第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（讲义）（原卷版）

第08 讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 不等式及不等式的基本性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 列不等式 题型03 取值是否满足不等式 题型04 利用不等式的性质判断式 子正负 题型05 根据点在数轴位置判断式 子正负 题型06 利用不等式的性质比较大 小 题型07 利用不等式的性质证明 （不）等式 题型08 利用不等式的性质确定参 数的取值范围 题型09 不等式性质的应用 考点二 一元一次不等式 题型01 判断一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式求参 数值 题型03 求一元一次不等式解集 题型04 利用数轴表示一元一次不 等式解集 题型05 一元一次不等式整数解问 题 题型06 根据含参数不等式解集的 情况求参数的取值范围 题型07 与一元一次不等式有关的 新定义问题 题型08 含绝对值的一元一次不等 式 题型09 不等式与方程组综合求参 数的取值范围 考点三 一元一次不等式组 题型01 一元一次不等式组定义 题型02 解不等式组 题型03 求不等式组整数解 题型04 由不等式组整数解求字母 取值范围 题型05 由不等式组的解集求参数 题型06 与不等式组有关的新定义 问题 题型07 根据程序图解不等式组 题型08 不等式组与方程的综合 考点四 不等式（组）的实际应用 题型01 利用一元一次不等式解决 实际问题 题型02 利用一元一次不等式组解 决实际问题 考点要求 新课标要求 命题预测 不等式及不等式的  结合具体问题，了解不等式的意义，探 中考数学中，一元一次不等式(组) 基本性质 索不等式的基本性质 的解法及应用题时有考察 其中不等式性 质、解一元一次不等式(组)，通常是以 选择题或填空题的形式出现，难度不大 而不等式（组）相关的应用题常会和其 它考点(如二元一次方程组、二次函数 等) 结合考察，常以解答题形式出现， 此时难度上升，需要小心应对对于一元 一次不等式（组）中含参数问题，难度 偏大，但是考察几率并不大，为避免丢 分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式  能解数字系数的一元一次不等式，并能 在数轴上表示出解集 一元一次不等式组  会用数轴确定两个一元一次不等式组成 的不等式组的解集 不等式（组）的实 际应用  能根据具体问题中的数量关系，列出一 元一次不等式，解决简单的问题 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式 二、不等式的性质 基本性质1 若>b，则± > b± 若<b，则± < b± 基本性质2 若>b,>0，则>b（或a c > b c ） 基本性质3 若>b,<0，则<b（或a c < b c ） 1 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系 2 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种 3 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点 4 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解 5 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0 不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2 和性质3 的区别,在乘(或除以)同一个 数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向 题型01 不等式的概念及意义 【例1】以下表达式：①4 x+3 y ≤0；②a>3；③x 2+xy；④a 2+b 2=c 2；⑤x≠5．其中不等式有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式1-1】（2023 湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100 克内含钙＞150 毫克”，它 的含义是指（ ） ．每100 克内含钙150 毫克 B．每100 克内含钙不低于150 毫克 ．每100 克内含钙高于150 毫克 D．每100 克内含钙不超过150 毫克 题型02 列不等式 【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ） ．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5 ．“n与4 的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4 【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500 米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（ ） ．x<3500 B．x ≤3500 ．x ≥3500 D．x>3500 【变式2-2】（2023 南宁市模拟）是非负数的表达式是（ ） ．a＞0 B．|a|≥0 ．a＜0 D．a≥0 题型03 取值是否满足不等式 【例3】（2023·河北保定·统考二模）在−❑ √2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x <−2的有（ ） ．－2 B．－3 ．−❑ √2 D．1 【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（ ） ．x+1<4 B．1 2 x>2 ．2 x+1<5 D．3 x−2>9 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 x←3，那么下列不 等式成立的是（ ） ． x 2>−3 x B． x 2≥−3 x ． x 2←3 x D． x 2≤−3 x 【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ） ．a−2>b−2 B．−2a>−2b ．a+2>b+2 D．a 2 > b 2 【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c ,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是 （ ） ．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d ．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d 【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（ ） ．