第05讲 一次方程（组）及其应用（练习）（原卷版）

第05 讲 一次方程（组）及其应用 目 录 题型01 利用等式的变形判断式子正误 题型02 利用等式的性质求解 题型03 判断一元一次方程 题型04 解一元一次方程 题型05 错看或错解一元一次方程 题型06 二元一次方程（组）的概念 题型07 解二元一次方程组 题型08 错看或错解二元一次方程组问题 题型09 构造二元一次方程组求解 题型10 利用一元一次方程解决实际问题 题型11 利用二元一次方程解决实际问题 题型01 利用等式的变形判断式子正误 1．（2023·浙江衢州·三模）已知a=b，下列等式不一定成立的是（ ） ．5a=5b B．a+4=b+4 ．b−2=a−2 D．3a c =3b c 2．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ） ．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y ．若x= y，则x c = y c D．若x 2c = y 3c ，则2 x=3 y 3．（2023·浙江杭州·统考二模）设，b，m 均为实数，（ ） ．若a>b，则a+m>b−m B．若a=b，则ma=mb ．若a+m>b−m，则a>b D．若ma=mb，则a=b 题型02 利用等式的性质求解 1．（2023·河北保定·校考一模）已知a−b=a+3−1 4 ，则下列表示b 的式子是（ ） ．1 4 −3 B．3−1 4 ．3+ 1 4 D．−1 4 −3 2．（2023·广东江门·统考三模）若−2a=1，则a的值是（ ） ．−1 2 B．1 2 ．2 D．−2 3．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考三模）已知≠b，且＋1 b ＝b＋1 a 则下列结论正确的是（ ） ．＋b＝0 B．b＝1 ．若＋b＝0，则－b＝2 D．若－b＝2，则＋b＝0 题型03 判断一元一次方程 1．（2022·江苏盐城·校联考三模）在下列方程中：①x+2y=3，②1 x −3 x=9，③y−2 3 = y+ 1 3 ，④1 2 x=0， 是一元一次方程的有 （只填序号）． 2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的方程m x 2m﹣1+（m﹣1）x -2＝0如果是一元一次 方程，则其解为 ． 题型04 解一元一次方程 1．（2023·浙江·统考一模）解方程：3 x−2 3 −1=5−4 x 6 2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程x+2 3 + 2 x−1 4 =1，以下去分母正确的是（ ） ．4 (x+2)+3 (2 x−1)=12 B．4 (x+2)+3 (2 x−1)=1 ．x+2+2 x−1=12 D．3 (x+2)+4 (2 x−1)=12 3．（2023 常州市二模）对任意四个有理数，b，，d 定义新运算：¿c a ¿ d b =ad−bc，已知¿x 2 x ¿ 1 −4 =18，则 x=¿（ ） ．﹣1 B．2 ．3 D．4 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解一元一次方程：1−4−3 x 4 =5 x+3 6 −x 题型05 错看或错解一元一次方程 1．（2022·河北邯郸·统考三模）嘉淇在解关于x 的一元一次方程3 x−1 2 +¿ ＝3 时，发现正整数 被污染了； (1)嘉淇猜 是2，请解一元一次方程3 x−1 2 +2=3； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 2．（2022·山西太原·一模）（1）下面是小明同学解方程x+3 2 −5 x−3 6 =1的过程，请认真阅读，并完成 相应的任务． 解：去分母，得3( x+3)−(5 x−3)=1． 第一步 去括号，得3 x+9−5 x+3=1． 第二步 移项，得3 x−5 x=−9−3+1． 第三步 合并同类项．得−2 x=−11． 第四步 系数化为1，得x= 2 11 ． 第五步 任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________； ②第三步变形的依据是__________． 任务二：①该一元一次方程的解是_______； ②写出一条解一元一次方程时应注意的事项． 3．（2022·河北保定·统考一模）已知整式 (a 2−2ab)−(■ab−4 b 2)，其中“■”处的系数被墨水污染了． 当a=−2，b=1时，该整式的值为16． (1)则■所表示的数字是多少？ (2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由． 题型06 二元一次方程（组）的概念 1．下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ） ①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ⑤¿ ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2023·贵州六盘水·统考二模）下面4 组数值中，哪组是二元一次方程x+2 y=5的解（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 3．（2023·河北张家口·统考一模）¿不是下列哪个方程的解（ ） ．x+ y=0 B．x−y=−2 ．2 x−y=−1 D．x+2 y=1 4．（2022·浙江绍兴·校联考二模）已知¿是方程4x﹣y＝7 的一个解，那么的值是 ． 题型07 解二元一次方程组 1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）二元一次方程组¿的解是 ． 2．（2022·江苏无锡·统考二模）已知方程组¿，则x+ y的值为 ． 3．（2023·陕西西安·校考二模）解方程组：¿ 题型08 错看或错解二元一次方程组问题 1．（2023·广东惠州·统考二模）小丽和小明同时解一道关于x 、y的方程组¿，其中a、b为常数．在解方 程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿；小明看错常数“b”，解得¿． (1)求a、b的值； (2)求出原方程组正确的解． 2．（2021·广东汕头·统考一模）甲、乙两人同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为¿ 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿ （1）求，b 的值； （2）若关于x 的一元二次方程a x 2−bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7 x1−2 x2=7，求实数m 的值． 3．（2022 许昌市二模）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：¿． 解：①×4，得8 x−4 y=16③，………………第一步， ②−¿③，得−y=4，…………………第二步， y=−4．……………第三步， 将y=−4代入①，得x=0．…………第四步， 所以，原方程组的解为¿．……………第五步． 填空： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______． A、代入消元法 B、加减消元法 (2)第______步开始出现错误，具体错误是______； (3)直接写出该方程组的正确解：______． 