专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】（解析版）

专题211 一元二次方程的定义及解【八大题型】 【人版】 【题型1 一元二次方程的识别】.............................................................................................................................9 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】........................................................................................11 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】....................................................................................................12 【题型4 一元二次方程的一般形式】................................................................................................................... 13 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】.......................................................................................................14 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】....................................................................................................15 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】....................................................................................17 【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】............................................................................................18 【知识点1 一元二次方程的定义】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（2021 秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） ①3x2+7＝0：②x2+bx+＝0；③（x 2 ﹣）（x+5）＝x2 1 ﹣；④3x−1 x =¿0． ．① B．①② ．①②③ D．①②③④ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2 的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：①3x2+7＝0 一定是一元二次方程； ②x2+bx+＝0，当＝0 时不是一元二次方程； ③（x 2 ﹣）（x+5）＝x2 1 ﹣整理得，3x 9 ﹣＝0，是一元一次方程； ④3x−1 x =¿0 是分式方程． 故选：． 【变式1-1】（2021 秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（ ） ①3x2+x＝20；②2x2 3 ﹣xy+4＝0；③x 2−1 x =4；④x2＝1；⑤x 2−x 3 +3=0 ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： 1 （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确 答． 【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确； ②方程含有两个未知数，错误； ③不是整式方程，错误； ④符合一元二次方程定义，正确； ⑤符合一元二次方程定义，正确． 故选：B． 【变式1-2】（2021 秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的有 （ ） ①x2＝0； ②x2+bx+＝0； ③2+﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x2 9 ﹣； ⑤x2﹣y2＝ 3． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①x2＝0 是一元二次方程，符合题意； ②x2+bx+＝0（≠0）是一元二次方程，不符合题意； ③2+﹣x＝0 是二元二次方程，不符合题意； ④（x+1）2＝2x2 9 ﹣是一元二次方程，符合题意； ⑤x2﹣y2＝3 是二元二次方程，不符合题意意． 故选：． 【变式1-3】（2021 秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2 1 ﹣）2＝ 1；④3y2 2 ﹣y＝﹣1；⑤2x2 5 ﹣xy+3y2＝0；⑥x2+bx+＝0（，b，是常数）；⑦ 1 x 2 + 1 x −¿2＝0；⑧（x+1）（x 1 ﹣）＝x2 1 ﹣．其中属于一元二次方程的有（ ）个． ．2 B．3 ．4 D．6 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：①y2+2x＝0 含有两个未知数，不是一元二次方程； ②x2＝0 是一元二次方程； ③（x2 1 ﹣）2＝1，未知数的最高次数是4 次，不是一元二次方程； ④3y2 2 ﹣y＝﹣1 是一元二次方程； ⑤2x2 5 ﹣xy+3y2＝0 含有两个未知数，不是一元二次方程； 1 ⑥x2+bx+＝0（，b，是常数），当＝0 时，不是一元二次方程； ⑦1 x 2 + 1 x −¿2＝0 是分式方程； ⑧（x+1）（x 1 ﹣）＝x2 1 ﹣，整理后不含未知数，不是一元二次方程． 所以属于一元二次方程的有②④，共2 个． 故选：． 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 【例2】（2021 秋•龙岗区校级期末）关于x 的方程（2+1）x2+2x 6 ﹣＝0 是一元二次方程， 则的取值范围是（ ） ．≠±1 B．≠0 ． 为任何实数 D．不存在 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答． 【解答】解：∵关于x 的方程（2+1）x2+2x 6 ﹣＝0 是一元二次方程， 可得2+1 不可能为0， ∴为任何实数． 