专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】（解析版）

专题212 一元二次方程的解法【八大题型】 【人版】 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】.........................................................................................................1 【题型2 用配方法解一元二次方程】.....................................................................................................................2 【题型3 用公式法解一元二次方程】.....................................................................................................................4 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】.............................................................................................................5 【题型5 用指定方法解一元二次方程】................................................................................................................. 6 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】...........................................................................................................12 【题型7 用换元法解一元二次方程】................................................................................................................... 14 【题型8 配方法的应用】.......................................................................................................................................17 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x 2=p( p≥0)或(mx+n) 2=p( p≥0,m≠0) 的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（2022•建华区二模）解方程：−1 3 （x 2 ﹣）2+3 4 =¿0（开平方法）． 【分析】先把方程变形为（x 2 ﹣）2¿ 9 4 ，再两边开方得到x 2 ﹣＝±3 2，然后解两个一次 方程即可． 【解答】解：−1 3 （x 2 ﹣）2+3 4 =¿0， −1 3 （x 2 ﹣）2¿−3 4 ， （x 2 ﹣）2¿ 9 4 ， x 2 ﹣＝±3 2， 所以x1¿ 7 2，x2¿ 1 2． 1 【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可． 【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2 或2x+3＝﹣3x 2 ﹣， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 【变式1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2 9 ﹣（x 2 ﹣）2＝0（开平方 法）． 【分析】直接开方，再解一元一次方程即可． 【解答】解：4（x+1）2＝9（x 2 ﹣）2， 2 ∴（x+1）＝±3（x 2 ﹣）， ∴x1＝8，x2¿ 4 5 ． 【变式1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于x 的方程：x2 3 ﹣＝1+x2（≠1）（开平方 法）． 【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：（﹣1）x2＝﹣4，即x2¿ 4 1−a， 当1﹣＞0，即＜1 时，x＝±❑ √ 4 1−a=¿±2❑ √1−a 1−a ； 当1﹣＜0，即＞1 时，无解． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成( x+m) 2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的 方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程 两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系 数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通 过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型2 用配方法解一元二次方程】 【例2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2 6 ﹣x+3＝0； （2）请用配方法解一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）． 【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数 1 平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解； （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利 用完全平方公式变形，开方即可求出解． 【解答】解：（1）方程整理得：x2 3 ﹣x¿−3 2， 配方得：x2 3 ﹣x+9 4 = 9 4 −3 2，即（x−3 2 ）2¿ 3 4 ， 开方得：x−3 2 =¿± ❑ √3 2 ， 解得：x1¿ 3 2 + ❑ √3 2 ，x2¿ 3 2− ❑ √3 2 ； （2）方程整理得：x2+b a x¿−c a， 配方得：x2+b a x+b 2 4 a 2= b 2 4 a 2−c a，即（x+b 2a ）2¿ b 2−4 ac 4 a 2 ， 开方得：x+b 2a =¿± ❑ √b 2−4 ac 2a ， 解得：x1¿ −b+ ❑ √b 2−4 ac 2a ，x2¿ −b− ❑ √b 2−4 ac 2a ． 