专题08 一元一次不等式与不等式组的两种应用全攻略（教师版）

专题08 一元一次不等式(组)两种应用全攻 略 类型一、设计方问题 例．深圳某校6 名师和234 名学生外出参加集体活动，学校准备租用45 座大车和30 座小 车若干辆．已知租用1 辆大车、2 辆小车的租车费用是1000 元，租用2 辆大车、1 辆小车 的租车费用是1100 元． (1)求大、小客车每辆的租车费各是多少元？ (2)学校要求每辆车上至少要有一名师，且租车总费用不超过2300 元，请问有几种符合条件 的租车方？ 【答】(1)大车每辆的租车费是400 元、小车每辆的租车费是300 元； (2)有两种租车方，方一：4 辆大车，2 辆小车；方二：5 辆大车，1 辆小车． 【解析】(1)解：设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元． 可得方程组 ，解得 ． 答：大车每辆的租车费是400 元、小车每辆的租车费是300 元； (2)解：由每辆汽车上至少要有1 名老师，汽车总数不能大于6 辆； 又要保证240 名师生有车坐，汽车总数不能小于 (取整为6)辆， 综合起来可知汽车总数为6 辆． 设租用m 辆大车，则租用(6-m)辆小车， 依题意有： ，解得：4≤m≤5，所以有两种租车方， 方一：4 辆大车，2 辆小车； 方二：5 辆大车，1 辆小车． 【变式训练1】2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之 年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了，B 两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的 扶贫产业，扶贫办联系了，D 两家肥料厂对我市共捐赠100 吨肥料，将这100 吨肥料平均 分配到，B 两个种植基地．已知厂捐赠的肥料比D 厂捐赠的肥料的2 倍少20 吨，从，D 两 厂将肥料运往，B 两地的费用如表： 厂 D 厂 运往地(元/吨) 22 20 运往B 地(元/吨) 20 22 (1)求，D 两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨； (2)设从厂运往地肥料x 吨，从，D 两厂运输肥料到，B 两地的总运费为y 元，求y 与x 的函 数关系式，并求出最少总运费； (3)由于从D 厂到B 地开通了一条新的公路，使D 厂到B 地的运费每吨减少了(0＜＜6)元， 这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答】(1)厂捐赠的数量是60 吨，则D 厂捐赠的数量是40 吨 (2)y＝4x+1980(10≤x≤50)，最少总运费为2020 元 (3)①当0＜＜4 时，y 随x 的减小而减小，当x＝10 时，y 取最小值，y＝2020；②当＝4 时， 不管x 取何值，均有y＝2020；③当4＜＜6 时，y 随x 的减小而增大，当x＝50 时，y 取最 小值，y＝2180 40 ﹣ ． 【解析】(1)设D 厂捐赠的数量是吨，则厂捐赠的数量是(2 20) ﹣ 吨． 根据题意可得，+2 20 ﹣ ＝100，解得，＝40，则2 20 ﹣ ＝60． 答：厂捐赠的数量是60 吨，则D 厂捐赠的数量是40 吨． (2)根据题意可得，从厂运往地肥料x 吨，从厂运往B 地肥料(60﹣x)吨；从D 厂运往地肥料 (50﹣x)吨，从D 厂运往B 地肥料(x 10) ﹣ 吨． 由题意可得，y＝22x+20(60﹣x)+20(50﹣x)+22(x 10) ﹣ ＝4x+1980， 根据实际意义可得， ，解得，10≤x≤50， 4 ∵＞0，∴y 随x 的减小而减小，∴当x＝10 时，y 取最小值2020． 答：y 与x 的函数关系式为y＝4x+1980(10≤x≤50)，最少总运费为2020 元． (3)在(2)的基础上，可得，y＝22x+20(60﹣x)+20(50﹣x)+(22 )( ﹣x 10) ﹣ ＝(4 ) ﹣x+(1980+10) (10≤x≤50，0＜＜6)， ①当4﹣＞0，即0＜＜4 时，y 随x 的减小而减小，当x＝10 时，y 取最小值，y＝2020； ②当＝4 时，不管x 取何值，均有y＝2020； ③当4﹣＜0，即4＜＜6 时，y 随x 的减小而增大，当x＝50 时，y 取最小值，y＝2180﹣ 40． 综上，①当0＜＜4 时，y 随x 的减小而减小，当x＝10 时，y 取最小值，y＝2020； ②当＝4 时，不管x 取何值，均有y＝2020； ③当4＜＜6 时，y 随x 的减小而增大，当x＝50 时，y 取最小值，y＝2180 40 ﹣ ． 【变式训练2】开学初，某中学八(1)班学生去商场购买了品牌足球1 个、B 品牌足球2 个， 共花费210 元，八(2)班学生购买了品牌足球3 个、B 品牌足球1 个，共花费230 元． (1)求购买一个种品牌、一个B 种品牌的足球各需多少元？ (2)为响应习总书记“足球进校”的号召，学校准备再购买、B 两种品牌足球共100 个，要 求购买的B 品牌足球不少于品牌足球数量的4 倍，请设计一种购买方，使所需总费用最低． 【答】(1)购买一个种品牌、一个B 种品牌的足球各需50 元，80 元 (2)三种方：①B 种5 个，种22 个．