第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（练习）（解析版）

第08 讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 题型01 利用不等式的性质判断式子正负 题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负 题型03 利用不等式的性质比较大小 题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围 题型05 不等式性质的应用 题型06 求一元一次不等式解集 题型07 利用数轴表示一元一次不等式解集 题型08 一元一次不等式整数解问题 题型09 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 与一元一次不等式有关的新定义问题 题型11 含绝对值的一元一次不等式 题型12 解一元一次不等式组 题型13 求不等式组整数解 题型14 由不等式组整数解求字母的取值范围 题型15 由不等式组的解集求参数 题型16 由不等式组有关的新定义问题 题型17 根据程序图解不等式组 题型18 不等式组与方程的综合 题型19 利用一元一次不等式解决实际问题 题型20 利用一元一次不等式组解决实际问题 题型01 利用不等式的性质判断式子正负 1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）若−3a>1，两边都除以−3，得（ ） ．a←1 3 B．a>−1 3 ．a←3 D．a>−3 【答】 【分析】利用不等式的性质即可解决问题． 【详解】解：−3a>1， 两边都除以−3，得a←1 3， 故选：． 【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 2．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ） ．若a<b，则a x 2<b x 2 B．若a>b，则−4 a←4 b ．若a>b，则1−a<1−b D．若a>b，则a+x>b+x 【答】 【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答即可． 【详解】解：A、若a<b，则a x 2<b x 2，x=0时不成立，此选项错误，符合题意； B、若a>b，则−4 a←4 b，此选项正确，不符合题意； 、若a>b，则1−a<1−b，此选项正确，不符合题意； D、若a>b，则a+x>b+x，此选项正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不 变．性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 3．（2022·内蒙古包头·中考真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ） ．m−2<n−2 B．−1 2 m>−1 2 n ．n−m>0 D．1−2m<1−2n 【答】D 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都 乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变，可得答． 【详解】解：、∵m＞，∴m−2>n−2，故本选项不合题意； B、∵m＞，∴−1 2 m←1 2 n，故本选项不合题意； 、∵m＞，∴m−n>0，故本选项不合题意； D、∵m＞，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真 弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不 仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 题型02 根据点在数轴的位置判断式子正负 1．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点、B 对应的实数分别是、b，则下列式子中成立 的是（ ） ．1 2 ﹣＞1 2 ﹣b B．﹣＜﹣b ．+b＜0 D．|| | ﹣b|＞0 【答】 【分析】根据数轴得出＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答． 【详解】解：由题意得：＜b， ∴ 2 ﹣＞﹣2b， ∴1 2 ﹣＞1 2 ﹣b， ∴选项的结论成立； ∵＜b， ∴﹣＞﹣b， ∴B 选项的结论不成立； ∵ 2 ﹣＜＜﹣1，2＜b＜3， ∴1<|a|<2，2<|b|<3 ∴|a|<|b|， ∴+b＞0， ∴选项的结论不成立； ∵|a|<|b| ∴|a|−|b|<0， ∴D 选项的结论不成立． 故选：． 【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知 识． 2．（2022·北京东城·统考一模）实数，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） ．a>b B．−a<b ．¿a∨¿∨b∨¿ D．a+b<0 【答】D 【分析】由数轴可知，−2<a←1<0<b<1，可判断的正误；根据b<1←a<2，可判断B 的正误；根据 |b|<1<|a|<2，可判断的正误；根据a←1，a+b←1+b<0，可判断D 的正误． 【详解】解：由数轴可知，−2<a←1<0<b<1， ∴a<b，故错误，不符合题意； ∵b<1←a<2， ∴−a>b，故B 错误，不符合题意； ∵|b|<1<|a|<2， ∴|a|>|b|，故错误，不符合题意； ∵a←1，a+b←1+b<0， ∴a+b<0，故D 正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等 知识．解题的关键在于明确−2<a←1<0<b<1． 3．（2022·北京平谷·统考二模）实数，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） ．a←2 B．|a|<|b| ．−a←b D．ab>0 【答】D 【分析】先根据数轴的性质可得−2<a<b<0，再根据绝对值的性质、不等式的性质、有理数乘法法则逐 项判断即可得． 【详解】解：由数轴的性质得：−2<a<b<0． 