2025年六升七数学衔接期因式分解十字相乘法进阶试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期因式分解十字相乘法进阶试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 将二次三项式\( x^2 + 5x + 6 \) 分解因式，正确的结果是( ) A. \( (x+2)(x+3) \) B. \( (x+1)(x+6) \) C. \( (x-2)(x-3) \) D. \( (x-1)(x-6) \) 2. 二次三项式\( 2x^2 + 7x + 3 \) 分解因式的结果是( ) A. \( (2x+1)(x+3) \) B. \( (2x+3)(x+1) \) C. \( (x+1)(2x+3) \) D. \( (x+3)(2x+1) \) 3. 分解因式\( 3x^2 - 6x - 9 \) 的第一步应该是( ) A. 直接使用十字相乘法 B. 先提取公因数3：\( 3(x^2 - 2x - 3) \) C. 先提取公因数-3：\( -3(-x^2 + 2x + 3) \) D. 无法分解 4. 将\( x^2 - 2x - 15 \) 分解因式，得到的两个因式是( ) A. \( (x-3) \) 和\( (x-5) \) B. \( (x+3) \) 和\( (x-5) \) C. \ ( (x-3) \) 和\( (x+5) \) D. \( (x+3) \) 和\( (x+5) \) 5. 对于二次三项式\( 5x^2 + 11x + 2 \)，十字相乘时，常数项2 可以拆分成哪两个数的乘积，使得它们的和等于一次项系数11 ？( ) A. 1 和2 B. -1 和-2 C. 10 和0.2 D. 5 和0.4 6. 分解因式\( 4x^2 - 4x - 3 \) 的结果是( ) A. \( (4x+1)(x-3) \) B. \( (2x-1)(2x+3) \) C. \( (2x+1)(2x-3) \) D. \( (4x-1)(x+3) \) 7. 将\( 6x^2 - 7x - 3 \) 分解因式，正确的结果是( ) A. \( (3x+1)(2x-3) \) B. \( (6x+1)(x-3) \) C. \( (3x-1)(2x+3) \) D. \( (6x-1)(x+3) \) 8. 分解因式\( x^2 + xy - 6y^2 \) 的结果是( ) A. \( (x+2y)(x-3y) \) B. \( (x-2y)(x+3y) \) C. \( (x+6y)(x-y) \) D. \( (x-6y)(x+y) \) 9. 多项式\( 3x^2 + 10x + 8 \) 分解因式后，其中一个因式是( ) A. \( x+2 \) B. \( x+4 \) C. \( 3x+2 \) D. \( 3x+4 \) 10. 若二次三项式\( ax^2 + bx + c \) 能用十字相乘法分解为\ ( (px + q)(rx + s) \) ，则必须满足( ) A. \( a = pr \) B. \( c = qs \) C. \( b = ps + qr \) D. 以上都 必须满足 二、多项选择题（每题2 分，共10 题。全选对得2 分，漏选得1 分， 错选不得分） 11. 下列二次三项式中，可以直接使用十字相乘法分解因式的有( ) A. \( x^2 + 3x - 4 \) B. \( 2x^2 - 5x + 3 \) C. \( 4x^2 + 4x + 1 \) D. \( x^2 + x + 1 \) E. \( 3x^2 - x \) 12. 对于多项式\( 6x^2 + 5x - 4 \) ，在十字相乘过程中，常数项-4 可以拆分成以下哪几组数对？( ) A. 4 和-1 B. -4 和1 C. 2 和-2 D. -8 和0.5 E. -2 和2 13. 将\( 8x^2 - 10x - 3 \) 分解因式，可能得到的结果是( ) A. \( (4x+1)(2x-3) \) B. \( (8x+1)(x-3) \) C. \( (4x-1)(2x+3) \) D. \( (8x-3)(x+1) \) E. \( (2x-1)(4x+3) \) 14. 下列因式分解结果中，正确的有( ) A. \( x^2 - 9x + 18 = (x-3)(x-6) \) B. \( 2x^2 + x - 15 = (2x-5)(x+3) \) C. \( 3x^2 - 14x - 5 = (3x+1)(x-5) \) D. \( 4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2 \) E. \( x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2 \) 15. 关于十字相乘法，下列说法正确的有( ) A. 适用于所有二次三项式。 B. 分解的关键是找到两个数，使其积等于二次项系数与常数项系数 的积，同时其和等于一次项系数。 