若x＞y，则x+3c> y−2c B．若x＞y，则xc> yc ．若x＞y，则x c 2> y c 2 D．若x c 2 > y c 2，则x＞y 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确 的是（ ） ．−a−c>−b−c B．ac>bc ．|a−b|=a−b D．a←b←c 【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点和点B 分别在原点的左侧和右侧，点、B 对 应的实数分别是、b，下列结论一定成立的是（ ） ．a+b<0 B．b−a<0 ．−2a>−2b D．|a|>|b| 【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点和点B 分别在原点的左侧和右侧，点、 B 对应的实数分别是、b，下列结论一定成立的是（ ） ．a+b<0 B．b−a<0 ．2a>2b D．a+2<b+2 【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有、、B、四点位置与 各点所表示的数，若数轴上有一点D，D 点所表示的数为d，|d−5|=|d−c|，则D 点的位置（ ） ．在的左边 B．在、之间 ．在、之间 D．在、B 之间 【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，在数轴上对应的点如图所示， 下列各式正确的是（ ） ．x<x−n<x−m B．x−n<x<x−m ．x−m<x−n<x D．x<x−m<x−n 题型06 利用不等式的性质比较大小 【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数m，m+1，−m−2 (m>0)的大小顺序是（ ） ．−m−2<m<m+1 B．−m−2<m+1<m ．m<m+1←m−2 D．m←m−2<m+1 【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知M=x 2−2 x+4，N=x 2−4 x+4，请比较M 和的大小． 以下是小明的解答： ∵M=(x−1) 2+3≥3，N=(x−2) 2≥0， ∴M ≥N． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 40．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）阅读： （1）若＜b，则2 3 ﹣＜2b 3 ﹣，简述理由： 小明的解法： ＜ ∵ b， 2 ∴＜2b，（不等式性质2： ）， 2 3 ∴﹣＜2b 3 ﹣，（不等式性质1）． 小亮的解法：令y＝2x 3 ﹣， ∵k＝2＞0， ∴y 随x 的增大而增大． ∵＜b， 2 3 ∴﹣＜2b 3 ﹣． 小敏的解法： ∵＜b，观察函数y＝2x 3 ﹣的图象可知，图象上点（，2 3 ﹣）在点（b，2b 3 ﹣）的左边，而图象由左往右 呈上升趋势， 2 3 ∴﹣＜2b 3 ﹣． （2）若＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣2 a与﹣2 b 的大小． （3）若＜b＜0，比较（+2） 2+1 与（b+2） 2+1 的大小，简述理由． （4）若＜b＜0，且≠﹣2，b≠2 ﹣，直接写出﹣2a+1 2a+4 与﹣2b+1 2b+4 的大小关系． 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 【例7】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）根据不等式的性质：若x−y ＞0，则x＞y；若 x−y ＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1 n > n−2 n−1． 【变式7-1】（2019 上·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一 个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9c m 2．请用 你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m 2且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在a+b⩾2❑ √ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2❑ √p，当且仅当a=b时，a+b 有最小值2❑ √p． a+b⩾2❑ √ab (a,b均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数a、b，∵ (❑ √a−❑ √b) 2⩾0,∴ a−2❑ √ab+b⩾0, ∴ a+b⩾2❑ √ab，当且仅当a=b时，等号成立． 解决问题： （1）若x>0，则x+ 4 x ⩾ （当且仅当x=¿ 时取“¿” )； （2）运用上述结论证明小明对问题2 的猜测； 根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数 或式子分别为m 和，若m->0，则m>；若m-=0，则m=；若m-<0，则m< （3）当x>−1时，求y= x 2+3 x+1 的最小值． 【变式7-2】（2022·山东日照·日照市新营中学校考二模）2002 年国际数学大会的会徽设计的基础是公3 世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形 的面积大于4 个直角三角形的面积之和… 设直角三角形的边长为，b，则S正方形>4 SRT △，(a 2+b 2)>4( 1 2 ab)，即a 2+b 2>2ab； 当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4 个直角三角形的面积之和，即 a 2+b 2=4( 1 2 ab)=2ab， 综上所述，a 2+b 2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立． 使用上述结论，“a 2+b 2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题： (1)证明：“若，b 为正实数，则a+b≥2❑ √ab．当且仅当a=b时等号成立”． (2)，b 均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则ab有最大值_________． (3)请结合函数图象（图2）研究y=x+ 1 x 中函数值y 的取值范围． (4)如图3，已知P 是反比例函数y= 1 x ( x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(−1,a)，其中是常数， a>0，试求S△POA的最小面积（用表示）． 