， ∵向量+ 与垂直，∴（ ）• =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得m=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向 量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 14．（5分）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 x﹣y+1=0 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 【解答】解：曲线y=x2+ ，可得y′=2x﹣ ， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 15．（5分）已知α∈（0， ），tanα=2，则cos（α﹣ ）= ． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数． 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα= ，cosα= ，再根据两角差的 余弦公式即可求出． 【解答】解：∵α∈（0， ），tanα=2， ∴sinα=2cosα， ∵sin2α+cos2α=1， 解得sinα= ，cosα= ，∴cos（α﹣ ）=cosαcos +sinαsin = × + × = ， 故答案为： 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算 能力，属于基础题． 16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直 径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O 的表面积为 36π ． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球 的表面积． 【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若 平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得 ，解得r=3． 球O的表面积为：4πr2=36π． 故答案为：36π． 【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表 面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～ 21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据 要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列． 【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1= = ，a2= = ，由 a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{an}的 通项公式； （2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn，分别求得Sn+1， Sn+2，显然Sn+1+Sn+2=2Sn，则Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q， 则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1= = ，a2= = ， 由a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2， 则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n， ∴{an}的通项公式an=（﹣2）n； （2）由（1）可知：Sn= = =﹣[2+（﹣2）n+1]， 则Sn+1=﹣[2+（﹣2）n+2]，Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+3]， 由Sn+1+Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]， =﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]， =﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2Sn， 即Sn+1+Sn+2=2Sn， ∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列． 【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质， 考查计算能力，属于中档题． 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥 的侧面积． 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY： 平面与平面垂直． 【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与 距离． 【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此 能证明平面PAB⊥平面PAD． （2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，由四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出a=2，由此能求出该四棱锥的 侧面积． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． 解：（2 ）设PA=PD=AB=DC=a ，取AD 中点O ，连结PO ，∵PA=PD=AB=DC ， ∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ， ∵四棱锥P﹣ABCD的体积为， 由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD， ∴VP﹣ABCD= = = = = ， 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ， ∴PB=PC= =2 ， ∴该四棱锥的侧面积： S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC = + + + = =6+2 ． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积 的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理 论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化 思想，是中档题． 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并