2016年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（ ） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}， 则A∩B={3，5}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于 （ ） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可． 【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等， 可得：a﹣2=2a+1， 解得a=﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考 查计算能力． 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛 的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余 下的2种花种在另一个花坛中，有 =6种方法，红色和紫色的花在同一花 坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概 率为= ． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4， 即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13）， （34，12）， 则P= = ． 故选：C． 【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的 计算能力，比较基础． 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（ ） A． B． C．2 D．3 【考点】HR：余弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】 由余弦定理可得cosA= ，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b 的值． 【解答】解：∵a= ，c=2，cosA= ， ∴由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0， ∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其 短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求 解椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦 点， 则直线方程为： ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的， 可得： ， 4=b2（ ）， ∴ ， =3， ∴e= = ． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的 离心率的求法，考查计算能力． 6．（5分）将函数y=2sin（2x+ ）的图象向右平移个周期后，所得图象对应 的函数为（ ） A．y=2sin（2x+ ） B．y=2sin（2x+ ） C．y=2sin（2x﹣ ） D．y=2sin（2x﹣ ） 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣ ）+ ]，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】解：函数y=2sin（2x+ ）的周期为T= =π， 由题意即为函数y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位， 可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣ ）+ ]， 即有y=2sin（2x﹣ ）． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言， 考查运算能力，属于基础题和易错题． 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ） A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间 位置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后 求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如 图： 可得： = ，R=2． 它的表面积是：×4π•22+ =17π． 故选：A． 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能 力以及空间想象能力． 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ） A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 【考点】4M：对数值大小的比较． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据 指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的 真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1， ∴logca＜logcb，故B正确； ∴当a＞b＞1时， 0＞logac＞logbc，故A错误； ac＞bc，故C错误； ca＜cb，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中 档． 9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利 用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|， ∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex， ∴f′（x）=4x﹣ex=0有解， 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排 除法解答． 10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的 值满足（ ） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可 得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2， 则x= ，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3， 则x= ，y=6，满足x2+y2≥36， 故y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方法解答． 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【专题】 11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为： ． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间 想象能力以及计算能力． 12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值 范围是（ ） A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用． 【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣ 1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参 数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx， 由题意可得f′（x）≥0恒成立， 即为1﹣cos2x+acosx≥0， 即有﹣cos2x+acosx≥0， 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣， 由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1， 可得3a≥﹣1，即a≥﹣； 当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣， 由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1， 可得3a≤1，即a≤． 综上可得a的范围是[﹣，]． 另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣ 3a≥0， 解得a的范围是[﹣，]． 故选：C． 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注 意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算 即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值． 【解答】解：∵ ； ∴ ； 即x+2（x+1）=0； ∴ ． 故答案为： ． 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐 标的概念． 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ﹣ ）= ． 【考点】GP：两角和与差的三角函数． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】由θ得范围求得θ+ 的范围，结合已知求得cos（θ+ ），再由诱 导公式求得sin（ ）及cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函 数基本关系式求得tan（θ﹣ ）的值． 【解答】解：∵θ是第四象限角， ∴ ，则 ， 又sin（θ+ ）= ， ∴cos（θ+ ）= ． ∴cos（ ）=sin（θ+ ）= ，sin（ ）=cos（θ+ ）= ． 则tan（θ﹣ ）=﹣tan（ ）=﹣ = ． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系 式的应用，是基础题． 15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2 ，则圆C的面积为 4π ． 【考点】J8：直线与圆相交的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆． 【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为 ，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为 ， ∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2 ， ∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d= ， 即 +3=a2+2，解得：a2=2， 故圆的半径r=2． 故圆的面积S=4π， 故答案为：4π 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难 度中档． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要 甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元， 生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则 在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化 思想． 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组 以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出 其最大值即可； 【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得 ，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60， 100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值： 2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的 解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解 答时求出最优解是解题的关键． 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2= ， anbn+1+bn+1=nbn． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{bn}的前n项和． 【考点】8H：数列递推式． 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3的等差数列，可得{an}的 通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可 得：{bn}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn． 当n=1时，a1b2+b2=b1． ∵b1=1，b2= ，∴a1=2， 又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an=3n﹣1， （Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn． 即3bn+1=bn． 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列， ∴{bn}的前n项和Sn= = （1﹣3﹣n）= ﹣ ． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项 和公式，难度中档． 18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在 平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交 AB于点G． （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、 线、面间的距离计算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得 DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由 PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得 EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得 答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投 影， ∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB， 又E为D在平面PAB内的正投影， ∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中点； （Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正 投影． ∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC， 即点F为E在平面PAC内的正投影． 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD= CG． 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE= PG，DE= PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3 ，PE=2 ． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2． 所 以 四 面 体 PDEF 的 体 积 V= ×DE×S △ PEF= ×2× ×2×2= ． 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键 是正确分析几何体的各种位置、距离关系． 19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单 位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费