第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（练习）（原卷版）

第08 讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 题型01 利用不等式的性质判断式子正负 题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负 题型03 利用不等式的性质比较大小 题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围 题型05 不等式性质的应用 题型06 求一元一次不等式解集 题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集 题型08 一元一次不等式整数解问题 题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 题型10 与一元一次不等式有关的新定义问题 题型11 含绝对值的一元一次不等式 题型12 解一元一次不等式组 题型13 求不等式组整数解 题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围 题型15 由不等式组的解集求参数 题型16 由不等式组有关的新定义问题 题型17 根据程序图解不等式组 题型18 不等式组与方程的综合 题型19 利用一元一次不等式解决实际问题 题型20 利用一元一次不等式组解决实际问题 题型01 利用不等式的性质判断式子正负 1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）若−3a>1，两边都除以−3，得（ ） ．a←1 3 B．a>−1 3 ．a←3 D．a>−3 2．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ） ．若a<b，则a x 2<b x 2 B．若a>b，则−4 a←4 b ．若a>b，则1−a<1−b D．若a>b，则a+x>b+x 3．（2022·内蒙古包头·中考真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ） ．m−2<n−2 B．−1 2 m>−1 2 n ．n−m>0 D．1−2m<1−2n 题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负 1．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点、B 对应的实数分别是、b，则下列式子中成立 的是（ ） ．1 2 ﹣＞1 2 ﹣b B．﹣＜﹣b ．+b＜0 D．|| | ﹣b|＞0 2．（2022·北京东城·统考一模）实数，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） ．a>b B．−a<b ．¿a∨¿∨b∨¿ D．a+b<0 3．（2022·北京平谷·统考二模）实数，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） ．a←2 B．|a|<|b| ．−a←b D．ab>0 题型03 利用不等式的性质比较大小 1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果m是一个不等于−1的负整数，那么m，1 m ，−m，−1 m 这几个数从小 到大的排列顺序是（ ） ．m< 1 m ←m←1 m B．m< 1 m ←1 m ←m ．−m←1 m <m< 1 m D．−1 m ←m< 1 m <m 2．（2022·河北邯郸·校联考三模）如果a>b，那么一定有a m < b m ，则m 的取值可以是（ ） ．－10 B．10 ．0 D．无法确定 3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1 a 1 b ．（填“>”、 “=”或“<”） 4．（2019·安徽合肥·统考二模）观察下列不等式：①1 2 2 < 1 1×2；②1 3 2 < 1 2×3；③1 4 2 < 1 3×4 ···； 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第5个不等式：___________； （2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较n+2 (n+1) 2和1 n的大小． 5．（2023·浙江舟山·统考三模）观察：1 2 < 1+1 2+1 ，1 3 < 1+1 3+1 ，3 4 < 3+1 4+1 ，4 7 < 4+1 7+1 ． (1)猜想：当0<b<a时，b a ______b+1 a+1 ，b a ______y=1，b a ______b+3 a+3 （“>”“＝”“<”填空） (2)探究：当0<b<a时，b a 与b+n a+n （其中为正整数）的大小关系，并说明理由． 6．已知(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)，其中，b，是常数，且c≠1 （1）当b=−2, c=3时，求的范围 （2）当a←2时，比较b 和的大小 （3）若当a>−1时，b⩽c−1成立，则b c−1 的值是多少？ 题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围 1 若am<an，且m>n，则的值可以是（ ） ．1 7 B．−7 ．07 D．❑ √7 2．（2021·山东聊城·统考中考真题）若﹣3＜≤3，则关于x 的方程x＋＝2 解的取值范围为（ ） ．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 ．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 3．（2022·江苏宿迁·统考三模）若不等式mx>3m，两边同除以m，得x>3，则m 的取值范围为 ． 题型05 不等式性质的应用 1．（2021·山东菏泽·统考三模）已知三个实数，b，满足a−2b+c=0，a+2b+c<0，下列结论正确的是 （ ） ．b<0，b−¿ ❑ 2 ac≥0¿ B．b<0，b−¿ ❑ 2 ac≤0¿ ．b>0，b−¿ ❑ 2 ac≥0¿ D．b>0，b−¿ ❑ 2 ac≤0¿ 2．（2022·北京西城·统考一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的 面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S=ab k 来估算叶面的面积，其中，b 分 别是稻叶的长和宽（如图1），k 是常数，则由图1 可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采 集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的4 7 处 “收尖”．根据图2 进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k 的值约为 （结果保留小数点后两 位）． 3．