第05讲 一次方程（组）及其应用（讲义）（原卷版）

第05 讲 一次方程（组）及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等式的基本性质 题型01 利用等式的性质判断变形正误 题型02 利用等式的性质求解 考点二 一元一次方程 题型01 判断一元一次方程 题型02 解一元一次方程 题型03 一元一次方程的特殊解题技巧 【类型一】分母含小数的一元一次方程 技巧1 巧化分母为1 技巧2 巧化同分母 技巧3 巧约分去分母 【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程 技巧1 巧用拆分法 技巧2 巧用对消法 技巧3 巧通分 【类型三】含括号的一元一次方程 技巧1 利用倒数关系去括号 技巧2 整体合并去括号 技巧3 整体合并去分母 技巧4 由外向内去括号 技巧5 由内向外去括号 题型04 错看或错解一元一次方程问题 考点三 二元一次方程（组） 题型01 二元一次方程（组）的概念 题型02 解二元一次方程组 题型03 二元一次方程组特殊解法 类型一 引入参数法 类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 类型四 换元法 类型五 同解交换法 类型六 主元法 题型04 错看或错解二元一次方程组问题 题型05 构造二元一次方程组求解 题型06 解三元一次方程组 考点四 一次方程（组）的应用 题型01 利用一元一次方程解决实际问题 类型一 配套问题 类型二 工程问题 类型三 增长率问题 类型四 销售利润问题 类型五 比赛积分问题 类型六 方选择问题 类型七 数字问题 类型八 日历问题 类型九 几何问题 类型十 和差倍分问题 类型十一 行程问题 题型02 利用二元一次方程解决实际问题 类型一 配套问题 类型二 方选择问题 类型三 年龄问题 类型四 几何问题 类型五 行程问题 类型六 古代问题 类型七 图表问题 类型八 工程问题 考点要求 新课标要求 命题预测 等式的基本性质  理解等式的基本性质 一元一次方程与二元一次方程 （组）在初中数学中因为未知数的最高 次数都是一次，且都是整式方程,所以 统称为“一次方程” 中考中，对于这两个方程的解法及 其应用一直都有考察，其中对于两个方 程的解法以及注意事项是必须掌握的， 而在其应用上也是中考代数部分结合型 较强的一类考点 预计2024 年各地中考还将继续考 查一次方程的解法和应用题，为避免丢 分，学生应扎实掌握． 一元一次方程  能解一元一次方程 二元一次方程 （组）  掌握消元法，能解二元一次方程组  能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用  利用一次方程求解实际问题 考点一 等式的基本性质 题型01 利用等式的性质判断变形正误 【例1】（2022 青海省中考）下列说法中，正确的是（ ） ．若ac=bc，则a=b B．若a 2=b 2，则a=b ．若a c =b c ，则a=b D．若−1 3 x=6，则x=2 【变式1-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（ ） ．若x= y，则x z = y z B．若ac=bc，则a=b ．若x 2=4 x，则x=4 D．若a c =b c ，则a=b 【变式1-2】（2023 沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ） ．x＋y＝0 B．x 5 = 5 y ．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7 1 利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算 2 运用等式的性质2 时，等式两边不能同时除以0，因为0 不能作除数或分母 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式 的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2 题型02 利用等式的性质求解 【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中同一种物体的质量都相 ■ ▲ ● 等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ） ． B． ． D． 【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） ．如果a+c=b+c，那么a=b（，b，均不为0） B．如果a=b，那么a+c=b+c（，b，均不为0） ．如果a−c=b−c，那么a=b（，b，均不为0） D．如果a=b，那么ac=bc（，b，均不为0） 【变式2-2】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流 跟导体两端的电压 Ⅰ U，导体的电阻 R 之间有以下关系：I=U R 去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ） ．等式的性质1 B．等式的性质2 ．分式的基本性质 D．不等式的性质2 【变式2-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知( 2021 2022−2022 2021)+x=0，则x的值是( ) ．2022 2021 + 2021 2022 B．−2022 2021 + 2021 2022 ．2022 2021−2021 2022 D．−2022 2021 −2021 2022 【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a 、b满足的 条件是（ ） ．相等 B．互为倒数 ．互为相反数 D．无法确定 考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程 一元一次方程标准形式：x+b=0（x 为未知数，、b 是常数且≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 题型01 判断一元一次方程 【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3 x−5= x 2+3 x；③2 x+1=1；④2 x =1；⑤ 2 x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-1】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程(k 2−4) x 2+(k−2) x=k+6是一元一次方程，则方程的 解为（ ） ．-2 B．2 ．-6 D．-1 【变式1-2】（2023 九江市一模）已知(k−1) x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ． 1 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 2 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1 3 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点 灵活运用． 