4．（2021·浙江嘉兴·统考二模）解方程组：¿，小海同学的解题过程如下： 解：由②得y=5+x，③⋯⋯⋯⋯⋯(1) 把③代入①得3 x−2 x+5=6，⋯⋯⋯⋯⋯(2) x=−1⋯⋯⋯⋯⋯(3) 把x=−1代入③得y=1，⋯⋯⋯⋯⋯(4) ∴此方程组的解为¿．⋯⋯⋯⋯⋯(5) 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 题型09 构造二元一次方程组求解 1．（2021·青海·统考中考真题）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足 ❑ √2a−3b+5+(2a+3b−13) 2=0 ，则此等腰三角形的周长为（ ）． ．8 B．6 或8 ．7 D．7 或8 2．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数y= k x 的图象经过A (3,m)、B(m−1,6)两点，则k的值为（ ） ．4 B．6 ．9 D．12 3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）若 (4 x+ y−4 ) 2与|2 x−y+1|互为相反数，则x y 的值是 题型10 利用一元一次方程解决实际问题 1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20 台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每 台每天的产量为12000 个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000 个，口罩是一个口罩面和两个耳挂 绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各 多少台？ 2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400 米 的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2 天后乙工程队加入，两工程队联合施工4 天 后，还剩70 米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5 米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？ 3．（2022·安徽马鞍山·安徽省马鞍山市第七中学校联考二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两 种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30 减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规 格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4 元/次，订单显示用券后线上一次性购买6 杯实际 支付金额和线下购买6 杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高 度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得4分，平一场得2分，负 一场得0分，某队在已赛的13场比赛中保持连续不败的战绩，共得40分，求该队获胜的场数． 5．（2023·河北沧州·统考三模）嘉嘉和淇淇玩游戏，下面是两人的对话． (1)如果淇淇想的数是−6，求他告诉嘉嘉的结果； (2)设淇淇心里想的数是x，求淇淇告诉嘉嘉的结果；若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几． 6．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划 对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是 宽的2 倍，求新的矩形绿地的长与宽； 7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）以井测绳．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测 之，绳多半尺．则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份测量，绳子 比井深多五尺；如果将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺．求此水井的深度． 8．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载： 我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若 每间住7 人，则余下7 人无房可住；若每间住9 人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？ 9．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行 一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？ ”题目意思是：同样 时间段内，走路快的人能走100 步，走路慢的人只能走60 步，且两人的步长相等，若走路慢的人先走100 步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ （注释：“步”是古代的一种计量单位） 题型11 利用二元一次方程解决实际问题 1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到 某景区游玩，该景区门票价格规定如图： (1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共 20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方，并求出此时的购票费用． 2．（2023·广东东莞·模拟预测）、B 两地相距4 千米，甲从地出发步行到B 地，乙从B 地出发骑自行车到 地，两人同时出发，30 分钟后两人相遇，又经过10 分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3 倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后多长时间两人相距1 千米？ 3．（2021·江苏泰州·统考中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km 的公路，原计划30 个月完工．实际 施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5 个月完工．甲、乙两 工程队原计划平均每月分别修建多长？ 4．（2017·安徽·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为： 现有一些人共同买一个物品，每人出8 元，还盈余3 元；每人出7 元，则还差4 元，问共有多少人？这个 物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 5．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）学校为实现垃圾分类投放，准备在校内摆放大、小两种垃圾桶． 