第08讲 一元一次不等式（组）及其应用（讲义）（解析版）

第08 讲 一元一次不等式（组）及其应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 不等式及不等式的基本性质 题型01 不等式的概念及意义 题型02 列不等式 题型03 取值是否满足不等式 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 题型06 利用不等式的性质比较大小 题型07 利用不等式的性质证明（不）等式 题型08 利用不等式的性质确定参数的取值范围 题型09 不等式性质的应用 考点二 一元一次不等式 题型01 判断一元一次不等式 题型02 根据一元一次不等式求参数值 题型03 求一元一次不等式解集 题型04 利用数轴表示一元一次不等式解集 题型05 一元一次不等式整数解问题 题型06 根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围 题型07 与一元一次不等式有关的新定义问题 题型08 含绝对值的一元一次不等式 题型09 不等式与方程组综合求参数的取值范围 考点三 一元一次不等式组 题型01 一元一次不等式组定义 题型02 解不等式组 题型03 求不等式组整数解 题型04 由不等式组整数解求字母取值范围 题型05 由不等式组的解集求参数 题型06 与不等式组有关的新定义问题 题型07 根据程序图解不等式组 题型08 不等式组与方程的综合 考点四 不等式（组）的实际应用 题型01 利用一元一次不等式解决实际问题 题型02 利用一元一次不等式组解决实际问题 考点要求 新课标要求 命题预测 不等式及不等式的 基本性质  结合具体问题，了解不等式的意义，探 索不等式的基本性质 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察 其中不等式性 质、解一元一次不等式(组)，通常是以 选择题或填空题的形式出现，难度不大 而不等式（组）相关的应用题常会和其 它考点(如二元一次方程组、二次函数 等) 结合考察，常以解答题形式出现， 此时难度上升，需要小心应对对于一元 一次不等式（组）中含参数问题，难度 偏大，但是考察几率并不大，为避免丢 分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式  能解数字系数的一元一次不等式，并能 在数轴上表示出解集 一元一次不等式组  会用数轴确定两个一元一次不等式组成 的不等式组的解集 不等式（组）的实 际应用  能根据具体问题中的数量关系，列出一 元一次不等式，解决简单的问题 考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式 二、不等式的性质 基本性质1 若>b，则± > b± 若<b，则± < b± 基本性质2 若>b,>0，则>b（或a c > b c ） 基本性质3 若>b,<0，则<b（或a c < b c ） 1 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系 2 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种 3 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点 4 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解 5 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0 不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2 和性质3 的区别,在乘(或除以)同一个 数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向 题型01 不等式的概念及意义 【例1】以下表达式：①4 x+3 y ≤0；②a>3；③x 2+xy；④a 2+b 2=c 2；⑤x≠5．其中不等式有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【提示】根据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：a+b、a>3、x≠5是不等式，x 2+xy和a 2+b 2=c 2不是不等式， 即不等式有3 个，故B 正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【变式1-1】（2023 湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100 克内含钙＞150 毫克”，它 的含义是指（ ） ．每100 克内含钙150 毫克 B．每100 克内含钙不低于150 毫克 ．每100 克内含钙高于150 毫克 D．每100 克内含钙不超过150 毫克 【答】 【提示】“¿”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思． 【详解】解：根据¿的含义，“每100 克内含钙＞150 毫克”，就是“每100 克内含钙高于150 毫克”， 故选：． 【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容． 题型02 列不等式 【例2】（2020·河北·统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（ ） ．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5 ．“n与4 的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4 【答】 【提示】根据题意列出不等式即可判断． 【详解】、∵m 不是负数， m≥0 ∴ ，选项错误； B、∵m 不大于5， m≤5 ∴ ，B 选项错误； 、 与 ∵ 4 的差是正数， −4 ∴ ＞0，选项正确； D、 不等于 ∵ 4， ∴＜4 或＞4，D 选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四个选项的正误是解题的关键． 【变式2-1】（2023·甘肃陇南·统考二模）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500 米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（ ） ．x<3500 B．x ≤3500 ．x ≥3500 D．