2017年高考数学试卷（文）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}， ∴A∩B={2，4}， ∴A∩B中元素的个数为2． 故选：B． 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意交集定义的合理运用． 2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘 制了下面的折线图． 根据该折 线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较 平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线． 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平 稳，故D正确； 故选：A．【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应 用，难度不大，属于基础题． 4．（5分）已知sinα﹣cosα= ，则sin2α=（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】GS：二倍角的三角函数． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】解：∵sinα﹣cosα= ， ∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ， ∴sin2α=﹣， 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 5．（5分）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围 即可． 【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由 解得A（0，3），由 解得B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：[﹣3，2]． 故选：B． 【点评】 本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的 关键． 6．（5分）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【考点】HW：三角函数的最值． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性 质． 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ） = sin（x+ ） ． 故选：A． 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考 查计算能力． 7．（5分）函数y=1+x+ 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应 用． 【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特 殊点判断函数的图象即可． 【解答】解：函数y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数的图 象关于原点对称， 则函数y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称， 当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法． 8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的 最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键， 注意解题方法的积累，属于中档题． 9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体 积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上， ∴该圆柱底面圆周半径r= = ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= = ． 故选：B． 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思 想，是中档题． 10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1， 由此得到A1E⊥BC1． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂ 平面B1BCC1， ∴A1B1⊥BC1， ∵A1B1∩B1C=B1， ∴BC1⊥平面A1ECB1， ∵A1E⊂平面A1ECB1， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0， 2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）， =（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0）， ∵ • =﹣2， =2， =0， =6， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认 真审题，注意向量法的合理运用． 11．（5分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且 以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距 离 =a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆C的离心率e= = = ． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直 线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理． 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ） 的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单 调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ） =0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点．①当 a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象 的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个 交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象 的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能 力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意 解题方法的积累，属于难题． 二、填空题 13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且 ，则m= 2 ． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解． 【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且 ，∴ =﹣6+3m=0， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向 量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 14．（5分）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a= 5 ． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可． 【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，解得a=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ， c=3，则A= 75° ． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3， ∴sinB= = ，∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题 16．（5分）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范 围是 （ ，+∞） ． 【考点】3T：函数的值． 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣， 则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞ ， 此时 ＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣， 当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+ ， 此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 综上x＞ ， 故答案为：（ ，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论 的数学思想进行求解是解决本题的关键． 三、解答题17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前n项和． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用数列递推关系即可得出． （2） = = ﹣ ．利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ． 当n=1时，a1=2，上式也成立． ∴an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前n项和= + +…+ =1﹣ = ． 【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处 理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[ 20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定 六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频 数分布表： 最高气温 [10， 15） [15， 20） [20， 25） [25， 30） [30， 35） [35， 40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶 一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方 差． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间 [20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需 求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20， 25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为 200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大 于零的概率． 【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500， Y=450×2=900元， 当温度在[20，25）°C时，需求量为300， Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元， 当温度低于20°C时，需求量为200， Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度 大于等于20°C的天数有： 90﹣（2+16）=72， ∴估计Y大于零的概率P= ． 【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、 古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与 平面垂直． 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥ 平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2）法一：连结OE，设AD=CD= ，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由 BE=ED ，四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面