专题21.5 一元二次方程的实际应用【九大题型】（原卷版）

专题215 一元二次方程的实际应用【九大题型】 【人版】 【题型1 数字问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 平均变化率问题】.....................................................................................................................................2 【题型3 销售利润问题】.........................................................................................................................................3 【题型4 传播问题】................................................................................................................................................. 4 【题型5 循环问题】................................................................................................................................................. 4 【题型6 树枝分叉问题】.........................................................................................................................................5 【题型7 工程问题】................................................................................................................................................. 6 【题型8 图形问题】................................................................................................................................................. 8 【题型9 面积问题】............................................................................................................................................... 10 【题型1 数字问题】 【例1】（2022•苏州期末）一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置 后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数． 【变式1-1】（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了 苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东 吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华 数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的 平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ） ．10（x+3）+x＝x2 B．10（x 3 ﹣）+x＝（x 3 ﹣）2 ．10（x 3 ﹣）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝（x 3 ﹣）2 【变式1-2】（2022•浦东新区校级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字 小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【变式1-3】（2022•秦都区期末）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数， 1 十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三， 个位数字的平方等于他去世时的年龄． 【题型2 平均变化率问题】 【例2】（2022 春•钟山县期末）某商品原价为20 元，连续两次降价后售价为8 元，设平 均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ） ．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 ．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20 【变式2-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间， 绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） ．20% B．11% ．22% D．44% 【变式2-2】（2022 春•芝罘区期末）某种药品原来售价200 元，连续两次降价后售价为 162 元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ． 【变式2-3】（2022•秀峰区校级期中）某小区2013 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划 2015 年屋顶绿化面积要达到2880 平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么 这个增长率是多少？ 【题型3 销售利润问题】 【例3】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50 元，若按每 盒60 元出售，则每周可销售80 盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1 元，每周销量就会减少2 盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超 过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200 元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ） ．70 元 B．80 元 ．70 元或80 元 D．75 元 【变式3-1】（2022 春•乳山市期末）某商场将进价为30 元的台灯以单价40 元售出，平均 每月能售出600 个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1 元，其销售量将减少10 个．为 1 实现平均每月10000 元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定 为 元． 【变式3-2】（2022 春•垦利区期末）第24 届冬季奥林匹克运动会将于2022 年2 月4 日在 北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以 2 元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3 元， 每天可以卖出500 件，而且定价每上涨01 元，其销售量将减少10 张．根据规定：纪念 品售价不能超过批发价 的25 倍． （1）当每张书签定价为35 元时，商店每天能卖出 件； （2）如果商店要实现每天800 元的销售利润，那该如何定价？ 【变式3-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐 橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40 元，统一零售价定为每箱50 元，可以根据买 家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000 箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减 少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售20 3 m%；为了保 护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m 元给予补贴 进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000 元，求m 的值． 【题型4 传播问题】 【例4】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度 很快．已知有1 个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169 个人患了新冠肺炎，每轮 传染中平均一个人传染m 人，则m 的值为（ ） ．11 B．12 ．13 D．14 【变式4-1】（2022•长兴县校级期中）截止4 月15 日全国已通报确诊63 例人感染79 禽流 感病例，79 是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽． 1 如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36 只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活 禽传染了x 只活禽，那么可列方程为 ；轮感染后，被感染的活禽只数为 只．（用含的代数式表示） 【变式4-3】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感 染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感 染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？ 