x>3500 【答】D 【提示】根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解： 乌鞘岭主主峰海拔超过 ∵ 3500米． ∴x>3500， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键． 【变式2-2】（2023 南宁市模拟）是非负数的表达式是（ ） ．a＞0 B．|a|≥0 ．a＜0 D．a≥0 【答】D 【提示】非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可． 【详解】 是非负数， ∵ ∴a≥0， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握定义是解题的关键，易错点是忽略零而导致错误． 题型03 取值是否满足不等式 【例3】（2023·河北保定·统考二模）在−❑ √2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x <−2的有（ ） ．－2 B．－3 ．−❑ √2 D．1 【答】B 【提示】根据各数的大小即可做出判断． 【详解】在−❑ √2,−2,1,−3四个数中，−❑ √2>−2,−2=−2,1>−2,−3←2， 故满足不等式x <−2的有−3， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． 【变式3-1】（2021·四川南充·统考中考真题）满足x⩽3的最大整数x是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【提示】逐项提示，求出满足题意的最大整数即可． 【详解】选项，1<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意， B 选项，2<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意， 选项，3=3，满足x⩽3的最大整数，故该选项符合题意， D 选项，4>3，不满足x⩽3，故该选项不符合题意， 故选：． 【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解． 【变式3-2】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当x=4时，不等式成立的是（ ） ．x+1<4 B．1 2 x>2 ．2 x+1<5 D．3 x−2>9 【答】D 【提示】将x=4分别代入四个选项中，看不等式是否成立即可． 【详解】选项：当x=4时，x+1=5>4，不符合题意； B 选项：当x=4时，1 2 x=2，不符合题意； 选项：当x=4时，2 x+1=9>5，不符合题意； D 选项：当x=4时，3 x−2=10>9，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 题型04 利用不等式的性质判断式子正负 【例4】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果 x←3，那么下列不 等式成立的是（ ） ． x 2>−3 x B． x 2≥−3 x ． x 2←3 x D． x 2≤−3 x 【答】 【提示】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：因为x←3， 所以x 2>−3 x（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）． 故选：． 【点睛】本题考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个式子， 不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等 式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式4-1】（2023·湖南常德·统考模拟预测）已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ） 要判断某个未知数的值是不是不等式的解可直接将该值代入不等式的左、右两边,看不等式是否成 立,若成立,则是,否则不是 ．a−2>b−2 B．−2a>−2b ．a+2>b+2 D．a 2 > b 2 【答】B 【提示】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行提示即可． 【详解】解：、a>b，不等式的性质1，a−2>b−2，故正确，不符合题意； B、a>b，不等式的性质3，−2a←2b，故B 错误，符合题意； 、a>b，不等式的性质1，a+2>b+2，故正确，不符合题意； D、a>b，不等式的性质2，a 2 > b 2，故D 正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不 等号的方向改变． 【变式4-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a,b,c ,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是 （ ） ．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d ．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d 【答】 【提示】根据不等式的性质，逐项提示判断即可求解． 【详解】解： 若b=d，a−b>c−d，则a>c，故该选项正确，符合题意； B 若a=c，a−b>c−d，则b<d，故该选项不正确，不符合题意； 若b>d，则a>c不一定成立，例如a=2,c=1,2>1;b=2,d=1,b>d，则a−b=c−d，故该选项不正 确，不符合题意； D 同选项，可得，若a>c，则b>d不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不 等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的 基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不 等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）设x，y，c为实数，则（ ） ．若x＞y，则x+3c> y−2c B．若x＞y，则xc> yc ．若x＞y，则x c 2> y c 2 D．若x c 2 > y c 2，则x＞y 【答】D 【提示】根据不等式的性质进行运算辨别即可． 【详解】解：若x＞y，x+5c> y不一定成立，即x+3c> y−2c不一定成立， 故选项不符合题意； 若x＞y，c=0时，xc= yc， 故选项B 不符合题意； 若x＞y，c=0时，则 x c 2= y c 2， 故选项不符合题意； 若x c 2 > y c 2，则c 2>0，故x＞y， 故选项D 符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质． 