购买2 个大垃圾桶和4 个小垃圾桶共需600 元；购买6 个大垃圾桶和8 个小垃圾桶共需1560 元．求大、小 两种垃圾桶的单价． 6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，用8 块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一 块长方形地面，且AB=60cm，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽． 7．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二 人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是： 今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 2 3 ，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？ (1)求甲、乙两人各带的钱数； (2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知 作业本的单价为25 元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50 元可以打八折，那么他们合起来 购买可以比单独购买多多少本作业本？ 8．（2020·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两； 牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5 头牛、2 只羊，值19 两银子；2 头 牛、5 只羊，值16 两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购 买方法？列出所有的可能． 9．（2023·湖北孝感·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”， 上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几 何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5 钱，会差45 钱；每人出7 钱，会差3 钱．问合伙人数、羊价 各是多少？请你解答这个问题． 1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x 的一元一次方程2 x+m=5的解为x=1，则m 的值为（ ） ．3 B．−3 ．7 D．−7 2．（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x 等于（ ） ．9 B．−9 ．5 D．−5 3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程2 x+3 y=8的是（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 4．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的15 倍，碳水化 合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x (g )，y (g )，可列出方程为（ ） ．5 2 x+ y=30 B．x+ 5 2 y=30 ．3 2 x+ y=30 D．x+ 3 2 y=30 5．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x , y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m 的值为 （ ） ．0 B．1 ．2 D．3 6．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y 的方程组¿的解满足x+ y=1，则4 m÷2 n的值是（ ） ．1 B．2 ．4 D．8 7．（2022·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组¿，将①式代入②式，消去y可以得到（ ） ．x+2 x−1=7 B．x+2 x−2=7 ．x+x−1=7 D．x+2 x+2=7 8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5 个大桶加上1 个小桶可以盛酒3 斛（斛， 音hú，是古代的一种容量单位），1 个大桶加上5 个小桶可以盛酒2 斛．1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒 多少斛？设大桶可以盛酒x 斛，小桶可以盛酒y 斛，则可列方程组为（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 9．（2023·内蒙古·统考中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2 分，负一场 得1 分．某队在12 场比赛中得20 分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程 组正确的是（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 10．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客 都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7 人，那么 有7 人无房可住；如果一间客房住9 人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x 间，房客y 人，则列出 关于x、y 的二元一次方程组正确的是（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十； 粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50 斗谷 子能出30 斗米，即出米率为3 5 ．今有米在容量为10 斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子， 再舂成米，共得米7 斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，那么可列方程组 为（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 12．（2023·山东·统考中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位 置时，需要非常准确的数据．1 ″的角真的很小．把整个圆等分成360 份，每份这样的弧所对的圆心角的度 数是1°．1°=60 '=3600 ″．若一个等腰三角形的腰长为1 千米，底边长为4848 毫米，则其顶角的度数就 是1 ″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×10 8千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1 ″的等 腰三角形底边长为（ ） ．2424 千米 B．7272 千米 ．2424 千米 D．7272 千米 13．（2023·湖南益阳·统考中考真题