2018年高考数学试卷（文）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（ ） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解． 【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性． 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即 可． 【解答】解：函数f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进 行排除是解决本题的关键． 4．（5分）已知向量，满足| |=1， =﹣1，则•（2 ）=（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量，满足| |=1， =﹣1，则•（2 ）=2 ﹣ =2+ 1=3， 故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都 是女同学的概率为（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务， 共有C5 2=10种，其中全是女生的有C3 2=3种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB， AC，BC共3种，根据概率公式计算即可 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服 务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C， 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中 全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3， 故选：D．【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举 法，属于基础题． 6．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （ ） A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系 进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为e= = ， 则= = = = = ， 即双曲线的渐近线方程为y=± x=± x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐 近线的方程是解决本题的关键． 7．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ） A．4 B． C． D．2 【考点】HR：余弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，cos = ，cosC=2× =﹣ ，BC=1，AC=5，则 AB= = = =4 ． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 8．（5分）为计算S=1﹣+ ﹣+…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则在空白 框中应填入（ ） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题． 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（ ﹣ ）； 累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值． 【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标 系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， =（﹣2，2，1）， =（0，﹣2，0）， 设异面直线AE与CD所成角为θ， 则cosθ= = = ， sinθ= = ， ∴tanθ= ． ∴异面直线AE与CD所成角的正切值为 ． 故选：C． 【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ） A． B． C． D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性． 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤ +2kπ， k∈Z，得﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣ ， ]，结合已知条件即可求出a的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣ sin（x﹣ ）， 由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤ +2kπ，k∈Z， 得﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z， 取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣ ， ]， 由f（x）在[0，a]是减函数， 得a≤ ． 则a的最大值是 ． 故选：C． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知识的考查，是基础题． 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且 ∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ） A．1﹣ B．2﹣ C． D． ﹣1 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率 即可． 【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且 ∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0）， 所以P （ c ， c ）．可得： ，可得 ，可得e4 ﹣ 8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e= ． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算 能力． 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）A．﹣ 50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断． 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周 期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f （49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期 性是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 y=2x﹣2 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1的导 函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2lnx，∴y′= ， 当x=1时，y′=2 ∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2． 故答案为：y=2x﹣2． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上 某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 9 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等 式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标， 代入目标函数得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z， 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值， 由 ，解得A（5，4）， 目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中 档题． 15．（5分）已知tan（α﹣ ）= ，则tanα= ． 【考点】GP：两角和与差的三角函数． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：∵tan（α﹣ ）= ， ∴tan（α ）= ， 则tanα=tan（α + ）= = = = = ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化 是解决本题的关键． 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角 为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 8π ． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离；5G：空间角． 【分析】 利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体 积即可． 【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得： ，解得SA=4， SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2 ，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为：V= =8π． 故答案为：8π． 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化 思想以及计算能力． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和． 【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列 {an}的公差，然后求出an即可； （2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn= = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣ 16，由此可求出Sn以及Sn的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn= = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和 公式，属于中档题． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿 元）的折线图． 为了预 测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回 归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17） 建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值 依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测 值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【考点】BK：线性回归方程． 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据 模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可； （2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的 幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t， 计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿 元； 根据模型②：=99+17.5t， 计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上 升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2 ）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算． 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形， 又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面 ABC； （2）设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒ ，解得d即可 【解答】（1）证明：∵AB=BC=2 ，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三 角形， 又O为AC的中点，∴OA=OB=OC， ∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC； （2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO= ， 在△COM中，OM= = ． S = × × = ， S△COM= = ． 设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒ ， 解得d= ， ∴点C到平面POM的距离为 ． 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题． 20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C 交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦 点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= ，求得直线AB的倾斜角，即可求 得直线l的斜率，求得直线l的方程； （2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据 中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0）， 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0