（2022 上·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且(6−x )a<(6−x )b，则x的取值范围是 ． 4．（2023 下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）已知实数，b 满足a 2+b 2=3+ab，则 (2a−3b) 2+(a+2b) (a−2b)的最大值为 ． 题型06 求一元一次不等式解集 1．（2022·浙江金华·统考中考真题）解不等式：2(3 x−2)>x+1． 2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式：1 2 ( x−3)< 1 3−2 x ． 题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集 1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）不等式2 x+1>3的解集在数轴上表示正确的是（ ） ． B． ． D． 2．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3≥－5，并把解集在数轴上表示出来． 3．（2022 上·江苏苏州·七年级统考期末）解不等式x−1 2 < 4 x−5 3 −1，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型08 一元一次不等式整数解问题 1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）不等式−3 x>−9的正整数解有 个． 2．（2022 上·广东梅州·九年级校考开学考试）已知关于x的不等式2m−mx 2 > 1 2 x−1． (1)当m=1时，求该不等式的正整数解 (2)m取何值时，该不等式有解，并求出其解集 3．（2022·北京朝阳·统考二模）解不等式x−5< x−12 3 ，并写出它的所有非负整数解． 4．（2023·陕西咸阳·统考二模）解不等式1−8+x 3 ≤x 2 ，并求出它的最小整数解． 5．（2023·陕西榆林·统考二模）解不等式：5 x−3≤x+ 7 2 ，并求这个不等式的正整数解． 6 不等式x−2≤3+x 3 的非负整数解有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．无数个 7．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）先化简，再求值：(1+ 1 x−1)÷ x x 2−1 ，其中x是 不等式2+x>2 x−1的非负的整数解． 题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 1．（2020·甘肃天水·统考中考真题）若关于x的不等式3 x+a≤2只有2 个正整数解，则a的取值范围为( ) ．−7<a←4 B．−7≤a≤−4 ．−7≤a←4 D．−7<a≤−4 2 若不等式（m－2）x>2 的解集是x< 2 m−2 ,则m的取值范围是（ ） ．m=2 B．m=0 ．m <2 D．m>2 题型10 3．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x 的不等式3 x−m≤0的正整数解有四个，求m的取值 范围． 题型10 与一元一次不等式有关的新定义问题 1．（2021·内蒙古·统考中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x 的不等式 x⊗m>3的解集为x>−1，则m 的值是（ ） ．−1 B．−2 ．1 D．2 2．定义一种新运算：当a>b时，a∗b=ab+b；当a<b时，a∗b=ab−b．若3∗(x+2)>0，则x 的取值范 围是（ ） ．−1<x<1或x←2 B．x←2或1<x<2 ．−2<x<1或x>1 D．x←2或x>2 3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b=2a−3b． 如：1⊕5=2×1−3×5=−13，则不等式4⊕x<2的解集为是（ ） ．x<2 B．x←2 ．x>2 D．x>−2 4．（2022 下·江苏淮安·九年级统考期中）定义新运算：*b＝3+b，则不等式x*1＜-2 的解集是 ． 5．（2021·河南南阳·统考三模）定义一种新运算：Ⓧb＝b（＜b）．若5 x−4 2 Ⓧ1＝1，则x 的取值范围是 ． 6．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、都有m☆n=mn−3n，例如 4 ☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题． (1)x ☆2>4，求x 取值范围； (2)若x ☆( −1 4 )=3，求x 的值； (3)若方程x ☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数． 题型11 含绝对值的一元一次不等式 1 先阅读，再完成练习 一般地，数轴上表示数x 的点与原点的距离，叫做数x 的绝对值，记作|x|． |x|＜3，x 表示到原点距离小于3 的数，从如图1 所示的数轴上看：大于﹣3 而小于3 的数，它们到原点距 离小于3，所以|x|＜3 的解集是﹣3＜x＜3； |x|＞3，x 表示到原点距离大于3 的数，从如图2 所示的数轴上看：小于﹣3 的数或大于3 的数，它们到原 点距离大于3，所以x＞3 的解集是x＜﹣3 或x＞3． 解答下面的问题： （1）不等式|x|＜5 的解集为________，不等式|x|＞5 的解集为________． （2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为________．不等式|x|＞m（m＞0）的解集为________． （3）解不等式|x−3|＜5． （4）解不等式|x−5|＞3． 2 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面 我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求不等式 的解集 （1）探究 的几何意义 如图①，在以为原点的数轴上，设点＇对应点的数为 ，由绝对值的定义可知，点＇与的距离为 ， 可记为：＇= ．将线段＇向右平移一个单位，得到线段B，，此时点对应的数为 ，点B 的对应数 是1， 因为B= ＇，所以B= ． 因此， 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点与1 所对应的点B 之间的距离B． （2）求方程 =2 的解 因为数轴上3 与 所对应的点与1 所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为 （3）求不等式 的解集 因为 表示数轴上 所对应的点与1 所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离 小于2 的点所对应的数 的范围． 