第05讲 一次方程（组）及其应用（讲义）（解析版）

第05 讲 一次方程（组）及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等式的基本性质 题型01 利用等式的性质判断变形正误 题型02 利用等式的性质求解 考点二 一元一次方程 题型01 判断一元一次方程 题型02 解一元一次方程 题型03 一元一次方程的特殊解题技巧 【类型一】分母含小数的一元一次方程 技巧1 巧化分母为1 技巧2 巧化同分母 技巧3 巧约分去分母 【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程 技巧1 巧用拆分法 技巧2 巧用对消法 技巧3 巧通分 【类型三】含括号的一元一次方程 技巧1 利用倒数关系去括号 技巧2 整体合并去括号 技巧3 整体合并去分母 技巧4 由外向内去括号 技巧5 由内向外去括号 题型04 错看或错解一元一次方程问题 考点三 二元一次方程（组） 题型01 二元一次方程（组）的概念 题型02 解二元一次方程组 题型03 二元一次方程组特殊解法 类型一 引入参数法 类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 类型四 换元法 类型五 同解交换法 类型六 主元法 题型04 错看或错解二元一次方程组问题 题型05 构造二元一次方程组求解 题型06 解三元一次方程组 考点四 一次方程（组）的应用 题型01 利用一元一次方程解决实际问题 类型一 配套问题 类型二 工程问题 类型三 增长率问题 类型四 销售利润问题 类型五 比赛积分问题 类型六 方选择问题 类型七 数字问题 类型八 日历问题 类型九 几何问题 类型十 和差倍分问题 类型十一 行程问题 题型02 利用二元一次方程解决实际问题 类型一 配套问题 类型二 方选择问题 类型三 年龄问题 类型四 几何问题 类型五 行程问题 类型六 古代问题 类型七 图表问题 类型八 工程问题 考点要求 新课标要求 命题预测 等式的基本性质  理解等式的基本性质 一元一次方程与二元一次方程 （组）在初中数学中因为未知数的最高 次数都是一次，且都是整式方程,所以 统称为“一次方程” 中考中，对于这两个方程的解法及 其应用一直都有考察，其中对于两个方 程的解法以及注意事项是必须掌握的， 而在其应用上也是中考代数部分结合型 较强的一类考点 预计2024 年各地中考还将继续考 查一次方程的解法和应用题，为避免丢 分，学生应扎实掌握． 一元一次方程  能解一元一次方程 二元一次方程 （组）  掌握消元法，能解二元一次方程组  能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用  利用一次方程求解实际问题 考点一 等式的基本性质 题型01 利用等式的性质判断变形正误 【例1】（2022 青海省中考）下列说法中，正确的是（ ） ．若ac=bc，则a=b B．若a 2=b 2，则a=b ．若a c =b c ，则a=b D．若−1 3 x=6，则x=2 【答】 【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答． 【详解】解：、若=b，当≠0，则=b，故此选项错误； B、若a 2=b 2，则a=±b，故此选项错误； 、若a c =b c ，则a=b，故此选项正确； D、若−1 3 x=6，则x=−18，故此选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键． 【变式1-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（ ） ．若x= y，则x z = y z B．若ac=bc，则a=b ．若x 2=4 x，则x=4 D．若a c =b c ，则a=b 1 利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算 2 运用等式的性质2 时，等式两边不能同时除以0，因为0 不能作除数或分母 【答】D 【提示】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：、当z=0时，由x= y不能得到x z = y z ，变形错误，不符合题意； B、当c=0时，由ac=bc不一定能得到a=b，变形错误，不符合题意； 、若x 2=4 x，则x=4或x=0，变形错误，不符合题意； D、由a c =b c ，可以得到a=b，变形正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或 式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0 的 数或式子等式仍然成立． 【变式1-2】（2023 沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ） ．x＋y＝0 B．x 5 = 5 y ．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7 【答】 【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答． 【详解】解：∵x= y，∴x−y= y−y=0, 故A错误； ∵x= y，∴x 5 = y 5 , 故B错误； ∵x= y，∴x−2= y−2, 故C正确； ∵x= y，∴x+7= y+7 , 故D错误；故选：C . 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 题型02 利用等式的性质求解 【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中同一种物体的质量都相 ■ ▲ ● 等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ） ． B． ． D． 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式 的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2 【答】B 【提示】设“ ”的质量为 ■ x，“ ”的质量为 ▲ y “●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即 可． 【详解】设“ ”的质量为 ■ x，“ ”的质量为 ▲ y “●”的质量为m， 根据题意，得2 x=4 y即x=2 y，故正确，不符合题意； ∴x+m=m+2 y，故正确，不符合题意； 故B 不正确，符合题意； ∴x+2m=2m+2 y，故D 正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键． 