C. 当二次项系数不为1 时，需要尝试将二次项系数分解成两个因数 的乘积。 D. 分解的结果中，每个因式都是一次式。 E. 常数项是负数时，拆分的两个数通常异号。 16. 多项式\( 9x^2 - 6x + 1 \) 可以分解为( ) A. \( (9x-1)(x-1) \) B. \( (3x-1)^2 \) C. \( (3x-1)(3x-1) \) D. \( (x-1)(9x-1) \) E. \( (9x+1)(x+1) \) 17. 将\( 12x^2 - 7x - 12 \) 分解因式，以下步骤或结果可能正确的 是( ) A. 尝试拆分常数项-12，寻找与二次项系数12 相乘后和为-7 的组 合。 B. 可能拆分成：-16 和9 ( 因为-16×9 = -144, -16+9 = -7? 需 验证交叉积) C. 分解结果为\( (3x-4)(4x+3) \) D. 分解结果为\( (4x-3)(3x+4) \) E. 分解结果为\( (12x+9)(x-\frac{4}{3}) \) (非整系数，通常不 考虑) 18. 对于多项式\( (x+1)^2 - 4 \) ，下列分解过程或结果正确的有( ) A. 直接展开：\( x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3 \)，再分解 为\( (x+3)(x-1) \) B. 看作平方差公式：\( [(x+1)+2][(x+1)-2] = (x+3)(x-1) \) C. 无法直接使用十字相乘法。 D. 结果为\( (x+3)(x-1) \) E. 结果为\( (x+1-4)(x+1) = (x-3)(x+1) \) 19. 下列多项式中，分解因式后含有因式\( (x-2) \) 的有( ) A. \( x^2 - 3x + 2 \) B. \( x^2 + x - 6 \) C. \( 2x^2 - 5x - 3 \) D. \( 3x^2 - 10x + 8 \) E. \( x^2 - 4 \) 20. 关于多项式\( 6x^2 - 5xy - 6y^2 \) 的因式分解，下列说法或结 果正确的有( ) A. 可以看作关于x 的二次三项式，y 看作常数。 B. 使用十字相乘法，寻找两数积为6×(-6)= -36 ，和为-5y。 C. 拆分成-9y 和4y ( 因为-9y × 4y = -36y², -9y + 4y = -5y)。 D. 分解结果为\( (3x + 2y)(2x - 3y) \)。 E. 分解结果为\( (6x - 9y)(x + \frac{2}{3}y) \) (非整系数，通 常不考虑)。 三、判断题（每题2 分，共10 √ 题。正确打，错误打×） 21. ( ) 十字相乘法只适用于二次项系数为1 的二次三项式。 22. ( ) 分解因式\( x^2 - 5x + 6 \) 时，常数项6 只能拆分成2 和 3。 23. ( ) 多项式\( 2x^2 + 3x + 1 \) 可以分解为\( (2x+1)(x+1) \)。 24. ( ) 当常数项是负数时，十字相乘拆分出的两个数一定是一正一 负。 25. ( ) 多项式\( 4x^2 - 12x + 9 \) 是完全平方式，分解结果为\ ( (2x-3)^2 \)。 26. ( ) 所有形如\( ax^2 + bx + c \) (a≠0) 的二次三项式都可以在 有理数范围内用十字相乘法分解因式。 27. ( ) 分解因式\( 3x^2 - 2x - 8 \) 时，尝试拆分常数项-8 ，组合-6 和4 满足十字相乘要求（因为3×4 + 1×(-6) = 12 - 6 = 6 ≠ -2）。 28. ( ) 多项式\( x^2 + 4 \) 可以用十字相乘法分解为\( (x+2) (x+2) \)。 29. ( ) 将\( 5x^2 - 15x - 20 \) 分解因式，应先提取公因数5，得到 \( 5(x^2 - 3x - 4) \) ，再分解括号内为\( (x-4)(x+1) \)。 30. ( ) 因式分解\( (x^2 + 5x) + (6x + 30) \) 时，直接分组再提取 公因式\( x(x+5) + 6(x+5) = (x+5)(x+6) \) 比用十字相乘法更简 便。 四、简答题（每题5 分，共4 题） 31. 用十字相乘法分解因式：\( 6x^2 - 5x - 4 \)。（要求写出关键拆 分步骤） 32. 用十字相乘法分解因式：\( -2x^2 + 8x + 10 \)。（提示：可先 处理负号或提取公因数） 33. 已知多项式\( 2x^2 + bx - 15 \) 可以分解为\( (2x - 3)(x + c) \) ，求常数b 和c 的值。 34. 一个矩形的长和宽分别是\( (x+2) \) cm 和\( (x-3) \) cm（x > 3），其面积可表示为二次三项式。 (1) 写出表示面积的二次三项式。 (2) 用十字相乘法将该二次三项式分解因式。 (3) 这个分解结果与矩形的长和宽有什么关系？