2018年高考数学试卷（文）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头， 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是（ ） A． B． C． D． 【考点】L7：简单空间图形的三视图． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长 方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方 形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O： 定义法；56：三角函数的求值． 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα= ， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = ． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用 非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可． 【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付， 不用现金支付，是互斥事件， 所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4． 故选：B． 【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关 键，是基本知识的考查． 6．（5分）函数f（x）= 的最小正周期为（ ） A． B． C．π D．2π 【考点】H1：三角函数的周期性． 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析 式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． 【解答】解：函数f（x）= = = sin2x的最小正周期为 =π， 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函 数的周期性，属于基础题． 7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是 （ ） A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果． 【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象， 则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称． 由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称． 则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）． 即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换． 8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ] 【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；34：方程思想； 49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2 ，设P（2+ ， ），点P到直线x+y+2=0的距离：d= = ∈[ ]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|= =2 ， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+ ， ）， ∴点P到直线x+y+2=0的距离： d= = ， ∵sin（ ）∈[﹣1，1]，∴d= ∈[ ]， ∴△ABP面积的取值范围是： [ ， ]=[2，6]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的 距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是中档题． 9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即 可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞ 或﹣ ＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B， 故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点 以及判断函数的单调性是解决本题的关键． 10．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则点（4， 0）到C的渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．2 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利 用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ， 可得= ，即： ，解得a=b， 双曲线C： ﹣ =1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x， 点（4，0）到C的渐近线的距离为： =2 ． 故选：D． 【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为 ，则C=（ ） A． B． C． D． 【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法； 58：解三角形． 【分析】推导出S△ABC= = ，从而sinC= =cosC，由此能求 出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为 ， ∴S△ABC= = ， ∴sinC= =cosC， ∵0＜C＜π，∴C= ． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边 三角形且面积为9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） A．12 B．18 C．24 D．54 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综 合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求 解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9 ，可得 ，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C= = ，OO′= =2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： =18 ．故选：B． 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空 间想象能力以及计算能力． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ= ． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2），再由向量平行的性质能 求出λ的值． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴ =（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2 + ）， ∴ ， 解得λ= ． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差 异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有 简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 分层抽 样 ． 【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解． 【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差 异， 为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是分层抽样． 故答案为：分层抽样． 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样 的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+ y的最大值是 3 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综 合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象 知当直线过（2，3）时，z最大． 【解答】解：画出变量x，y满足约束条件 表示的平面区域如图：由 解得A（2，3）． z=x+ y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，当直线过A（2，3）时，直 线的纵截距最小，z最大，最大值为2+3× =3， 故答案为：3． 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考 查数形结合求函数的最值． 16．（5分）已知函数f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）= ﹣2 ． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断． 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可． 【解答】解：函数g（x）=ln（ ﹣x） 满足g（﹣x）=ln（ +x）= =﹣ln（ ﹣x）=﹣g（x）， 所以g（x）是奇函数． 函数f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4， 可得f（a）=4=ln（ ﹣a）+1，可得ln（ ﹣a）=3， 则f（﹣a）=﹣ln（ ﹣a）+1=﹣3+1=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查 计算能力． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【考点】89：等比数列的前n项和． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出 {an}的通项公式． （2）当a1=1，q=﹣2时，Sn= ，由Sm=63，得Sm= =63，m∈N，无 解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn= = = ， 由Sm=63，得Sm= =63，m∈N，无解； 当a1=1，q=2时，Sn= = =2n﹣1， 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人， 将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工 人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘 制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种 生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时 间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差 异？ 附：K2= ， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【考点】BL：独立性检验． 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些， 效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80； 由此填写列联表如下； 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 （3）根据（2）中的列联表，计算 K2= = =10＞6.635， ∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异 于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空 间位置关系与距离． 【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平 面AMD⊥平面BMC； （2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可． 【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦 所在平面垂直，所以AD⊥ 半圆弦 所在平面，CM⊂半圆弦 所在平面， ∴CM⊥AD， M是 上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面 CMB， ∴平面AMD⊥平面BMC； （2）解：存在P是AM的中点， 理由： 连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂ 平面BDP， 所以MC∥平面PBD． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的 应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理 能力． 20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C： + =1交于A，B两点，线段AB的 中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 + + = ，证明：2| |=| |+| |． 【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合． 【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问 题． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1 ﹣y2）=0，k= =﹣ =﹣ 又点M（1，m）在椭圆内，即 ，解得m的取值范围，即可得k＜ ﹣， （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由 + + = ，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1 ，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3= ．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C： + =1中，可得 ，