②b 种10 个，种14 个．③b 种15 个，种6 个 【解析】(1)解：设购买一个种品牌的足球需要x 元，一个B 种品牌的足球需要y 元， 依题意得： ，解得： ． 答：购买一个种品牌的足球需要50 元，一个B 种品牌的足球需要80 元． (2)解：设购买种品牌的足球m 个，则购买B 种品牌的足球(100−m)个， 依题意得：100−m≥4m，解得：m≤20． 设该校购买100 个足球所需总费用为元，则＝50m＋80(100−m)＝−30m＋8000， −30 ∵ ＜0，∴随m 的增大而减小， ∴当m＝20 时，取得最小值，此时100−m＝80， ∴购买20 个种品牌的足球，80 个B 种品牌的足球所需总费用最低． 【变式训练3】众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20 辆， 运送260 吨物资到地和B 地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15 吨物资，每辆小货车装 10 吨物资，这20 辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 目的地车型 地(元/辆) B 地(元/辆) 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20 辆货车中的10 辆前往地，其余前往B 地，设前往地的大货车有x 辆，这20 辆货车的总运费为y 元． (1)这20 辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)求y 与x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围； (3)若运往地的物资不少于140 吨，求总运费y 的最小值． 【答】(1)大货车、小货车各有12 与8 辆 (2)y＝100x+15600(2≤x≤10，x 为整数)；(3)y 的最小值16400 元 【解析】(1)设大货车、小货车各有m 与辆， 由题意可知： ，解得： 答：大货车、小货车各有12 与8 辆 (2)设到地的大货车有x 辆，则到地的小货车有(10﹣x)辆， 到B 地的大货车有(12﹣x)辆，到B 地的小货车有(x 2) ﹣ 辆， ∴y＝900x+500(10﹣x)+1000(12﹣x)+700(x 2) ﹣ ＝100x+15600， 依题意， ， 2≤x≤10，其中2≤x≤10，x 为整数． (3)运往地的物资共有[15x+10(10﹣x)]吨， 15x+10(10﹣x)≥140，解得：x≥8，∴8≤x≤10，x 为整数， ， 当x＝8 时，y 有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400 元， 答：总运费最小值为16400 元． 【变式训练4】为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力 提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且 还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买 、 两种型号的新能源汽车10 辆． 新能源汽车厂商提供了如下两种购买方： 方 汽车数量(单位： 辆) 总费用 (单位：万元) 第一种购买方 6 4 170 第二种购买方 8 2 160 (1) 、 两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？ (2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对 、 两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3 万元和4 万元．通过测算，该汽车租赁公 司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34 万元，公司需要支付资金不超过 145 万元，请你通过计算求出有几种购买方． 【答】(1) 型号新能源汽车每辆的价格是15 万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20 万 元 (2)共有三种购车方，方一：购买 型号新能源汽车4 辆，则购买 型号新能源汽车6 辆； 方二：购买 型号新能源汽车5 辆，则购买 型号新能源汽车5 辆；方三：购买 型号新 能源汽车6 辆，则购买 型号新能源汽车4 辆 【解析】(1)设 型号新能源汽车每辆的价格是 万元， 型号新能源汽车每辆的价格是 万元 由题意得： 解得： 型号新能源汽车每辆的价格是15 万元， 型号新能源汽车每辆的价格是20 万元 (2)设购买 型号新能源汽车 辆，则购买 型号新能源汽车 辆 由题意得： ，解得： ∵是整数，∴=4，5 或6 ∴共有三种购车方 方一：购买 型号新能源汽车4 辆，则购买 型号新能源汽车6 辆 方二：购买 型号新能源汽车5 辆，则购买 型号新能源汽车5 辆 方三：购买 型号新能源汽车6 辆，则购买 型号新能源汽车4 辆 类型二、销售利润问题 例．