这说明了什么？ 答案： 一、单项选择题 1. A 2. B 3. B 4. C 5. A 6. C 7. A 8. B 9. D 10. D 二、多项选择题 11. ABC 12. ABC 13. AC 14. ABCDE 15. BCDE 16. BC 17. ABC 18. ABD 19. ABD 20. ABCD 三、判断题 21. × 22. × 23. √ 24. √ 25. √ 26. × 27. × 28. × 29. √ 30. √ 四、简答题 31. 解：对于\( 6x^2 - 5x - 4 \)。 二次项系数6 可拆分为2×3，常数项-4 可拆分为-4×1 或4×-1 或-2×2 等。 尝试拆分：将6 拆成2 和3，-4 拆成-4 和1： 2 -4 → 2×1 = 2 3 1 → 3×(-4) = -12 交叉积之和：2 + (-12) = -10 ≠ -5 (一次项系数) 尝试拆分：将6 拆成2 和3，-4 拆成4 和-1： 2 4 → 2×(-1) = -2 3 -1 → 3×4 = 12 交叉积之和：-2 + 12 = 10 ≠ -5 尝试拆分：将6 拆成2 和3，-4 拆成-2 和2： 2 -2 → 2×2 = 4 3 2 → 3×(-2) = -6 交叉积之和：4 + (-6) = -2 ≠ -5 尝试拆分：将6 拆成1 和6，-4 拆成-4 和1： 1 -4 → 1×1 = 1 6 1 → 6×(-4) = -24 交叉积之和：1 + (-24) = -23 ≠ -5 尝试拆分：将6 拆成1 和6，-4 拆成4 和-1： 1 4 → 1×(-1) = -1 6 -1 → 6×4 = 24 交叉积之和：-1 + 24 = 23 ≠ -5 尝试拆分：将6 拆成1 和6，-4 拆成-2 和2： 1 -2 → 1×2 = 2 6 2 → 6×(-2) = -12 交叉积之和：2 + (-12) = -10 ≠ -5 正确拆分：将6 拆成3 和2，-4 拆成1 和-4 (调整顺序)： 3 1 → 3×(-4) = -12 2 -4 → 2×1 = 2 交叉积之和：-12 + 2 = -10 ≠ -5 (仍不对) 正确拆分：将6 拆成3 和2，-4 拆成-4 和1 (调整顺序)： 3 -4 → 3×1 = 3 2 1 → 2×(-4) = -8 交叉积之和：3 + (-8) = -5 (等于一次项系数) 分解为\( (3x - 4)(2x + 1) \) 。或\( (3x - 4)(2x + 1) \) 答案：\( (3x - 4)(2x + 1) \) 32. 解：方法一（先提取负号）： \( -2x^2 + 8x + 10 = -(2x^2 - 8x - 10) \) 分解\( 2x^2 - 8x - 10 \)。 先提取公因数2 ：\( 2(x^2 - 4x - 5) \) 分解\( x^2 - 4x - 5 \)：找两数积为-5，和为-4 → -5 和1。 所以\( x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) \) \( 2x^2 - 8x - 10 = 2(x - 5)(x + 1) \) 原式= \( -2(x - 5)(x + 1) \) 方法二（先提取公因数）： \( -2x^2 + 8x + 10 = -2(x^2 - 4x - 5) \) (提取-2) 分解\( x^2 - 4x - 5 \)：同上，\( (x - 5)(x + 1) \) 所以原式= \( -2(x - 5)(x + 1) \) 答案：\( -2(x - 5)(x + 1) \) 或\( -2(x + 1)(x - 5) \) 33. 解：将已知分解式展开： \( (2x - 3)(x + c) = 2x \cdot x + 2x \cdot c - 3 \cdot x - 3 \cdot c = 2x^2 + (2c - 3)x - 3c \) 已知原多项式为\( 2x^2 + bx - 15 \)。 比较系数： 常数项：\( -3c = -15 \) → \( c = 5 \) 一次项系数：\( b = 2c - 3 = 2 \times 5 - 3 = 10 - 3 = 7 \) 答案：\( b = 7 \), \( c = 5 \) 34. 解： (1) 面积= 长× 宽= \( (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 \) (2) 分解\( x^2 - x - 6 \)： 找两数积为-6，和为-1 → -3 和2。 所以\( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \) (3) 分解结果\( (x - 3)(x + 2) \) 恰好等于题目中给出的矩形的宽\ ( (x-3) \) cm 和长\( (x+2) \) cm。 这说明因式分解的结果还原了表示矩形面积的两个维度（长和 宽）的乘积关系。因式分解是多项式乘法的逆运算。