第05讲 一次方程（组）及其应用（练习）（解析版）

第05 讲 一次方程（组）及其应用 目 录 题型01 利用等式的变形判断式子正误 题型02 利用等式的性质求解 题型03 判断一元一次方程 题型04 解一元一次方程 题型05 错看或错解一元一次方程 题型06 二元一次方程（组）的概念 题型07 解二元一次方程组 题型08 错看或错解二元一次方程组问题 题型09 构造二元一次方程组求解 题型10 利用一元一次方程解决实际问题 题型11 利用二元一次方程解决实际问题 题型01 利用等式的变形判断式子正误 1．（2023·浙江衢州·三模）已知a=b，下列等式不一定成立的是（ ） ．5a=5b B．a+4=b+4 ．b−2=a−2 D．3a c =3b c 【答】D 【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】 ∵a=b，∴5a=5b，故该选项正确，不符合题意； B ∵a=b，∴a+4=b+4，故该选项正确，不符合题意； ∵a=b，∴ b−2=a−2，故该选项正确，不符合题意； D ∵a=b，且c≠0，∴3a c =3b c ，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个 数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0 的数(或式子)，结果 仍相等． 2．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ） ．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y ．若x= y，则x c = y c D．若x 2c = y 3c ，则2 x=3 y 【答】B 【分析】根据等式的性质，即可一一判定． 【详解】解：若x= y，则x+c= y+c，故该选项错误，不符合题意； B 若x= y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意； 若x= y且c≠0，则x c = y c ，故该选项错误，不符合题意； D 若x 2c = y 3c ，则3 x=2 y，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键． 3．（2023·浙江杭州·统考二模）设，b，m 均为实数，（ ） ．若a>b，则a+m>b−m B．若a=b，则ma=mb ．若a+m>b−m，则a>b D．若ma=mb，则a=b 【答】B 【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：、若a>b，则a+m不一定大于b−m，故错误； B、若a=b，则ma=mb，故正确； 、若a+m>b−m，则a不一定大于b，故错误； D、若ma=mb，m≠0，则a=b；若ma=mb，m=0，则a≠b或a=b，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等 式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 题型02 利用等式的性质求解 1．（2023·河北保定·校考一模）已知a−b=a+3−1 4 ，则下列表示b 的式子是（ ） ．1 4 −3 B．3−1 4 ．3+ 1 4 D．−1 4 −3 【答】 【分析】运用等式的基本性质解题即可． 【详解】解：∵a−b=a+3−1 4 ∴两边同时减去得：−b=+3−1 4 ∴两边同时乘以−1得：b=−3+ 1 4 故选． 【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 2．（2023·广东江门·统考三模）若−2a=1，则a的值是（ ） ．−1 2 B．1 2 ．2 D．−2 【答】 【分析】根据等式的性质解方程即可求解． 【详解】解：−2a=1 系数化为1，两边同时除以−2得，a=−1 2 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键． 3．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考三模）已知≠b，且＋1 b＝b＋1 a则下列结论正确的是（ ） ．＋b＝0 B．b＝1 ．若＋b＝0，则－b＝2 D．若－b＝2，则＋b＝0 【答】D 【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可 【详解】∵＋1 b＝b＋1 a， ∴－b＋1 b－1 a＝0， ∴(a−b)+ a−b ab =0， ∴(a−b)(1+ 1 ab)=0， ∵a≠b， ∴a−b≠0， ∴1+ 1 ab=0，即ab=−1， ∴选项、B 错误； 当＋b＝0 时，与ab=−1联立，解得¿ 或¿， 可得－b＝－2 或－b＝2， 故选项错误； 当－b＝2 时，与ab=−1联立，解得¿， 可得＋b＝0， 故选项D 正确； 故选D 【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可． 题型03 判断一元一次方程 1．（2022·江苏盐城·校联考三模）在下列方程中：①x+2y=3，②1 x −3 x=9，③y−2 3 = y+ 1 3，④1 2 x=0， 是一元一次方程的有 （只填序号）． 【答】③④ 【详解】试题分析：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式． 根据定义可知：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元 一次方程． 2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的方程m x 2m﹣1+（m﹣1）x -2＝0如果是一元一次 方程，则其解为 ． 【答】x＝2或x=−2或x=-3． 【分析】利用一元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：∵关于x的方程mx 2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程， （1）当2m﹣1＝1，即m＝1， 即x﹣2＝0 解得：x＝2， （2）当m=0 时，−x−2＝0， 解得：x=−2 （3）当2m-1=0，即m=1 2时， 方程为1 2−1 2 x−2=0 解得：x=-3， 故答为x=2 或x=-2 或x=-3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 题型04 解一元一次方程 1．（2023·浙江·统考一模）解方程：3 x−2 3 −1=5−4 x 6 【答】x=1.5 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1 的步骤，进行解答即可． 