2019年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）

1/21 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 答案解析版 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设 ，则 = A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 先由复数的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ． 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ，故选C． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性 质直接求解． 2.已知集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 1/21 【分析】 先求 ，再求 ． 【详解】由已知得 ，所以 ，故选C． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2/21 3.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量 比较 ，运用中间量比较 【 详 解 】 则 ．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变 量法，利用转化与化归思想解题． 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例) “ ” ，著名的断臂维纳斯便是如此．此外，最美人体的 头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比 例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 2/21 【答案】B 【解析】【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则 3/21 ，得 ．又其腿长为105cm，头顶至脖子 下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选 B． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法， 利用转化思想解题． 5.函数f(x)= 在[—π，π] 图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正 确答案． 【详解】由 ，得 是奇函数，其图象 关于原点对称．又 ．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取 性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 的 【 3/21 6.某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2 … ， ，1 000，从这些新 生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验，若46 号学生被抽到，则下面4 名 学生中被抽到的是 A. 8 号学生 B. 200 号学生 C. 616 号学生 D. 815 号 学生 【答案】C 4/21 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000 名学生分成100 个组，每组10 名学生，用系统抽样，46 号 学生被抽到， 所以第一组抽到6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ， 所以 ， 若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意； 若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意．故 选C． 【点睛】本题主要考查系统抽样. 7.tan255°= A. －2－ B. －2+ C. 2－ D. 2+ 【答案】D 【解析】 【分析】 本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公 式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【 详 解 】 详 解 ： = 【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角 函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力． 4/21 8.已知非零向量a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则a 与b 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 5/21 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与 化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利 用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公 式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ． 9.如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 A. A= B. A= C. A= D. A= 【答案】A 【解析】 【分析】 5/21 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构 特征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】执行第1 次， 是，因为第一次应该计算 = ， 6/21 =2，循环，执行第2 次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，循环，执行第3 次， ，否，输出，故循环体为 ，故选 A． 【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ． 10.双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双 曲线的离心率． 【详解】由已知可得 ， ， 故选D． 6/21 【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆 ，有 ，防止记混． 11.△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 = A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7/21 【答案】A 【解析】 【分析】 利用余弦定理推论得出a，b，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得 ，由余弦定理推论可得 ，故选A． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 12.已知椭圆C 的焦点为 ，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若 ， ，则C 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ．在 和 中，由余弦定理得 ，又 互补， ，两式消去 ，得 ， 7/21 解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 【详解】如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 8/21 ． 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能 力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.曲线 在点 处的切线方程为___________． 【答案】 . 【解析】 【分析】 本题根据导数 几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求 得切线方程 【详解】详解： 所以， 的 8/21 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致 “ ” 计算错误．求导要慢，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14.记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若 ，则S4=___________． 【答案】 . 【解析】 9/21 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得 到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：设等比 数列的公比为 ，由已知 ，即 解得 ， 所以 ． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分 式计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算 ，避免繁分式计算． 15.函数 的最小值为___________． 【答案】 . 【解析】 【分析】 本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角 余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关 于 的二次函数．题目有一定的综合性，注重了基础知识、数学式子的变形及运算 求解能力的考查． 的 9/21 【详解】 ， ， 当 时， ， 故函数 的最小值为 ． 【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视 的限制，而简单应用二次函数 的性质，出现运算错误． 