西大附中为打造“书香校”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30 个，已知组建 一个中型图书角需科技类书籍80 本，人文类书籍50 本，组建一个小型图书角需科技类书 籍30 本，人文类书籍60 本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900 本，人文 类书籍不超过1620 本． (1)符合题意的组建方有几种？请你帮学校设计出来． (2)若组建一个中型图书角的费用是860 元，小型图书角的费用是570 元，试说明(1)中哪种 方费用最低，最低费用是多少元？ 【答】(1)共有3 种组建方，方1：组建中型图书角18 个，小型图书角12 个；方2：组建中 型图书角19 个，小型图书角11 个；方3：组建中型图书角20 个，小型图书角10 个． (2)方1 费用最低，最低费用是22320 元 【解析】(1)解：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角 个， 依题意得： ，解得： ， 又∵x 为整数，∴x 可以取18，19，20， 共有3 种组建方， 方1：组建中型图书角18 个，小型图书角12 个； 方2：组建中型图书角19 个，小型图书角11 个； 方3：组建中型图书角20 个，小型图书角10 个； (2)选择方1 的费用为： (元； 选择方2 的费用为： (元； 选择方3 的费用为： (元． ， 方1 费用最低，最低费用是22320 元． 【变式训练1】某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初 二某班的同学们准备制作 、 两款挂件来进行销售．已知制作3 个 款挂件、5 个 款挂 件所需成本为46 元，制作5 个 款挂件、10 个 款挂件所需成本为85 元．已知 、 两 款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价(元/个) 12 8 (1)求制作一个 款挂件、一个 款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有40 名学生．计划每位同学制作2 个 款挂件或3 个 款挂件，制作的总成 本不超过590 元，且制作 款挂件的数量不少于 款挂件的2 倍．设安排 人制作 款挂 件，销售的总利润为 元．请写出 (元)与 (人)之间的函数表达式，求出自变量的取值范 围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【答】(1)制作一个 款挂件的成本为7 元，制作一个 款挂件的成本为5 元 (2) , 且 为正整数；安排17 人制作 款挂件，23 人制作 款挂件时，总利润最大，为377 元 【解析】(1)解：设制作一个 款挂件的成本为 元，制作一个 款挂件的成本为 元． 由题可知： ，解得 答：制作一个 款挂件的成本为7 元，制作一个 款挂件的成本为5 元． (2) 解：由题可知： ． (3) ∴ ，∵ 为整数，∴ 且 为正整数． ∵ ，∴ 随 的增大而增大，∴ 时， 最大，此时 ， ． 答：安排17 人制作 款挂件，23 人制作 款挂件时，总利润最大，为377 元． 【变式训练2】某商场根据市场需求，计划购进甲、乙两种型号的洗衣机，其部分信息如 下：购进甲、乙两种型号的洗衣机共80 台，准备购买洗衣机的资金不少于44 万元，但不 超过45 万元，且准备的资金全部用于购买洗衣机，现已知甲、乙两种洗衣机的成本和售价 如表： 型号 成本(元/台) 售价(元/台) 甲 5000 5500 乙 6000 6600 根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场有几种购机方？哪种方获得最大利润？ (2)据市场调查，每台甲型号洗衣机的售价将会提高m 元(m＞0)，每台乙型洗衣机售价不会 改变，该公司应如何购机才可以获得最大利润？ 【答】(1)11 种方，购买甲型号30 台，乙型号50 台时，利润最大；(2)m＜100 时，购买甲 型号30 台，乙型号50 台时，利润最大，m＞100 时，购买甲型号40 台，乙型号40 台时， 利润最大， m＝100 时，第(1)题中的11 种方均可，利润为定值48000 元 【详解】解：(1)设购买甲型号洗衣机 台，则购买乙型号洗衣机 台， 由题意： ，解得： ， ∵ 为正整数，∴ 可取的数为：30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40， ∴共有11 种购机方，分别为： 甲型号：30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40， 对应乙型号：50，49，48，47，46，45，44，43，42，41，40， 设总的利润为 ，则 ，整理得： ， ∵ ，∴ 随 的增大而减小，∴当 时， 最大， 此时，乙型号数量为：80-30=50(台)，∴购买甲型号30 台，乙型号50 台时，利润最大； (2)设提升价格后的总利润为 ，则 ， 整理得： ， ①当 时， ，∴ 随 的增大而减小， ∵ ，∴当 时， 最大，此时，乙型号数量为：80-30=50(台)， ∴购买甲型号30 台，乙型号50 台时，利润最大； ②当 时， ，∴ 随 的增大而增大， ∵ ，∴当 时， 最大，此时，乙型号数量为：80-40=40(台)， ∴购买甲型号40 台，乙型号40 台时，利润最大； ③当 时， ，即：选择(1)中的11 种方获得的利润均相等，均为48000 元； 综上分析， 时，购买甲型号30 台，乙型号50 台时，利润最大， 时，购 买甲型号40 台，乙型号40 台时，利润最大， 时，第(1)题中的11 种方均可，利润 为定值48000 元． 