、a>−2，此项错误，不符题意； B、|a|>|b|，此项错误，不符题意； 、−a>−b，此项错误，不符题意； D、ab>0，此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 题型03 利用不等式的性质比较大小 1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果m是一个不等于−1的负整数，那么m，1 m，−m，−1 m 这几个数从小 到大的排列顺序是（ ） ．m< 1 m ←m←1 m B．m< 1 m ←1 m ←m ．−m←1 m <m< 1 m D．−1 m ←m< 1 m <m 【答】B 【分析】先求出m 和1 m的差，根据m 的取值范围确定m 和1 m的大小关系和正负，再根据不等式的性质确 定−m和−1 m 的大小关系和正负，即可得出这四个数的大小关系． 【详解】解：m−1 m= (m+1) (m−1) m ． ∵m是一个不等于−1的负整数， ∴m<0，m+1<0，m−1<0，1 m <0． ∴ (m+1) (m−1) m <0． ∴m−1 m <0 ∴m< 1 m <0． ∴−m>−1 m >0． ∴m< 1 m ←1 m ←m． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 2．（2022·河北邯郸·校联考三模）如果a>b，那么一定有a m < b m，则m 的取值可以是（ ） ．－10 B．10 ．0 D．无法确定 【答】 【分析】根据不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行求解． 【详解】解：对a>b左右两边同时除以m，得a m < b m，不等号方向发生改变，所以m为负数． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1 a 1 b．（填“>”、 “=”或“<”） 【答】¿ 【分析】由图可得：1<a<b，再根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：由图可得：1<a<b， 由不等式的性质得：1 a > 1 b， 故答为：¿． 【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 4．（2019·安徽合肥·统考二模）观察下列不等式：①1 2 2 < 1 1×2；②1 3 2 < 1 2×3；③1 4 2 < 1 3×4 ···； 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第5个不等式：___________； （2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较n+2 (n+1) 2和1 n的大小． 【答】（1）1 6 2 < 1 5×6 ；（2） 1 (n+1) 2 < 1 n (n+1)；（3）n+2 (n+1) 2 < 1 n． 【分析】(1)根据给出的不等式写出第5 个不等式； (2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答； (3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小． 【详解】(1)①1 2 2 < 1 1×2， ②1 3 2 < 1 2×3， ③1 4 2 < 1 3×4 ， ⋯， 则第5 个不等式为：1 6 2 < 1 5×6 ， 故答为：1 6 2 < 1 5×6 ； (2)第个不等式为： 1 (n+1) 2 < 1 n (n+1)， 故答为： 1 (n+1) 2 < 1 n (n+1)； (3) n+2 (n+1) 2 < 1 n， 其理由是： 由(2)得： 1 (n+1) 2 < 1 n (n+1)，即 1 (n+1) 2 < 1 n−1 n+1， ∴ 1 (n+1) 2 + 1 n+1 < 1 n， ∴ 1 (n+1) 2 + n+1 (n+1) 2 < 1 n， 则n+2 (n+1) 2 < 1 n． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，不等式的性质，分式的化简计算，根据给出的不等式正确找出变化 规律是解题的关键． 5．（2023·浙江舟山·统考三模）观察：1 2 < 1+1 2+1，1 3 < 1+1 3+1，3 4 < 3+1 4+1，4 7 < 4+1 7+1． (1)猜想：当0<b<a时，b a______b+1 a+1，b a______y=1，b a______b+3 a+3（“>”“＝”“<”填空） (2)探究：当0<b<a时，b a与b+n a+n（其中为正整数）的大小关系，并说明理由． 【答】(1)¿，¿，¿ (2)b a < b+n a+n，理由见解析 【分析】（1）观察已知条件中的式子规律，即可猜想得出结论； （2）根据不等式的性质，对0<b<a进行变形，即可得出b a与b+n a+n（其中为正整数）的大小关系． 【详解】（1）∵1 2 < 1+1 2+1，1 3 < 1+1 3+1，3 4 < 3+1 4+1，4 7 < 4+1 7+1， ∴猜想：当0<b<a时，b a < b+1 a+1，b a < b+2 a+2，b a < b+3 a+3 ． 故答是¿，¿，¿； （2）b a < b+n a+n，理由如下： ∵0<b<a，为正整数， ∴bn<an． ∴ab+bn<ab+an． ∴b (a+n)<a (b+n)． ∴b a < b+n a+n． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌不等式的性质，利用性质对式子进行变形是解题的关键． 6．已知(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)，其中，b，是常数，且c≠1 （1）当b=−2, c=3时，求的范围 （2）当a←2时，比较b 和的大小 （3）若当a>−1时，b⩽c−1成立，则b c−1的值是多少？ 【答】（1）a≤−1；（2）b<c；（3）b c−1=1 【分析】（1）将b=−2, c=3代入不等式，即可解出的范围； （2）当a←2时，可知a+1<0，根据不等式的性质可得出b 和的大小关系； （3）当a>−1时，可知a+1>0，根据不等式的性质可得b+2⩾c+1，即b⩾c−1，结合 b⩽c−1可知b=c−1，即可求出b c−1的值 【详解】解：（1）将b=−2, c=3代入不等式得 0≥(a+1)(3+1)，解得a≤−1 （2）当a←2时，a+1<0 不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得 b+2≤c+1 ∴b≤c−1 ∴b<c （3）当a>−1时，a+1>0 不等式(a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1)两边同除以(a+1)得 b+2≥c+1 ∴b≥c−1 又∵b≤c−1 ∴b=c−1 ∴b c−1=1 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键 题型04 利用不等式的性质确定参数的取值范围 1 若am<an，且m>n，则的值可以是（ ） ．