10/21 16.已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为 ，那么P 到平面ABC 的距离为___________． 【答案】 . 【解析】 【分析】 本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面 垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决． 【详解】作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ， 知 ， ， 平面 ， 平面 ， ， ． ， ， ， 为 平分线， ，又 ， ． 10/21 【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够 灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题 解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍． 11/21 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考 生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： ． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） ； （2）能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【解析】 【分析】 （1）从题中所给的 列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别 算出相应的频率，即估计得出的概率值； （2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有 的把握认为男、女顾客对该商场 服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有40 人， 11/21 所以男顾客对商场服务满意率估计为 , 12/21 50 名女顾客对商场满意的有30 人， 所以女顾客对商场服务满意率估计为 , （2）由列联表可知 ， 所以能有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率， 利用列联表计算 的值，独立性检验，属于简单题目. 18.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于 和 的方程组，求得 和 的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有 ，根据 ，可知 ，根据 ，得到关于 的不等式， 从而求得结果. 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 根据题意有 ， 12/21 解答 ，所以 ，所以等差数列 的通项公式为 ； （2）由条件 ，得 ，即 ， 因为 ，所以 ，并且有 ，所以有 ， 13/21 由 得 ，整理得 ， 因为 ，所以有 ，即 ， 解得 ， 所以 的取值范围是： 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数 列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关 键. 19.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C 到平面C1DE 的距离． 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】 （1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边 形，进而证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱 锥 的体积，再求出 的面积，利用 求得点C 到平面 13/21 的距离，得到结果. 【详解】（1）连接 ， 14/21 ， 分别为 ， 中点 为 的中位线 且 又 为 中点，且 且 四边形 为平行四边形 ，又 平面 ， 平面 平面 （2）在菱形 中， 为 中点，所以 ， 根据题意有 ， ， 因为棱柱为直棱柱，所以有 平面 ， 所以 ，所以 ， 设点C 到平面 的距离为 ， 根据题意有 ，则有 ， 解得 ， 14/21 所以点C 到平面 的距离为 .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及 到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线 面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距 离是文科生常考的内容. 20.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； 15/21 （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】 （1）求导得到导函数后，设为 进行再次求导，可判断出当 时， ， 当 时， ，从而得到 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点 所处的位置，证得结论；（2）构造函数 ，通过二次求导可判断出 ， ；分别在 ， 和 的情况下根据导函数的符号判断 单调性，从而确定 恒成立时 的取值范围. 【详解】（1） 令 ，则 当 时，令 ，解得： 当 时， ；当 时， 15/21 在 上单调递增；在 上单调递减又 ， ， 即当 时， ，此时 无零点，即 无零点 ，使得 16/21 又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点 综上所述： 在区间 存在唯一零点 （2）若 时， ，即 恒成立 令 则 ， 由（1）可知， 在 上单调递增；在 上单调递减 且 ， ， ， ①当 时， ，即 在 上恒成立 在 上单调递增 ，即 ，此时 恒成立 ②当 时， ， ， ，使得 在 上单调递增，在 上单调递减 又 ， 在 上恒成 16/21 立，即 恒成立 ③当 时， ， ，使得 17/21 在 上单调递减，在 上单调递增 时， ，可知 不恒成立 ④当 时， 在 上单调递减 可知 不恒成立 综上所述： 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题. 对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转 变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而 得到最值. 21.已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│ =A，⊙M 过点A，B 且与直线x+2=0 相切． （1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径． （2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【答案】（1） 或 ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）设 ， ，根据 ，可知 ；由圆的性质可知圆心 必 在直线 上，可设圆心 ；利用圆心到 的距离为半径和 构造方程，从而解出 ；（2）当直线 斜率存在时，设 方程为： 17/21 ，由圆的性质可知圆心 必在直线 上；假设圆心坐标，利用圆心到 的距离为半径和 构造方程，解出 坐标，可知 轨 迹为抛物线；利用抛物线定义可知 为抛物线焦点，且定值为；当直线 斜率不 存在时，求解出 18/21 坐标，验证此时 依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】（1） 在直线 上 设 ，则 又 ，解得： 过点 ， 圆心 必在直线 上 设 ，圆的半径为 与 相切 又 ，即 ，解得： 或 当 时， ；当 时， 的半径为： 或 （2）存在定点 ，使得 说明如下： ， 关于原点对称且 直线 必为过原点 的直线，且 ①当直线 斜率存在时，设 方程为： 则 的圆心 必在直线 上 设 ， 的半径为 与 相切 18/21 又 ，整理可 得： 即 点轨迹方程为： ，准线方程为： ，焦点 ，即抛物线上点到 的距离 当 与 重合，即 点坐标为 时， 19/21 ②当直线 斜率不存在时，则直线 方程为： 轴上，设 ，解得： ，即 若 ，则 综上所述，存在定点 ，使得 为定值 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问 题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定 值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解. （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2 ）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1 ） ； ；（2） 【解析】 【分析】 在 19/21 （1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将 所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由 得： ，又 20/21 整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为： 则 上的点到直线的距离 当 时， 取最小值 则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线 距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化 为三角函数的最值求解问题. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明： （1） ； （2） ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】