【详解】解：去分母，得：6 x−4−6=5−4 x， 移项，得：6 x+4 x=5+4+6， 合并同类项，得：10 x=15， 系数化为1，得：x=1.5． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤． 2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程x+2 3 + 2 x−1 4 =1，以下去分母正确的是（ ） ．4 (x+2)+3 (2 x−1)=12 B．4 (x+2)+3 (2 x−1)=1 ．x+2+2 x−1=12 D．3 (x+2)+4 (2 x−1)=12 【答】 【分析】各项同时乘以12运算即可． 【详解】解：x+2 3 + 2 x−1 4 =1， 去分母得，4 (x+2)+3 (2 x−1)=12， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母．解题的关键在于正确的运算． 3．（2023 常州市二模）对任意四个有理数，b，，d 定义新运算：¿c a ¿ d b =ad−bc，已知¿x 2 x ¿ 1 −4 =18，则 x=¿（ ） ．﹣1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】根据新运算公式，得：2 x+4 x=18，解得x =3． 【详解】解：∵ ¿c a ¿ d b =ad−bc， ∴2 x+4 x=18， 解得x =3， 故选：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错 点是数式与字母不能准确对应． 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解一元一次方程：1−4−3 x 4 =5 x+3 6 −x 【答】x= 6 11 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解：1−4−3 x 4 =5 x+3 6 −x 去分母，12−3 (4−3 x )=2 (5 x+3)−12 x 去括号，12−12+9 x=10 x+6−12 x 移项，9 x−10 x+12 x=6−12+12 合并同类项，11x=6 化系数为1，x= 6 11 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 题型05 错看或错解一元一次方程 1．（2022·河北邯郸·统考三模）嘉淇在解关于x 的一元一次方程3 x−1 2 +¿ ＝3 时，发现正整数 被污染了； (1)嘉淇猜 是2，请解一元一次方程3 x−1 2 +2=3； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答】(1)x=1 (2)2 【分析】（1）由题意得方程3 x−1 2 +2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，得方程3 x−1 2 +m=3，求解得x=7−2m 3 ，再根据解是正整数求解即可． 【详解】（1）解：3 x−1 2 +2=3， 去分母，得3 x−1+4=6； 移项，合并同类项，得3 x=3； 系数化为1，得x=1． （2）解：设被污染的正整数为m， 则有3 x−1 2 +m=3， 解之得，x=7−2m 3 ， ∵7−2m 3 是正整数，且m 为正整数， ∴m=2． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 2．（2022·山西太原·一模）（1）下面是小明同学解方程x+3 2 −5 x−3 6 =1的过程，请认真阅读，并完成 相应的任务． 解：去分母，得3( x+3)−(5 x−3)=1． 第一步 去括号，得3 x+9−5 x+3=1． 第二步 移项，得3 x−5 x=−9−3+1． 第三步 合并同类项．得−2 x=−11． 第四步 系数化为1，得x= 2 11． 第五步 任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________； ②第三步变形的依据是__________． 任务二：①该一元一次方程的解是_______； ②写出一条解一元一次方程时应注意的事项． 【答】 任务一：①一，等式右边的1 漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任 务二：①x=3； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号 【详解】 任务一：①一；等式右边的1 漏乘以6（或去分母时漏乘了6）， ②移项法则（或等式的基本性质一）， 任务二：①x+3 2 −5 x−3 6 =1， 去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6， 去括号，得3x+9-5x+3=6， 移项，得3x-5x=6-9-3， 合并同类项，得-2x=-6， 系数化为，得x=3， 故答为：x=3； ②答不唯一如： Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）． Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）． Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题 的关键． 3．（2022·河北保定·统考一模）已知整式(a 2−2ab)−(■ab−4 b 2)，其中“■”处的系数被墨水污染了． 当a=−2，b=1时，该整式的值为16． (1)则■所表示的数字是多少？ (2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由． 【答】(1)■所表示的数字是2； (2)小红的说法是正确的，理由见解析 【分析】（1）直接把a=−2，b=1代入代数式其值等于16，解关于■方程即可； （2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解． 【详解】（1）（1）将a=−2，b=1代入(a 2−2ab)−(■ab−4 b 2)， 可得4+4−(■×(−2)−4)=16，解得■=2； （2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为， (a 2−2ab)−(2ab−4 b 2)=a 2−4 ab+4 b 2=(a−2b) 2≥0， 故小红的说法是正确的． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键． 题型06 二元一次方程（组）的概念 1．下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ） ①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ⑤¿ ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程 组可得． 