4 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10， 化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数 为整数． 【变式1-3】（2023 武威市一模）若方程(k+2)x ¿k+1∨¿+6=0¿是关于x 的一元一次方程，则k+2023=¿ ． 题型02 解一元一次方程 【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x 1 ﹣＝2x+5． 【变式2-1】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4(x+ 1 2)的值与x−7互为相反数，则x 的值为（ ） ．1 B．13 10 ．3 D．−3 【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式−x y b与1 2 x a y 3是同类项，那么关于x 的方程bx+a=0 的解为（ ） ．x=1 3 B．x=−1 3 ．x=3 D．x=−3 【变式2-3】（2019·山东济南·中考真题）代数式2 x−1 3 与代数式3−2 x的和为4，则x=¿ ． 【变式2-4】（2023 扬州市三模）规定一种新的运算：a∗b=2−a−b，求 2 x−1 3 ∗1+x 2 =1的解是 ． 【变式2-5】（2023·四川成都·二模）若实数，b，满足a 2=b 3 = c 4 =k，且a+2b+3c=40，则k=¿ ． 【变式2-6】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用 今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行， 每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则的值为 ． 题型03 一元一次方程的特殊解题技巧 【类型一】分母含小数的一元一次方程 技巧1 巧化分母为1 【例3】解方程：0.6 x+0.5 0.2 −0.03 x+0.2 0.06 = x−9 3 【变式3-1】解方程：0.3 x -0.5 0.2 -0.12-0.05 x 0.03 = x． 技巧2 巧化同分母 【例4】解方程：x 0.6 −0.16−0.5 x 0.06 =1． 技巧3 巧约分去分母 【例5】解方程：x−4 0.2 −10= x−3 0.05 【变式5-1】解方程：0.3 x−1 0.02 −0.4 x−8 0.5 =1 【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程 技巧1 巧用拆分法 【例6】解方程：3 x−1 4 =5 x−7 6 【变式6-1】解方程：x−1 2 −2 x−3 6 =6−x 3 ． 【变式6-2】解方程：x 2 + x 6 + x 12 + x 20=1． 【变式6-3】解方程：x 2 + x 6 + x 12 +⋯+ x 2008×2009=2008． 技巧2 巧用对消法 【例7】解方程：x 3 + x−2 5 =3 3 7 −6−3 x 15 ． 技巧3 巧通分 【例8】解方程：x+3 7 −x+2 5 = x+1 6 −x+4 4 ． 【类型三】含括号的一元一次方程 技巧1 利用倒数关系去括号 【例9】解方程：6 5 [ 5 6 (2 x+1)+5]−1=4 x 【变式9-1】解方程：解方程 3 2[ 2 3 ( x 4 −1)−2]−x=2 技巧2 整体合并去括号 【例10】解方程：x−1 3 [x−1 3 ( x+10)]=1 9 ( x+10)； 【变式10-1】解方程：x−1 2[x−1 3 (x−3)]=1 6 (x−3)+1． 技巧3 整体合并去分母 【例11】解方程：1 3 ( x−5)=3−2 3 ( x−5)． 【变式11-1】解方程：1 4 (x−2)−5=3−3 4 ( x−2)． 技巧4 由外向内去括号 【例12】解方程：解方程：1 3[ 1 4 ( 1 3 x−1)−6]+2=0． 技巧5 由内向外去括号 【例13】解方程：2[ 4 3 x−( 2 3 x−1 2 )]= 3 4 x． 【变式13-1】解方程：4[ 1 2 x−3 4 ( x−1)]=1 3 (5+x)． 题型04 错看或错解一元一次方程问题 【例14】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程x+1 2 −1= x−2 3 的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得3 (x+1)−1=2 (x−2)① 去括号，得3 x+3−1=2 x−2② 移项，得3 x−2 x=−2−3+1③ 合并同类项，得x=−4④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【变式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程x−x−3 3 =1的解答过程． 解：两边同乘以3，得3 x−x−3=3， 移项，合并同类项，得2 x=6， 两边同除以2，得x=3， 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【变式14-2】（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问 题． 解方程：2 x+1 3 −5 x−1 6 =1 解：去分母，得2 (2 x+1)−(5 x−1)=1 第一步 … … 去括号，得4 x+2−5 x+1=1 第二步 … … 移项，得4 x−5 x=1−1−2 第三步 … … 合并同类项，得−x=−2， 第四步 … … 方程两边同除以－1，得x=2． 第五步 … … (1)以上求解过程中，第三步的依据是_________． ．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 ．分式的基本性质 D．乘法分配律 (2)从第_________步开始出现错误； (3)该方程正确的解为____________ 【变式14-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：(−6)×( 2 3−■)−2 3．圆圆在做作业时，发现题中有一个 数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是1 2，请计算(−6)×( 2 3−1 2)−2 3． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【变式14-4】在做解方程练习时，有一个方程“y−1 5 =2y+■”，题中 处不清晰，李明问老师，老师只是 ■ 说：“ 是一个有理数，该方程的解与当 ■ x＝2 时整式5（x 1 ﹣）﹣2（x 2 ﹣）﹣4 的值相同．”