1 7 B．−7 ．07 D．❑ √7 【答】B 【分析】根据不等式的性质3 得出＜0，再得出选项即可． 【详解】解：由m＜得出m＞是不等式的两边都除以，并且不等号的方向改变了， 所以＜0， ∴只有选项B 中的-7＜0，选项、选项、选项D 中的数都大于0， 即选项B 符合题意，选项、选项、选项D 都不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的 两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变． 2．（2021·山东聊城·统考中考真题）若﹣3＜≤3，则关于x 的方程x＋＝2 解的取值范围为（ ） ．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 ．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5 【答】 【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜≤3 的范围，即可求解． 【详解】解：由x＋＝2，得：x＝2-， ∵ 3 ﹣＜≤3， ∴ 1≤2- ﹣ ＜5，即：﹣1≤x＜5， 故选． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含的代数式表示x，是解题的关键． 3．（2022·江苏宿迁·统考三模）若不等式mx>3m，两边同除以m，得x>3，则m 的取值范围为 ． 【答】m>0 【分析】由不等式的基本性质知m>0 ，据此可得答． 【详解】解：若不等式mx>3m ，两边同除以m ，得x>3 ， 则m>0 ． 故答为：m>0 ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 题型05 不等式性质的应用 1．（2021·山东菏泽·统考三模）已知三个实数，b，满足a−2b+c=0，a+2b+c<0，下列结论正确的是 （ ） ．b<0，b−¿ ❑ 2 ac≥0¿ B．b<0，b−¿ ❑ 2 ac≤0¿ ．b>0，b−¿ ❑ 2 ac≥0¿ D．b>0，b−¿ ❑ 2 ac≤0¿ 【答】 【分析】先把a−2b+c=0变形为2b=a+c，然后整体代入a+2b+c<0即可求出b<0，把b=a+c 2 代入 b 2−ac进行化简成1 4 (a−c) 2，即可判断b 2−ac ≥0 【详解】解：∵a−2b+c=0， ∴2b=a+c， 又a+2b+c<0， ∴4 b<0， ∴b<0， ∵2b=a+c， ∴b=a+c 2 ， ∴b 2−ac=( a+c 2 ) 2 −ac=a 2 4 + ac 2 + c 2 4 −ac=a 2 4 −ac 2 + c 2 4 = 1 4 (a−c) 2≥0 故选： 【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把b=a+c 2 代入a+2b+c<0化简是解题的关 键 2．（2022·北京西城·统考一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的 面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S=ab k 来估算叶面的面积，其中，b 分 别是稻叶的长和宽（如图1），k 是常数，则由图1 可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采 集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的4 7 处 “收尖”．根据图2 进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k 的值约为 （结果保留小数点后两 位）． 【答】 > 127 【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=ab k <ab，可求k>1；根据S叶子= 1 2 b·3t +b·4t = 11 2 bt和 S=ab k = 7t ·b k = 7bt k ，列出方程，求出k 即可． 【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S<b ∴S=ab k <ab ∴k>1， ∵S叶子= 1 2 b·3t +b·4t = 11 2 bt S=ab k = 7t ·b k = 7bt k ∴11 2 bt = 7bt k ∴k = 7bt 11 2 bt =14 11 ≈1.27 故答为：>，127． 【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解 题的关键． 3．（2022 上·浙江温州·八年级统考期中）若a>b，且(6−x )a<(6−x )b，则x的取值范围是 ． 【答】x>6 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵a>b，且(6−x )a<(6−x )b， ∴6−x<0， 解得x>6． 故答为：x>6． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． 4．（2023 下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）已知实数，b 满足a 2+b 2=3+ab，则 (2a−3b) 2+(a+2b) (a−2b)的最大值为 ． 【答】22 【分析】将(2a−3b) 2+(a+2b) (a−2b)化简可得5a 2+5b 2−12ab，将a 2+b 2=3+ab代入化简结果可得原 式¿15+3ab，将a 2+b 2=3+ab两边加上2ab，得到(a+b) 2=3+3ab，根据平方的非负性解出ab的取值范 围，即可解答． 【详解】解：(2a−3b) 2+(a+2b) (a−2b) ¿4 a 2−12ab+9b 2+a 2−4 b 2 ¿5a 2−12ab+5b 2 将a 2+b 2=3+ab代入得：原式¿5 (a 2+b 2)−12ab=15−7 ab， 将a