【变式2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2−2❑ √5 x=4． 【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：∵x 2−2❑ √5 x=4， ∴x2 2 ﹣❑ √5x+5＝4+5，即（x−❑ √5）2＝9， ∴x−❑ √5=¿3 或x−❑ √5=−¿3， ∴x1＝3+❑ √5，x2＝﹣3+❑ √5． 【变式2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2 8 ﹣x 7 ﹣＝0． 【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项 系数的一半的平方，然后开方即可． 【解答】解：4x2 8 ﹣x 7 ﹣＝0， 4x2 8 ﹣x＝7， x2 2 ﹣x¿ 7 4 ， 配方得x2 2 ﹣x+12¿ 7 4 +¿1， （x 1 ﹣）2¿ 11 4 ， 1 x 1 ﹣＝± ❑ √11 2 ， x＝1± ❑ √11 2 ， ∴x1＝1+❑ √11 2 ，x2＝1−❑ √11 2 ． 【变式2-3】（2022 秋•潢川县期末）解方程：2x2 5 ﹣x+1＝0（用配方法） 【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方 求解可得． 【解答】解：∵2x2 5 ﹣x＝﹣1， ∴x2−5 2 x¿−1 2， ∴x2−5 2 x+25 16 =−1 2 + 25 16，即（x−5 4 ）2¿ 17 16， 则x−5 4 =¿± ❑ √17 4 ， ∴x¿ 5± ❑ √17 4 ． 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当b 2−4 ac≥0时，方程ax 2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为 x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a 的形式，这个 式子叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个 公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法 【题型3 用公式法解一元二次方程】 【例3】（2022 春•通州区校级月考）用公式法解方程：22 3 ﹣＝﹣4． 【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答． 【解答】解：22 3 ﹣＝﹣4， 整理得：22+4 3 ﹣＝0， Δ ∵＝42 4×2× ﹣ （﹣3） ＝16+24 ＝40， ∴¿ −4± ❑ √40 2×2 =−4±2❑ √10 4 =−2± ❑ √10 2 ， 1 ∴1¿ −2+❑ √10 2 ，2¿ −2−❑ √10 2 ． 【变式3-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x 1 ﹣）（2x+2）（公式法）． 【分析】整理成一般式，先求出b2 4 ﹣的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：方程整理得：6x2﹣x 4 ﹣＝0， ∵＝6，b＝﹣1，＝﹣4， ∴b2 4 ﹣＝（﹣1）2 4×6× ﹣ （﹣4）＝97＞0， ∴x¿ −b± ❑ √b 2−4 ac 2a =1± ❑ √97 12 ， ∴x1¿ 1+❑ √97 12 ，x2¿ 1−❑ √97 12 ． 【变式3-2】（2022 秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2 2 ﹣❑ √2x 3 ﹣＝0． 【分析】先求出b2 4 ﹣的值，再代入公式求出方程的解即可． 【解答】解：x2 2 ﹣❑ √2x 3 ﹣＝0， ∵＝1，b＝﹣2❑ √2，＝﹣3， Δ ∴＝b2 4 ﹣＝（﹣2❑ √2）2 4×1× ﹣ （﹣3）＝20＞0， ∴x¿ −b± ❑ √b 2−4 ac 2a =2❑ √2±2❑ √5 2 ， ∴x1¿ ❑ √2+❑ √5，x2¿ ❑ √2−❑ √5． 【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2 7 ﹣x+6＝0． 【分析】方程利用公式法求出解即可． 【解答】解：方程2x2 7 ﹣x+6＝0， 这里＝2，b＝﹣7，＝6， Δ ∵＝49 48 ﹣ ＝1＞0， ∴x¿ 7±1 4 ， 则x1＝2，x2＝15． 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这 样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 【例4】（2022 秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x 3 ﹣）＝3x（x 3 ﹣）． 【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元 1 一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：∵2（x 3 ﹣）＝3x（x 3 ﹣）， 2 ∴（x 3 ﹣）﹣3x（x 3 ﹣）＝0， 则（x 3 ﹣）（2 3 ﹣x）＝0， ∴x 3 ﹣＝0 或2 3 ﹣x＝0， 解得x1＝3，x2¿ 2 3． 【变式4-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：（4 3 ﹣x）+（3x 4 ﹣）2＝0（因式分解 法）． 【分析】利用提取公因式（4 3 ﹣x），将左边因式分解，再进一步求解即可． 【解答】解：∵（4 3 ﹣x）+（3x 4 ﹣）2＝0， ∴（4 3 ﹣x）（5 3 ﹣x）＝0， 则4 3 ﹣x＝0 或5 3 ﹣x＝0， 解得x1¿ 4 3 ，x2¿ 5 3． 【变式4-2】（2022 秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1 2 ﹣x）2． 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1 2 ﹣x）2＝0， 分解因式得：（x+3+1 2 ﹣x）（x+3 1+2 ﹣ x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0， 可得4﹣x＝0 或3x+2＝0， 解得：x1＝4，x2¿−2 3． 【变式4-3】（2022 秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2−❑ √3 x+❑ √2 x−❑ √6=¿0 【分析】利用因式分解法把方程化为x−❑ √3=¿0 或x+❑ √2=¿0，然后解一次方程即可． 