请在图②的数轴上表示 的解集，并写出这个解集 探究二：探究 的几何意义 （1）探究 的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点M 的坐标为 ，过M 作MP⊥x 轴于P，作MQ⊥y 轴于Q，则点P 点 坐标（ ），Q 点坐标（ ），|P|= ，|Q|= ， 在Rt△PM 中，PM＝Q＝y，则 因此 的几何意义可以理解为点M 与原点（0,0）之间的距离M （2）探究 的几何意义 如图④，在直角坐标系中，设点 ＇的坐标为 ，由探究（二）（1）可知， ＇= ，将线段 ＇先向右平移1 个单位，再向上平移5 个单位，得到线段B，此时的坐 标为（ ），点B 的坐标为（1,5）． 因为B= ＇，所以 B= ，因此 的几何意义可以理解为点（ ）与 点B（1,5）之间的距离． （3）探究 的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4） 的几何意义可以理解为：_________________________ 拓展应用： （1） + 的几何意义可以理解为：点 与点E 的距离与 点 与点F____________（填写坐标）的距离之和． （2） + 的最小值为____________(直接写出结果) 题型12 解一元一次不等式组 1．（2022·山东滨州·统考中考真题）把不等式组¿中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的 为（ ） ． B． ． D． 2．（2020·广东·统考中考真题）不等式组¿的解集为（ ） ．无解 B．x ≤1 ．x ≥−1 D．−1≤x ≤1 3．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）不等式组¿的解集，在数轴上表示正确的是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·全国·九年级专题练习）用两种不同的方法解不等式组：−1< 2 x−1 3 ≤5． 题型13 求不等式组整数解 1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组¿ ，并求出它的所有整数解的和． 2．（2021·山东济南·统考中考真题）解不等式组：{ 3( x−1)≥2 x−5,① 2 x< x+3 2 ,② 并写出它的所有整数解． 3．（2021·陕西·统考模拟预测）解不等式组¿，并写出不等式组的所有整数解． 题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围 1．（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x 的不等式组¿的解集中至少有5 个整数解，则整数的最小值为 （ ） ．2 B．3 ．4 D．5 2．（2021·山东日照·校考一模）关于x的不等式组¿ 只有5个整数解，则a的取值范围是（ ） ．−6<a←11 2 B．−6≤a←11 2 ．−6<a≤−11 2 D．−6≤a≤−11 2 3．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x 的不等式组{3 x−5⩾1 2 x−a<8 有且只有3 个整数解，则的取值范围是 （ ） ．0≤a≤2 B．0≤a<2 ．0<a≤2 D．0<a<2 4．（2023 上·浙江宁波·八年级统考期末）关于x 的不等式组¿恰好有3 个整数解，则满足（ ） ．a=10 B．10≤a<12 ．10<a≤12 D．10≤a≤12 5．（2021·四川泸州·统考中考真题）关于x 的不等式组{2 x−3>0 x−2a<3 恰好有2 个整数解，则实数的取值范围 是 ． 题型15 由不等式组的解集求参数 1．（2022·山东聊城·统考二模）若关于x 的一元一次不等式组¿无解，则m 的取值范围是（ ） ．m<1 B．m≤1 ．m>1 D．m≥1 2．（2022 牡丹区三模）关于x 的不等式组¿的解是x<3，那么的取值范围是 ． 3．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x 的不等式组¿有解，则m 的取值范围是 ． 题型16 由不等式组有关的新定义问题 1．（2022·河南驻马店·统考三模）定义一种新运算：a⊙b=ab+2a，则不等式组¿的负整数解有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2023 下·河南南阳·九年级统考阶段练习）定义一种运算：a⊗b=a−ab，例如： 3⊗2=3−3×2=−3，根据上述定义，不等式组¿的解集是 ． 3．（2021·河北·校联考模拟预测）定义新运算“★”和“¿”如下：a★b=ab+b，a¿b=ab−a 2．例如： 1★2=1×2+2=4，1¿3=1×3−1 2=2． （1）计算：[(−1 2 )★(−1 3 )]¿6； （2）已知{ (−2)★x<0 3 (−x)≥−21 是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数． 4．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）已知a，b为常数，对实数x，y定义，我们规定⊗ −¿¿运算为： x ⊗ −¿ y=ax−by+1¿，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：0 ⊗ −¿0=a×0−b×0+1=1.¿若1 ⊗ −¿(−1)=2¿，3 ⊗ −¿6=−2¿． (1)求常数a，b的值； (2)若关于m的不等式组¿恰好有2个整数解，求实数c的取值范围． 题型17 根据程序图解不等式组 1．（2020 下·山东德州·九年级校考期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否 大于30”为一次运算．若运算进行了3 次才停止，则x 的取值范围是（ ） ．51 8 ≤x ≤39 4 B．51 8 ≤x< 39 4 ．51 8 <x ≤39 4 D．51 8 <x< 39 4 2 如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结 果，则称该数字只要“算一遍”：若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果， 则称该数字需要“算两遍”，依次类推． (1)当输入数字为2 时，输出的结果为______； (2)当输入数字为______时，“算两遍”的结果为5； (3)当输入数x时，该数字需要算三遍，求x的取值范围． 题型18 不等式组与方程的综合 1．（2022 下·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x 的分式方程 mx (x−2) (x−6) + 2 x−2= 3 x−6无解，且关于y 的不等式组¿有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ） ．1 B．2 ．4 D．8 2．（2022 上·重庆·九年级重庆南开中学校考期末）如果关于x 的不等式组{ m−4 x>5 2 x+5≥x+3 所有整数解中非负 整数解有且仅有三个，且关于y 的分式方程my−2 y−2 −30 y−2=13有正整数解，则符合条件的整数m 有 （ ）个 ．1 B．2 ．3 D．4 3．