专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】（原卷版）

专题211 一元二次方程的定义及解【八大题型】 【人版】 【题型1 一元二次方程的识别】.............................................................................................................................1 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】..........................................................................................1 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................................................................2 【题型4 一元二次方程的一般形式】.....................................................................................................................2 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】.........................................................................................................3 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................................................................3 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】......................................................................................3 【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】..............................................................................................4 【知识点1 一元二次方程的定义】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（2021 秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） ①3x2+7＝0：②x2+bx+＝0；③（x 2 ﹣）（x+5）＝x2 1 ﹣；④3x−1 x =¿0． ．① B．①② ．①②③ D．①②③④ 【变式1-1】（2021 秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（ ） ①3x2+x＝20；②2x2 3 ﹣xy+4＝0；③x 2−1 x =4；④x2＝1；⑤x 2−x 3 +3=0 ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-2】（2021 秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的有 （ ） ①x2＝0； ②x2+bx+＝0； ③2+﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x2 9 ﹣； ⑤x2﹣y2＝ 3． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-3】（2021 秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2 1 ﹣）2＝ 1；④3y2 2 ﹣y＝﹣1；⑤2x2 5 ﹣xy+3y2＝0；⑥x2+bx+＝0（，b，是常数）；⑦ 1 x 2 + 1 x −¿2＝0；⑧（x+1）（x 1 ﹣）＝x2 1 ﹣．其中属于一元二次方程的有（ ）个． ．2 B．3 ．4 D．6 1 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 【例2】（2021 秋•龙岗区校级期末）关于x 的方程（2+1）x2+2x 6 ﹣＝0 是一元二次方程， 则的取值范围是（ ） ．≠±1 B．≠0 ． 为任何实数 D．不存在 【变式2-1】（2021 秋•河口县期末）已知（m 2 ﹣）x 3 ﹣x+2＝0 是关于x 的一元二次方程， 则（ ） ．m≠0，＝2 B．m≠2，＝2 ．m≠0，＝3 D．m≠2，≠0 【变式2-2】（2021 秋•龙江县期末）若方程x2+2x 1 ﹣＝2x2是关于x 的一元二次方程，则的 取值范围是 ． 【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m 1 ﹣）x2+❑ √m•x＝1 是关于x 的一元二次方程， 则m 的取值范围是 ． 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例3】（2022 春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m| 1 ﹣﹣（m 3 ﹣）x 5 ﹣＝0 是关于x 的一元 二次方程，则m 的值为（ ） ．3 B．﹣3 ．±3 D．±2 【变式3-1】（2021 秋•望城区期末）若关于x 的方程(m−2)x m 2−2+4 x−7=0是一元二次 方程，则m 的值为（ ） ．m≠2 B．m＝±2 ．m＝﹣2 D．m＝2 【变式3-2】（2021 秋•太平区期末）已知关于x 的方程（﹣3）x| 1| ﹣+x 1 ﹣＝0 是一元二次方 程，则的值是（ ） ．﹣1 B．2 ．﹣1 或3 D．3 【变式3-3 】（2022• 张家港市一模）已知x ＝1 是关于x 的一元二次方程 (m+2)x m 2−2−3 x−2a=0的解，则m 1 ﹣+的值为 ． 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式a x 2+bx+=0（，b， 是常数，≠0）．这 种形式叫一元二次方程的一般形式．其中a x 2叫做二次项，叫做二次项系数；bx 叫做一次 项；叫做常数 项． 【题型4 一元二次方程的一般形式】 【例4】（2021 秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1 化成一般形式时，它的二次项、 1 一次项系数和常数项分别为（ ） ．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 ．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 【变式4-1】（2021 秋•黔西南州期末）若（1﹣m）x m 2+1+¿3mx 2 ﹣＝0 是关于x 的一元二 次方程，则该方程的一次项系数是（ ） ．﹣1 B．±1 ．﹣3 D．±3 【变式4-2】（2021 春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（+1）x＝x（x 1 ﹣）﹣1 化成 一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ） ．﹣1 B．1 ．﹣2 D．2 【变式4-3】（2021 秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（﹣3）x+5＝0 是关于x 的 一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ，＝ ． 【知识点3 一元二次方程的解】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也 称为一元二次方 程的根． 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】 【例5】（2022 春•温州期中）若关于x 的方程x2+2x+4＝0 有一个根为﹣3，则的值是（ ） ．9 B．45 ．3 D．﹣3 【变式5-1】（2021 秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k 1 ﹣）x﹣k 7 ﹣＝0 的一个根为x＝0， 则k 的值是（ ） ．7 B．3 16 ．4 D．﹣7 【变式5-2】（2021 秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k 1 ﹣）x2+3x+k2 1 ﹣＝0 有一个 解为x＝0，则k 为（ ） ．±1 B．1 ．﹣1 D．0 【变式5-3】（2021 秋•封丘县期末）关于x 的一元二次方程x2+（k 2 ﹣）x+k2 1 ﹣＝0 的一个 根是0，则k 的值是（ ） ．1 B．﹣1 ．±1 D．2 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 【例6】（2021 秋•开州区期末）已知是方程2x2﹣x 3 ﹣＝0 的一个解，则62 3 ﹣的值为 ． 【变式6-1】（2021 秋•莲池区期末）若x＝﹣1 是关于x 的一元二次方程x2+bx 1 ﹣＝0 的一 个根，则2022 2+2 ﹣ b 的值为 ． 1 【变式6-2】（2021 秋•盱眙县期末）若是方程3x2 4 ﹣x 3 ﹣＝0 的一个根，则代数式2−4 3 +6 的值为 ． 【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m 是一元二次方程x2 4 ﹣x+2＝0 的一个根，则8m﹣ 2m2+2 的值是（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 【例7】（2022•遂宁）已知m 为方程x2+3x 2022 ﹣ ＝0 的根，那么m3+2m2 2025 ﹣ m+2022 的 值为（ ） ．﹣2022 B．0 ．2022 D．4044 【变式7-1】（2022 春•庐阳区校级期中）若是方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的一个根，则﹣3+2+2021 的值为（ ） ．2020 B．﹣2020 ．2021 D．﹣2021 【变式7-2】（2021 秋•泉州期末）已知实数是一元二次方程x2+x 8 ﹣＝0 的根，则4+3+8 1 ﹣ 的值为（ ） ．62 B．63 ．64 D．65 【变式7-3】（2021 秋•石鼓区期末）已知是方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的一个根，则4 3 2 ﹣﹣的值为 ． 【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】 【例8】（2021 秋•曲靖期末）已知关于x 的一元二次方程 1 2022 x 2+3=2 x 2+b的根为±3， 那么关于y 的一元二次方程 1 2022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b 的解y＝ ． 【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x 的一元二次方程x2+2bx 2 ﹣＝0 的一个根是x＝ 2022，则一元二次方程a 2（x+2）2+bx+2b＝1 必有一根为（ ） ．2020 B．2021 ．2022 D．2023 【变式8-2】（2022 春•淄川区期中）若关于x 的一元二次方程x2+bx+5＝0（≠0）有一根为 2022，则方程（x+1）2+b（x+1）＝﹣5 必有根为（ ） ．2022 B．2020 ．2019 D．2021 【变式8-3】（2021 秋•泉州期末）若关于x 的一元二次方程x2+bx 3 ﹣＝0（≠0）有一个根 为x＝2021，则方程（x 1 ﹣）2+bx 3 ﹣＝b 必有一根为（ ） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 1