【变式训练3】在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉 树．经市场调查发现：购买2 棵柏树和3 棵杉树共需440 元，购买3 棵柏树和1 棵杉树共 需380 元． (1)求柏树和杉树的单价； (2)若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150 棵(两种树都必须购买)，且柏树的棵数不 少于树的3 倍，设本次活动中购买柏树x 棵，此次购树的费用为元． ①求与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围？ ②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答】(1)柏树的单价为100 元，杉树的单价为80 元；(2)① ， 且x 为整数；②要使此次费用最少，柏树购买113 棵，杉树37 棵，最少费 用为14260 元． 【详解】解：(1)设柏树的单价为m 元，杉树的单价为元， 根据题意可得： ，解得： ，答：柏树的单价为100 元，杉树的单价 为80 元； (2)①设本次活动中购买柏树x 棵，则杉树 棵， 由(1)及题意可得： ， ∵本次购买柏树和杉树共150 棵，且两种树都必须购买，即： ，∴ ， ∵柏树的棵树不少于杉树的3 倍，∴ ， 解得： ， 综合可得： ， 且x 为整数； ②由①可得： ，∵ ，∴随x 的增大而增大， ∵ ，∴当 时，最小，此时， (元)， (棵)，∴要使此次费用最少，柏树购买113 棵，杉树37 棵，最少费用为 14260 元． 【变式训练4】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙 种玩具的进价的和为40 元，用150 元购进甲种玩具的件数与用90 元购进乙种玩具的件数 相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场用不超过1200 元的资金购进甲、乙两种玩具共50 件，其中甲种玩具的件数不少于 乙种玩具的件数，若甲玩具售价40 元，乙玩具售价20 元，当玩具售完后，要使利润最大， 应怎样进货？ (3)在(2)的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m 元(8＜m＜12)，当玩具售完后，要 使利润最大，对甲玩具应怎样进货？ 【答】(1)甲种玩具进价25 元/件，乙种玩具进价为15 元/件；(2)购进甲种玩具45 件，购进 乙种玩具5 件利润最大；(3)当8＜m＜10 时，购进甲种玩具45 件，购进乙种玩具5 件利润 最大；当10＜m＜12 时，购进甲种玩具25 件，购进乙种玩具25 件利润最大；当m＝10 时， 不管x 取何值，＝250 【详解】(1)设甲种玩具进价元/件，则乙种玩具进价为(40 ) ﹣元/件，根据题意得： ， 解得＝25，经检验，＝25 是原方程的解并满足题意， 当=25 时，40−=40−25=15，所以甲种玩具进价25 元/件，乙种玩具进价为15 元/件； (2)设购进甲种玩具x 件，则购进乙种玩具(50﹣x)件，根据题意得： ， 解得25≤x≤45； 设总利润为元，根据题意得：＝(40﹣25)x+(20﹣15)×(50﹣x)＝10x+250， 10 ∵ ＞0，∴随x 的增大而增大，∴当x＝45 时，利润最大，此时50−x=5， 故购进甲种玩具45 件，购进乙种玩具5 件利润最大； (3)由题意可得，＝(40﹣25)x+(20﹣15)×(50﹣x)﹣mx＝(10﹣m)x+250； 8 ∵＜m＜12，①当8＜m＜10 时，10﹣m＞0， ∴随x 的增大而增大，即购进甲种玩具45 件，购进乙种玩具5 件利润最大； ②当10＜m＜12 时，10﹣m＜0， ∴随x 的增大而减小，即购进甲种玩具25 件，购进乙种玩具25 件利润最大； ③当m＝10 时，不管x 取何值，＝250． 课后练习 1．检测游泳池的水质，要求三次检验的p 的平均值不小于72，且不大于78．前两次检验， p 的读数分别是74，79，那么第三次检验的p 应该为多少才能合格？设第3 次的p 值为x， 由题意可得( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：根据题意知72≤ ≤78， 72×3≤74+79+ ∴ x≤78×3， 故选：． 2．若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x 的取值范围是______；若等腰三角形的腰长 为6，则它的底边长y 的取值范围是______． 【答】