依据老师的 提示，请你帮李明找到“ ”这个有理数，并求出方程的解． ■ 考点三 二元一次方程（组） 1 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意 一对数值就是它的解 2 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数 的值 3 二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时 含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数 4 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 题型01 二元一次方程（组）的概念 【例1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4 组数中，不是二元一次方程2 x+ y=4的解是（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【变式1-1】（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组¿的解为¿，则a−b=¿ ． 【变式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程7 x|m|+(m+1) y=6是关于x，y 的二元一次方程，则m 的值为 ． 题型02 解二元一次方程组 【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组¿ 【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：¿ 题型03 二元一次方程组特殊解法 类型一 引入参数法 解题技巧：当方程组中出现x/=y/b 的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y 的值，然后将x，y 的值 代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解 【例3】用代入法解方程组： ¿ 【变式3-1】用代入法解方程组： ¿ 类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 解题技巧：观察方程组1 和2 的系数特点，数值都比较大如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算 量大，而且容易出现计算错误根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代 入法或加减法求解，更为简便 【例4】解方程组：¿． 【变式4-1】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程：¿ 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1 或者-1 时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0 时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 解：①-② ，2 x+2 y=2即x+ y=1③ ×16 ③ ，得16 x−16 y=16④ - ②④ ，得x =−1． 把x =−1，代入 ，得 ③ −1+ y=1．解得y=2． 所以原方程组的解为：¿ (1)请仿照上面的方法解方程组：¿； (2)请猜想关于x，y 的方程组¿的解，并利用方程组的解加以验证 类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等 解题技巧：当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x+y=;当两式相减时，x 和y 的系数互为相 反数，化简即可得到-x+y=b 由此达到化简方程组的目的 【例5】解方程组：¿． 【变式5-1】感悟思想： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y 满足3 x−y=5 ， ① 2 x+3 y=7 ，求 ② x−4 y和7 x+5 y的值． 思考：本题常规思路是将 联立成方程组，解得 ①② x，y 的值再代入欲求值的代数式得到答，有的问题用常 规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体 求得代数式的值． 如①-②可得x−4 y=−2①+ ×2 ② 可得7 x+5 y=19． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组¿，则x−y=¿______，x+ y=¿______． (2)解方程组：¿ (3)某班级组织活动购买小奖品，买20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需32 元，买39 支铅笔5 块橡皮、3 本日记本共需58 元，则购买5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？ 类型四 换元法 【例6】解方程组：¿． 【变式6-1】阅读材料：善于思考的李同学在解方程组¿时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5= x，n+3= y，原方程组可化为¿ 解得：¿．∴¿， 原方程组的解为 ∴ ¿． (1)若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是__________． (2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组¿． 【变式6-2】数学方法： 解方程组：¿，若设2 x+ y=m，x−2 y=n，则原方程组可化为¿，解方程组得¿，所以¿，解方程组得¿， 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y 的二元一次方程组¿，的解为¿，那么关于m、的二元一次方程组¿的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组¿． (3)拓展应用：已知关于x，y 的二元一次方程组¿的解为¿， 求关于x，y 的方程组¿的解． 类型五 同解交换法 解题技巧：先将两个方程组中不含字母、b 的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合每 一个方程”得到关于、b 的二元一次方程组,进而确定、b 的值 【例7】（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同． （1）求a，b的值； （2）若一个三角形的一条边的长为2❑ √6，另外两条边的长是关于x的方程x 2+ax+b=0的解．试判断该三 角形的形状，并说明理由． 【变式7-1】若关于x，y 的二元一次方程组¿，和¿有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求代数式(2a+b) 2022的值． 类型六 主元法 解题技巧：本题不能