2016年高考数学试卷（文）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（ ） A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】根据全集A求出B的补集即可． 【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB={0，2，6， 10}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题． 2．（5分）若z=4+3i，则 =（ ） A．1 B．﹣1 C．+ i D．﹣i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可． 【解答】解：z=4+3i，则 = = = ﹣i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 3．（5分）已知向量 =（， ）， =（ ，），则∠ABC=（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据 向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ ABC的值． 【解答】解： ， ； ∴ ； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及 向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是 （ ） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B． 七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均 温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温 的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输 入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计． 【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数 字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案． 【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数 字，取法总数为： （M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I， 2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3）， （N，4），（N，5）共15种． 其中只有一个是小敏的密码前两位． 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ． 故选：C． 【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不 漏，是基础题． 6．（5分）若tanθ= ，则cos2θ=（ ） A． B． C． D． 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值． 【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本 关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵tanθ= ， ∴cos2θ=2cos2θ﹣1= ﹣1= ﹣1= ． 故选：D． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关 系，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．（5分）已知a= ，b= ，c= ，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b= = ，c= = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】解：∵a= = ， b= ， c= = ， 综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图 象和性质的综合应用，难度中档． 8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分 析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b， s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环 得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题． 9．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于BC，则sinA=（ ） A． B． C． D． 【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形． 【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形． 【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公 式，可得sinA． 【解答】解：∵在△ABC中，B= ，BC边上的高等于BC， ∴AB= BC， 由余弦定理得：AC= = = BC， 故BC• BC= AB•AC•sinA= • BC• BC•sinA， ∴sinA= ， 故选：D．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦 定理和余弦定理，是解答的关键． 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的表面积为（ ） A．18+36 B．54+18 C．90 D． 81 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱 柱，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四 棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3× ）×2=18+18 ， 故棱柱的表面积为：18×2+18+18 =54+18 ． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视 图，判断几何体的形状是解答的关键． 11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC， AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ） A．4π B． C．6π D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积 公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形ABC的内切圆半径r= =2， 又由AA1=3， 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为， 此时V的最大值 = ， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解 答的关键． 12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段 PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别 令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三 点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线AE的方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0， ）， 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM， 即为 = ， 化简可得 = ，即为a=3c， 可得e= = ． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得 = ， 由△BOH∽△BFM， 可得 = = ， 即有 = 即a=3c， 可得e= = ． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直 线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属 于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条 件 ，则z=2x+3y﹣5的最小值为 ﹣10 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及 应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合 得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 ，即A（﹣1，﹣1）． 化目标函数z=2x+3y﹣5为 ． 由图可知，当直线 过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2× （﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的 解题思想方法，是中档题． 14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ） =2sin（x﹣ ），由﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），可得答案． 【解答】解：∵y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ）， 令f（x）=2sinx， 则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0）， 依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣ ）， 故﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）， 即φ=﹣2kπ+ （k∈Z）， 当k=0时，正数φmin= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0） 的图象，得到﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）是关键，属于中档题． 15．（5分）已知直线l：x﹣ y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l 的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|= 4 ． 【考点】J8：直线与圆相交的性质． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d= =3， ∴|AB|=2 =2 ， ∵直线l：x﹣ y+6=0 ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|= =4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能 力，比较基础． 16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x） 在点（1，2）处的切线方程是 y=2x ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应 用． 【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导 函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x， 设x＞0，则﹣x＜0， ∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x， 则f′（x）=ex﹣1+1， f′（1）=e0+1=2． ∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）． 即y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析 式的求解及常用方法，是中档题． 三、解答题（共5小题，满分60分） 17．（12分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣ 2an+1=0． （1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式． 【考点】8H：数列递推式． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a1 2﹣（2a2﹣1）a1﹣ 2a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a2 2﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，将 a2= 代入计算可得a3的值，即可得答案； （2 ）根据题意，将an2 ﹣（2an+1 ﹣1 ）an ﹣2an+1=0 变形可得（an ﹣2an+1 ） （an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1或an=﹣an+1，结合数列各项为正可得 an=2an+1，结合等比数列的性质可得{an}是首项为a1=1，公比为的等比数 列，由等比数列的通项公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0， 当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0， 而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2= ， 当n=2时，有a2 2﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0， 又由a2= ，解可得a3= ， 故a2= ，a3= ； （2）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0， 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0， 即有an=2an+1或an=﹣1， 又由数列{an}各项都为正数， 则有an=2an+1， 故数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列， 则an=1×（）n﹣1=（）n﹣1， 故an=（）n﹣1． 【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an与an+1的关 系． 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿 吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证 明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无 害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 参考公式：相关系数r= ， 回归方程= + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ，= ﹣ ． 【考点】BK：线性回归方程． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代 入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为 9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如 下： ∵r= = ≈ ≈ ≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）= = ≈ ≈0.103， = ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92， 2016年对应的t值为9， 故=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算 时要细心． 19 ．（12 分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC ， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （Ⅰ）证明MN∥平面PAB； （Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面 平行． 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边 形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB． （Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四 面体N﹣BCM的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE= BC=AM=2， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB． 解：（Ⅱ）取AC