【变式7-3】（2023·江苏扬州·统考一模）将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为 a b (b>a>0)． (1)再往杯中加入m (m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； (2)请证明（1）中的数学关系式； (3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b,c，证明：a b+c + b c+a + c a+b <2． 题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围 【例8】（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）若a=3 ❑ √5−2，则的取值范围是（ ） ．2<a<3 B．3<a<4 ．4<a<5 D．5<a<6 【变式8-1】（2023 路南区二模）若x< y，且(a−3) x⩾(a−3) y，则a的取值范围是（ ） ．a>3 B．a<3 ．a⩾3 D．a⩽3 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x 的不等式(a+2) x<1的解集为 x> 1 a+2，则的取值范围为 ． 【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知实数x，y，a满足x+3 y+a=4， x−y−3a=0．若 −1≤a≤1，t=x+ y，那么t 的取值范围是 ． 题型09 不等式性质的应用 【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知实数，b，满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（ ） ．a−b=3 (c−b) B．a−c 2 =c−b ．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a> c−a 2 【变式9-1】（2023 武威县模拟）若x+ y=3，x ≥0，y ≥0，则2 x+3 y的最小值为（ ） ．0 B．3 ．6 D．9 【变式9-2】（2023 德阳市一模）实数、b、满足＞b 且＜b，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） ． B． ． D． 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这 样的不等式叫一元一次不等式 一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0 (a≠0) 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分 母 在不等式两边都乘以各分母的 最小公倍数 不等式性 质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整 数，再去分母 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号 去括 号 先去小括号，再去中括号，最 后去大括号 分配律 去括号法 则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一 项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各 项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各 项都不变号 移项 把含有未知数的项移到不等式 左边，其它项都移到不等式右 边 不等式性 质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号 而在不等式同一边改变项的位置时不变号 合并 同类 项 把不等式变为a x<b或 ax>b (a≠0)的形式 合并同类 项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当 系数 化为1 将不等式两边都除以未知数系 数，得到不等式的解 不等式性 质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变 题型01 判断一元一次不等式 【例1】（2021·全国·九年级假期作业）在数学表达式：−3<0，a+b，x=3，x 2+2 xy+ y 2，x≠5， x+2> y+3中，是一元一次不等式的有（ ）． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 1 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高 次数是1 2 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改 变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据 不等式的形式灵活安排求解步骤 【变式1-1】（2021·陕西·九年级专题练习）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）个． ① a−3＜2；②−x−1 x ＞3；③x−y ＜0；④x 2+3 x ≤1；⑤x−1 3 ＞x+1 2 ．1 B．2 ．3 D．0 题型02 根据一元一次不等式求参数值 【例2】已知2 3（m+4）x|m|–3+6＞0 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） ．4 B．±4 ．3 D．±3 【变式2-1】若(m−1) x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） ．0 B．1 ．−1 D．±1 【变式2-2】若(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ． 题型03 求一元一次不等式解集 【例3】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）下列变形中正确的是（ ） ．由−2 x<1，得x←1 2 B．由2 x+1>3 x−1，得x>−2 ．由2 x+1>x−1，得x>2 D．由x+2<2 x−2，得x>4 【变式3-1】（2022·安徽·统考中考真题）不等式x−3 2 ≥1的解集为 ． 【变式3-2】（2022·安徽宣城·统考一模）解不等式：2 x−3< x+1 3 ． 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 【例4】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）不等式3x＋1＜2x 的解在数轴上表示正确的是（ ） ． B． ． D． 【变式4-1】（2023 下·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考