【解答】解：（x−❑ √3）（x+❑ √2）＝0， x−❑ √3=¿0 或x+❑ √2=¿0， 所以x1¿ ❑ √3，x2¿−❑ √2． 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 【例5】（2022 秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2 144 ﹣ ＝0（直接开平方法）； （2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）； （4）3（x 2 ﹣）2＝x（x 2 ﹣）（因式分解法）． 【分析】（1）移项，然后开平方即可求解； 1 （2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解； （3）利用公式法即可求解； （4）移项，然后利用因式分解法即可求解． 【解答】解：（1）（x+1）2＝144， 则x+1＝12 或x+1＝﹣12， 解得：x1＝﹣13，x2＝11； （2）移项，得：x2 8 ﹣x＝9， 配方，得x2 8 ﹣x+16＝25， 则（x 4 ﹣）2＝25， 即x 4 ﹣＝5 或x 4 ﹣＝﹣5， 解得：x1＝9，x2＝﹣1； （3）＝2，b＝7，＝3， △＝49 4×2×3 ﹣ ＝49 24 ﹣ ＝25＞0． 则x¿ −7±5 4 ， 则x1＝﹣3，x2¿−1 2； （4）原式即3（x 2 ﹣）2﹣x（x 2 ﹣）＝0， 因式分解得：（x 2 ﹣）【3（x 2 ﹣）﹣x】＝0， 即（x 2 ﹣）（2x 6 ﹣）＝0， 则x 2 ﹣＝0 或2x 6 ﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝3． 【变式5-1】（2022 秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程： （1）x（x 2 ﹣）+x 2 ﹣＝0（用因式分解法） （2）x2 4 ﹣x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解） （4）（x 4 ﹣）2＝（5 2 ﹣x）2（用直接开平方法） 【分析】（1）先提取公因式（x 2 ﹣）因式分解，再求解即可； （2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可； （3）写出、b、的值，然后利用求根公式法求解； （4）直接开平方求解即可． 【解答】解：（1）因式分解得，（x 2 ﹣）（x+1）＝0， 由此得，x 2 ﹣＝0，x+1＝0， 所以，x1＝2，x2＝﹣1； 1 （2）配方得，x2 4 ﹣x+4 4+3 ﹣ ＝0， 即（x 2 ﹣）2＝1， 所以，x 2 ﹣＝±1， 所以，x1＝3，x2＝1； （3）＝1，b＝5，＝1， Δ＝b2 4 ﹣＝52 4×1×1 ﹣ ＝25 1 ﹣＝24， x¿ −5± ❑ √24 2×1 =−5±2❑ √6 2 ， x1¿ −5+2❑ √6 2 ，x2¿ −5−2❑ √6 2 ； （4）开平方得，x 4 ﹣＝±（5 2 ﹣x）， 所以，x 4 ﹣＝5 2 ﹣x 或x 4 ﹣＝2x 5 ﹣， 解得x1＝3，x2＝1． 【变式5-2】（2022 秋•简阳市月考）解下列方程 （1）（2x 1 ﹣）2＝7（直接开平方法） （2）2x2 7 ﹣x 4 ﹣＝0（用配方法） （3）2x2 10 ﹣ x＝3（公式法） （4）（3x 4 ﹣）2＝（3 4 ﹣x）2（因式分解法） （5）x 2+4− ❑ √x 2+8=26（用换元法解） （6）（2x2+1）2 2 ﹣x2 3 ﹣＝0（用换元法解） 【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了； （2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后 直接用开平方法求解就可以； （3）先化为一般形式，然后确定、b、的值，最后代入求根公式求解就可以了； （4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论； （5）设❑ √x 2+8=¿，将原方程变形为2﹣＝30，再解一个关于的一元二次方程求解； （6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝，就可以变为2﹣ 2 ﹣＝0，最后可以运用因式分解法求解． 【解答】解：（1）开平方，得 2x 1 ﹣＝±❑ √7， ∴x1¿ ❑ √7+1 2 ，x2¿ −❑ √7+1 2 ； （2）移项，得 2x2 7 ﹣x＝4， 1 化二次项的系数为1，得 x2−7 2 x＝2， 配方，得 x2−7 2 x+49 16 =¿2+49 16 ， （x−7 4 ）2¿ 81 16 开平方，得 x−7 4 =¿±9 4 ， ∴x1＝4，x2¿−1 2； （3）移项，得 2x2 10 ﹣ x 3 ﹣＝0， ∴＝2，b＝﹣10，＝﹣3， ∴△＝100+24＝124＞0， ∴x¿ 10± ❑ √124 4 ， ∴x1¿ 5+❑ √31 2 ，x2¿ 5−❑ √31 2 ； （4）移项，得 （3x 4 ﹣）2﹣（3 4 ﹣x）2＝0 分解因式，得 （3x 4+3 4 ﹣ ﹣x）（3x 4 3+4 ﹣﹣ x）＝0， ∴﹣x 1 ﹣＝0 或7x 7 ﹣＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝1； （5）原方程变形为： x 2+8− ❑ √x 2+8=30， 设❑ √x 2+8=¿，将原方程变形为： 2﹣＝30， 移项，得 2 30 ﹣﹣ ＝0， 因式分解，得 1 （+5）（﹣6）＝0， +5 ∴ ＝0 或﹣6＝0， ∴1＝﹣5（舍去），2＝6， ∴❑ √x 2+8=6， 解得：x＝±2❑ √7， 经检验，x＝±2❑ √7是原方程的根； （6）原方程变形为： （2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0， 设2x2+1＝，则原方程变为： 2 2 ﹣﹣＝0， 解得： 1＝﹣1，2＝2， 当＝﹣1 时， 2x2+1＝﹣1， Δ＜0，原方程无解， 当＝2 时， 2x2+1＝2， 解得：x＝± ❑ √2 2 【变式5-3】（2022 秋•恩阳区月考）解方程： ①x2+（❑ √3+❑ √2）x+❑ √6=¿0（因式分解法） ②5x2+2x 1 ﹣＝0（公式法） ③y2+6y+2＝0（配方法） ④9（x 2 ﹣）2＝121（x+1）2（直接开平方法） ⑤x+1 x 2 −2 x 2 x+1=¿1（换元法） ⑥（x2﹣x）2 5 ﹣（x2﹣x）+6＝0（适当方法） 【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答． ②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得． ③可以先移项，然后利