【详解】解：①¿符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②¿方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； ③¿方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； ④¿方程组含有1 x ，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； ⑤¿符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 综上，①⑤是二元一次方程组，共2 个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程 都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 2．（2023·贵州六盘水·统考二模）下面4 组数值中，哪组是二元一次方程x+2 y=5的解（ ） ．¿ B．¿ ．¿ D．¿ 【答】B 【分析】二元一次方程x+2 y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答，分别代入方程组，使方程 左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：．把¿代入方程，左边¿1+2≠右边，所以不是方程的解； B．把¿代入方程，左边¿右边¿5，所以是方程的解； ．把¿代入方程，左边¿6≠右边，所以不是方程的解； D．把¿代入方程，左边¿−5≠右边，所以不是方程的解． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入 原方程验证二元一次方程的解是本题的关键． 3．（2023·河北张家口·统考一模）¿不是下列哪个方程的解（ ） ．x+ y=0 B．x−y=−2 ．2 x−y=−1 D．x+2 y=1 【答】 【分析】将¿代入各个方程，即可判断． 【详解】经代入计算，可知¿能使方程x+ y=0、x−y=−2、x+2 y=1成立， ¿不能使2 x−y=−3成立， ∴¿不是2 x−y=−1的解． 故选：． 【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键． 4．（2022·浙江绍兴·校联考二模）已知¿是方程4x﹣y＝7 的一个解，那么的值是 ． 【答】1 【分析】先将¿代入方程4x﹣y＝7，得到4×1−a×(−3)=7，求解即可． 【详解】∵ ¿是方程4x﹣y＝7 的一个解， ∴4×1−a×(−3)=7， 解得a=1， 故答为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型07 解二元一次方程组 1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）二元一次方程组¿的解是 ． 【答】{ x=1 y=2/{ y=2 x=1 【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可． 【详解】解：¿ 把②代入①得：5 x=5，解得：x=1， 把x=1代入②得：y=2； ∴原方程组的解为¿； 故答为¿． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．（2022·江苏无锡·统考二模）已知方程组¿，则x+ y的值为 ． 【答】9 【分析】解方程组，求得x、y 的值，进而求得答． 【详解】解：由方程组¿，解得¿ ∴x+ y=9 故答为：9． 【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·校考二模）解方程组：¿ 【答】¿ 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：¿， ②×2−①得：5 x=12， 解得：x=12 5 ， 把x=12 5 代入②得：48 5 −y=8， 解得：y=8 5 ， 则方程组的解为¿． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型08 错看或错解二元一次方程组问题 1．（2023·广东惠州·统考二模）小丽和小明同时解一道关于x 、y的方程组¿，其中a、b为常数．在解方 程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿；小明看错常数“b”，解得¿． (1)求a、b的值； (2)求出原方程组正确的解． 【答】(1)a=1，b=−2 (2)¿ 【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿，即−1−3b=5是正确的， 解得b=−2；小明看错常数“b”，解得¿，即2a+1=3正确，解得a=1； （2）由（1）知关于x 、y的方程组¿可化为¿，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答． 【详解】（1）解：∵在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿， ∴ −1−3b=5，解得b=−2； ∵在解方程组的过程中，小明看错常数“b”，解得¿， ∴ 2a+1=3，解得a=1； ∴ a=1；b=−2； （2）解：由（1）知¿， 由①−¿②得−y=−2，解得y=2， 将y=2代入①得x=1， ∴原方程组的解为¿． 【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问 题的关键． 2．（2021·广东汕头·统考一模）甲、乙两人同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为¿ 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿ （1）求，b 的值； （2）若关于x 的一元二次方程a x 2−bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7 x1−2 x2=7，求实数m 的值． 【答】（1）¿；（2）m=−5 【分析】（1）将¿代入方程②求出b 的值，将¿代入方程①求得的值，即可得出答， （2）再将，b 的值代入a x 2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m 的值． 【详解】解：（1）根据题意得¿解得¿ （2）当¿时，一元二次方程a x 2−bx+m=0化为7 x 2+2 x+m=0， 由根与系数关系得x1+x2=−2 7 ，x1× x2=m 7 联成方程组得¿，解得¿ ∴m=−5 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以