【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） ．如果a+c=b+c，那么a=b（，b，均不为0） B．如果a=b，那么a+c=b+c（，b，均不为0） ．如果a−c=b−c，那么a=b（，b，均不为0） D．如果a=b，那么ac=bc（，b，均不为0） 【答】 【提示】根据等式的性质解答即可． 【详解】解：观察图形，是等式a+c=b+c的两边都减去（，b，均不为0）， 利用等式性质1，得到a=b， 即如果a+c=b+c，那么a=b（，b，均不为0）． 故选：． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘 同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 【变式2-2】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流 跟导体两端的电压 Ⅰ U，导体的电阻 R 之间有以下关系：I=U R 去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ） ．等式的性质1 B．等式的性质2 ．分式的基本性质 D．不等式的性质2 【答】B 【提示】根据等式的性质2 可得答． 【详解】解：I=U R 去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 【变式2-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知( 2021 2022−2022 2021)+x=0，则x的值是( ) ．2022 2021 + 2021 2022 B．−2022 2021 + 2021 2022 ．2022 2021−2021 2022 D．−2022 2021 −2021 2022 【答】 【提示】根据等式的性质进行计算即可． 【详解】解：将原式两边同时减去( 2021 2022−2022 2021)可得：x=−( 2021 2022−2022 2021)， 即x=2022 2021−2021 2022， 故选：． 【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的 条件是（ ） ．相等 B．互为倒数 ．互为相反数 D．无法确定 【答】 【提示】根据等式的性质，两边都加上b，然后判断即可得解． 【详解】解：m+=-b 两边都加上b 得，m++b=， ∵等式可变形为m=， + ∴b=0， =- ∴ b． 故选：． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母， 等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0 数或字母，等式仍成立． 考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程 一元一次方程标准形式：x+b=0（x 为未知数，、b 是常数且≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 题型01 判断一元一次方程 【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3 x−5= x 2+3 x；③2 x+1=1；④2 x =1；⑤ 2 x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可 【详解】解： 不含未知数，故错 ① ②未知数的最高次数为2，故错 ③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 ④左边不是整式，故错 1 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 2 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1 3 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点 灵活运用． 4 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10， 化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数 为整数． ⑤不是等式，故错 ⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键 【变式1-1】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程(k 2−4) x 2+(k−2) x=k+6是一元一次方程，则方程的 解为（ ） ．-2 B．2 ．-6 D．-1 【答】D 【分析】利用一元一次方程的定义确定出k 的值，进而求出k 的值即可． 【详解】解： 方程 ∵ (k 2−4) x 2+(k−2) x=k+6是关于x 的一元一次方程， ∴¿ ， 解得：k=-2，方程为-4x=-2+6， 解得：x=-1， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题 的关键． 【变式1-2】（2023 九江市一模）已知(k−1) x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ． 【答】−1 【分析】由一元一次方程的定义可直接进行列式求解． 【详解】解： 方程 ∵ (k−1) x|k|+2=3是关于x的一元一次方程 ， ∴|k|=1,k−1≠0， 解得：k=−1； 故答为−1． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-3】（2023 武威市一模）若方程(k+2)x ¿k+1∨¿+6=0¿是关于x 的一元一次方程，则k+2023=¿ ． 【答】2023 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一 般形式是ax+b=0(a，b是常数且a≠0)，据此求解即可． 【详解】解：∵(k+2)x ¿k+1∨¿+6=0¿是关于x 的一元一次方程， ∴k+2≠0，|k+1|=1， 解得：k=0． ∴k+2023=2023， 故答为：2023． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系 数不是0，这是这类题目考查的重点． 题型02 解一元一次方程 【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x 1 ﹣＝2x+5． 【答】x =3． 