题型05 根据点在数轴位置判断式子正负 【例5】（2023·黑龙江大庆·统考一模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确 的是（ ） ．−a−c>−b−c B．ac>bc ．|a−b|=a−b D．a←b←c 【答】 【提示】借助数轴上实数的位置关系结合相反数和绝对值的知识点，判断大小，逐一验证． 【详解】解：．由图知：a>b，那么−a←b，−a−c←b−c，故选项错误，不符合题意； B．由图知：a>b，c<0，那么ac<cb，故选项错误，不符合题意； ．由图知：a>b，那么a−b>0，|a−b|=a−b，故选项正确，符合题意； D．由图知：|a|>|b|，|a|>|c|，a>0，c<b<0，那么a>−c>−b,，故选项错误，不符合题意． 故选:． 【点睛】本题考查了数轴，实数，绝对值，相反数的大小比较，注意符号的变化对数值的影响． 【变式5-1】（2023·上海徐汇·统考二模）如图，数轴上的点和点B 分别在原点的左侧和右侧，点、B 对 应的实数分别是、b，下列结论一定成立的是（ ） ．a+b<0 B．b−a<0 ．−2a>−2b D．|a|>|b| 【答】 【提示】由数轴可得a<0<b，|a|<|b|，再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含义 逐一提示即可． 【详解】解：∵a<0<b，|a|<|b|，故D 不符合题意； ∴a+b>0，b−a>0，故，B 不符合题意； ∵a<b， ∴−2a>−2b，故符合题意； 故选． 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不 等式的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 【变式5-2】（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点和点B 分别在原点的左侧和右侧，点、 B 对应的实数分别是、b，下列结论一定成立的是（ ） ．a+b<0 B．b−a<0 ．2a>2b D．a+2<b+2 【答】D 【提示】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进 行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：＜0＜b，且|a|＜|b|， ∴a+b>0， 选项的结论不成立； ∴ b−a>0，∴B 选项的结论不成立； 2a<2b， 选项的结论不成立； ∴ a+2<b+2，∴D 选项的结论成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出，b 的取 值范围是解题的关键． 【变式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有、、B、四点位置与 各点所表示的数，若数轴上有一点D，D 点所表示的数为d，|d−5|=|d−c|，则D 点的位置（ ） ．在的左边 B．在、之间 ．在、之间 D．在、B 之间 【答】D 【提示】结合绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：由题意，点B表示的数为5，点C表示的数为c， ∵D 点所表示的数为d，且|d−5|=|d−c|， ∴根据绝对值的几何意义得：D 点到B 点的距离等于D 点到点的距离， ∴D 点为BC的中点，则D 点表示的数d=c+5 2 ， 由题意，−5<c<0，则0< c+5 2 < 5 2， ∴0<d< 5 2，即D 点的位置在、B 之间， 故选：D． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及不等式的性质等，理解并熟练运用绝对值的几何意义是解题 关键． 【变式5-4】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m，在数轴上对应的点如图所示， 下列各式正确的是（ ） ．x<x−n<x−m B．x−n<x<x−m ．x−m<x−n<x D．x<x−m<x−n 【答】 【提示】数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，运用不等式的基本性质求解． 【详解】如图，m<n<0 ∴0←n←m ∴x<x−n<x−m 故选． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小、不等式的基本性质；注意不等式两边同乘一个负数，不等 号反向． 题型06 利用不等式的性质比较大小 【例6】（2022·浙江丽水·统考一模）数m，m+1，−m−2 (m>0)的大小顺序是（ ） ．−m−2<m<m+1 B．−m−2<m+1<m ．m<m+1←m−2 D．m←m−2<m+1 【答】 【提示】根据m＞0，判断出其余各数的大小关系． 【详解】∵m＞0 ∴−m＜0 ∴−m−2＜−2 ∵m+1＞m ∴m+1＞m＞−m−2 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过m＞0，判断出各个数的范围大小． 【变式6-1】（2022·浙江杭州·统考一模）已知M=x 2−2 x+4，N=x 2−4 x+4，请比较M 和的大小． 以下是小明的解答： ∵M=(x−1) 2+3≥3，N=(x−2) 2≥0， ∴M ≥N． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答． 【答】有错；x>0时，M >N；x=0时，M=N；x<0时，M <N； 【提示】先求出M 与的差，根据不等式的性质对M 与的差进行分类讨论即可求解． 【详解】解：有错，正确解答如下． ∵M=x 2−2 x+4，N=x 2−4 x+4， ∴M−N=x 2−2 x+4−(x 2−4 x+4)=2 x． ∴当x>0 时，2x>0，即M−N >0，此时M>；当x=0 时，2x=0，即M−N=0，此时M=；当x<0 时， 2x<0，即M−N <0，此时M<． ∴x>0时，M >N；x=0时，M=N；x<0时，M <N． 【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键． 40．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）阅读： （1）若＜b，则2 3 ﹣＜2b 3 ﹣，简述理由： 小明的解法： ＜ ∵ b， 2 ∴＜2b，（不等式性质2： ）， 2 3 ∴﹣＜2b 3 ﹣，（不等式性质1）． 小亮的解法：令y＝2x