【题型5 循环问题】 【例5】（2022 春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循 环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21 场比赛，则八年级班级的个数为（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【变式5-1】（2022•大连一模）第24 届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参 加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45 场，共有多少个队参加比赛？ 【变式5-2】（2022•保亭县校级月考）要组织一次排球循环赛，参赛的每两队之间赛一场． 赛程计划7 天，每天安排4 场，比赛组织者应邀请多少个队参加？ 【变式5-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式 （即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30 场比赛．计分规则为胜一场得3 分， 平一场得1 分，负一场得0 分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4 场，负了2 场，则该球队此次 比赛的总积分是多少？ 1 【题型6 树枝分叉问题】 【例6】（2022 春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物 的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支 的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） ．8 B．7 ．6 D．5 【变式6-1】（2022 秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干 又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x 个小分 支，则下列方程中正确的是（ ） ．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 ．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43 【变式6-2】（2018 秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干 又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（ ） 小分支． ．7 根 B．6 根 ．5 根 D．4 根 【变式6-3】（2022•河西区期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出 同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？ 若设每个枝干长出x 个小分支． （Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表： ①主干的数目为 1 ； ②从主干中长出的枝干的数目为 ；（用含x 的式子表示） ③又从上述枝干中长出的小分支的数目为 ；（用含x 的式子表示） （Ⅱ）完成问题的求解． 【题型7 工程问题】 【例7】（2022•渝中区校级自主招生）工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效 率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2 倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的088 倍．若完成原来工作量的时间为3 1 小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间． 【变式7-1】（2022•沙坪坝区校级开学）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民 工程．某条需要改造的农村道路共54000 米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知 甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100 米 （1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40 天之后剩余的工程总量不得超过18000 米， 则甲队每天至少修路多少米？ （2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的最施工速度进行施工，但在 实际的施工过程中，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了m%．市政 府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队同 时施工60 天，再由乙单独多施工（m+7）天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m 的值． 【变式7-2】（2022•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了 满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单 独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积 恰好等于两队单独完成所需时间之和的6 倍． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100 万元，乙队每月的施工费比甲队多50 万元．在保证工 程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙 两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2 1 倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500 万元？（甲、乙两队的施工 时间按月取整数） 【变式7-3】（2022•开州区期中）为进一步改善路容路貌，提升干线公路美化度，某地相 关部门初步拟定派一个工程队对一段长度不少于39000 米的公路进行路基标准化整修． 该工程队以旧设备与新设备交替使用的方式施工，原计划旧设备每小时整修公路30 米， 新设备每小时整修公路60 米． （1）出于保护旧设备的目的，该工程队计划使用新设备的时间比使用旧设备的时间多 2 3，当这个工程完工时，旧设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过精确的勘察、测量、规划，以及新增了部分支线公路整修，此工程的实际施工里 程比最初拟定的最少里程39000 米多了9000 米．于是在实际施工中，旧设备在整修公 路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多32%，同时，因为工人操作新设 备不够熟练，使得新设备整修公路的效率比原计划下降了%，使用时间比（1）中新设 备使用的最短时多（1 2+30）%，求的值． 【题型8 图形问题】 【例8】（2022 春•海安市期末）某校准备在一块长为25 米，宽为20 米的长方形花内修建 一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂 直的小路，亭子边长是小路宽度的5 倍，花内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x 米． （1）花内的小路面积为 平方米（用含x 的代数式表示）． （2）若草坪面积为440 平方米时，求这时道路宽度x 的值． 1 【变式8-1】（2022•峄城区期末）有一张长40m，宽30m 的长方形硬纸片（如图1），截 去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600m2， 则纸盒的高为 ． 【变式8-2】（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆， 半径为x 米，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 米． 当x 等于多少时，窗户通过的进光面积是4 平方米． 【变式8-3】（2021 秋•朝阳区校级月考）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 100m，下底长180m，上下底相距80m，在两腰中点连线外有一条横向甬道，上下底之 间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽 应是多少（精确到001m）？ 1 （友情提示：中间甬道的中位线就是等腰梯形的中位线） 【题型9 面积问题】 【例9】（2022•蜀山区校级模拟）我国南宋数学杨辉曾经提出这样的一个问题，“直田积， 八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步”．大意：矩形田地的面积为864 平方步，宽比长少12 步，问矩形田地的长与宽各几步？（请你利用所学知识解决以上 问题） 【变式9-1】（2022•淮安区期中）用条长40 厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x 厘 米． （1）若矩形的面积为96 平方厘米，求x 的值； （2）矩形的面积是否可以为101 平方厘米？如果能，请求x 的值；如果不能，请说明理 由． 【变式9-2】（2022•贵阳期末）我们规定：如果一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形 的周长和面积的倍，则称这个矩形是另一个矩形的“加倍矩形”． 已知一个矩形的长为5，宽为3，是否存在这样的“加倍矩形”，它的周长和面积分别 是已知矩形的周长和面积的3 倍，请说明理由． 1 【变式9-3】（2022•达川区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠长 为18m 的墙，另三边用木栏围成，木栏长为32m． （1）鸡场的面积能围成120m2吗？ （2）鸡场的面积能围成130m2吗？ 1