【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1 法即可． 【详解】解：4 x 1 ﹣＝2x+5， 移项得：4 x 2 ﹣x＝5+1 合并同类项得：2 x=6， ∴系数化1 得：x =3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法 要根据方程的特点灵活选用合适的方法 【变式2-1】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4(x+ 1 2)的值与x−7互为相反数，则x 的值为（ ） ．1 B．13 10 ．3 D．−3 【答】 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：4(x+ 1 2)+(x−7)=0， 解得：x=1； 故选． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键． 【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式−x y b与1 2 x a y 3是同类项，那么关于x 的方程bx+a=0 的解为（ ） ．x=1 3 B．x=−1 3 ．x=3 D．x=−3 【答】B 【分析】根据同类项的定义得出，a=1，b=3，代入方程bx+a=0，解得即可． 【详解】∵单项式−x y b与1 2 x a y 3是同类项， ∴a=1，b=3， ∴方程为3 x+1=0， 解得x=−1 3 ， 故选：B． 【点睛】本题考查同类项和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项， 解题的关键是熟知同类项的定义． 【变式2-3】（2019·山东济南·中考真题）代数式2 x−1 3 与代数式3−2 x的和为4，则x=¿ ． 【答】﹣1 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x 的值． 【详解】根据题意得：2 x−1 3 +3−2 x=4， 去分母得：2 x−1+9−6 x=12， 移项合并得：−4 x=4， 解得：x=−1， 故答为﹣1 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-4】（2023 扬州市三模）规定一种新的运算：a∗b=2−a−b，求 2 x−1 3 ∗1+x 2 =1的解是 ． 【答】x=5 7 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：2−2 x−1 3 −1+x 2 =1， 去分母得：12−2 (2 x−1)−3 (1+x )=6， 去括号得：12−4 x+2−3−3 x=6， 移项合并得：−7 x=−5， 解得：x=5 7 ． 故答为：x=5 7 ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式2-5】（2023·四川成都·二模）若实数，b，满足a 2=b 3 = c 4 =k，且a+2b+3c=40，则k=¿ ． 【答】2 【分析】先根据等式的性质得：a=2k，b=3k，c=4 k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到关于k 的一元一次方程，解这个方程即可． 【详解】解：由a 2=b 3 = c 4 =k得：a=2k，b=3k，c=4 k， 代入到等式a+2b+3c=40中，得： 2k+6 k+12k=40， 解得：k=2． 故答为：2． 【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本 题的关键． 【变式2-6】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用 今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行， 每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则的值为 ． 【答】2 【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15 就可以求出． 【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量 第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1 第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4 ∵f=4 ∵对角线上6++f=15 6+4+=15 ∴ ，得到=5 =5 ∵ 另外一条对角线上8++=15 8+5+=15 ∴ ，得到=2 故答为：2． 【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键． 题型03 一元一次方程的特殊解题技巧 【类型一】分母含小数的一元一次方程 技巧1 巧化分母为1 【例3】解方程：0.6 x+0.5 0.2 −0.03 x+0.2 0.06 = x−9 3 【详解】解： 0.6 x+0.5 0.2 −0.03 x+0.2 0.06 = x−9 3 6 x+5 2 −3 x+20 6 = x−9 3 3 (6 x+5)−(3 x+20)=2 (x−9) 18 x+15−3 x−20=2 x−18 18 x−3 x−2 x=−18−15+20 13 x=−13 x=−1． 【变式3-1】解方程：0.3 x -0.5 0.2 -0.12-0.05 x 0.03 = x． 【详解】解：原方程可化为3 x -5 2 -12-5 x 3 = x， 去分母，得 3\(3 x -5\)-2\(12-5 x \)=6 x， 去括号，得 9 x -15-24+10 x =6 x， 移项，得 9 x +10 x -6 x =15+24， 合并同类项，得 13 x =39， 系数化为1，得 x =3． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． 技巧2 巧化同分母 【例4】解方程：x 0.6−0.16−0.5 x 0.06 =1． 【详解】解：x 0.6−0.16−0.5 x 0.06 =1 化为同分母，得，0.1 x 0.06 −0.16−0.5 x 0.06 =0.06 0.06 去分母，得0.1 x−0.16+0.5 x=0.06． 解得x= 11 30． 技巧3 巧约分去分母 【例5】解方程：x−4 0.2 −10= x−3 0.05 【详解】解：解：x−4 0.2 −10= x−3 0.05 10 x−40 2 −10=100 x−300 5 5 (10 x−40)−100=2 (100 x−300) 50 x−200−100