故选：． 【变式2-1】（2021 秋•河口县期末）已知（m 2 ﹣）x 3 ﹣x+2＝0 是关于x 的一元二次方程， 则（ ） ．m≠0，＝2 B．m≠2，＝2 ．m≠0，＝3 D．m≠2，≠0 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，的方程，求出m，的值即可． 【解答】解：∵（m 2 ﹣）x 3 ﹣x+2＝0 是关于x 的一元二次方程， ∴m 2≠0 ﹣ ，＝2， 解得m≠2，＝2． 故选：B． 【变式2-2】（2021 秋•龙江县期末）若方程x2+2x 1 ﹣＝2x2是关于x 的一元二次方程，则的 取值范围是 ． 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出﹣2≠0，求出 即可． 【解答】解：x2+2x 1 ﹣＝2x2， （﹣2）x2+2x 1 ﹣＝0， ∵关于x 的方程x2+2x 1 ﹣＝2x2是一元二次方程， 2≠0 ∴﹣ ， 即≠2， 故答为：≠2． 1 【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m 1 ﹣）x2+❑ √m•x＝1 是关于x 的一元二次方程， 则m 的取值范围是 ． 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m 的不等式，进而得出答． 【解答】解：∵方程（m 1 ﹣）x2+❑ √m•x＝1 是关于x 的一元二次方程， ∴m≥0 且m 1≠0 ﹣ ， ∴m≥0 且m≠1， 故答为：m≥0 且m≠1． 【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例3】（2022 春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m| 1 ﹣﹣（m 3 ﹣）x 5 ﹣＝0 是关于x 的一元 二次方程，则m 的值为（ ） ．3 B．﹣3 ．±3 D．±2 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答． 【解答】解：由题意可知：{ ¿m∨−1=2 m+3≠0 ， 解得：m＝3， 故选：． 【变式3-1】（2021 秋•望城区期末）若关于x 的方程(m−2)x m 2−2+4 x−7=0是一元二次 方程，则m 的值为（ ） ．m≠2 B．m＝±2 ．m＝﹣2 D．m＝2 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程． 【解答】解：∵关于x 的方程(m−2)x m 2−2+4 x−7=0是一元二次方程， ∴{ m−2≠0 m 2−2=2， 解得：m＝﹣2． 故选：． 【变式3-2】（2021 秋•太平区期末）已知关于x 的方程（﹣3）x| 1| ﹣+x 1 ﹣＝0 是一元二次方 程，则的值是（ ） ．﹣1 B．2 ．﹣1 或3 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义得出﹣3≠0 且| 1| ﹣＝2，再求出即可． 【解答】解：∵关于x 的方程（﹣3）x| 1| ﹣+x 1 ﹣＝0 是一元二次方程， 3≠0 ∴﹣ 且| 1| ﹣＝2， 解得：＝﹣1， 故选：． 1 【变式3-3 】（2022• 张家港市一模）已知x ＝1 是关于x 的一元二次方程 (m+2)x m 2−2−3 x−2a=0的解，则m 1 ﹣+的值为 ． 【分析】根据一元二次方程的定义可得m 的值，再将x＝1 代入原方程即可得出的值， 然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：由题意得： { m+2≠0 m 2−2=2， 解得m＝2， 故关于x 的一元二次方程为4x2 3 ﹣x 2 ﹣＝0， 因为x＝1 是关于x 的一元二次方程(m+2)x m 2−2−3 x−2a=0的解， 所以4 3 2 ﹣﹣＝0， 解得¿ 1 2， 所以m 1 ﹣+¿2 −1+ 1 2=1 2 + 1 2=¿1． 故答为：1． 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式a x 2+bx+=0（，b， 是常数，≠0）．这 种形式叫一元二次方程的一般形式．其中a x 2叫做二次项，叫做二次项系数；bx 叫做一次 项；叫做常数 项． 【题型4 一元二次方程的一般形式】 【例4】（2021 秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1 化成一般形式时，它的二次项、 一次项系数和常数项分别为（ ） ．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 ．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 【分析】根据一元二次方程的一般形式，x2+bx+＝0（，b，是常数，≠0）判断即可． 【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1 化成一般形式为：2x2+3x 1 ﹣＝0， ∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1， 故选：B． 【变式4-1】（2021 秋•黔西南州期末）若（1﹣m）x m 2+1+¿3mx 2 ﹣＝0 是关于x 的一元二 次方程，则该方程的一次项系数是（ ） ．﹣1 B．±1 ．﹣3 D．±3 【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数． 1 【解答】解：由题意得：{ 1−m≠0 m 2+1=2 解得：m＝﹣1． ∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3． 故选：． 【变式4-2】（2021 春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（+1）x＝x（x 1 ﹣）﹣1 化成 一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ） ．﹣1 B．1 ．﹣2 D．2 【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出的 值． 【解答】解：方程整理得：x2﹣x+1＝0， ∵结果一次项系数为﹣1， ∴﹣＝﹣1，即＝1． 故选：B． 【变式4-3】（2021 秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（﹣3）x+5＝0 是关于x 的 一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ，＝ ． 【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义 得到：二次项系数不为0；结合不含x 的一次项知，一次项系数为0． 【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（﹣3）x+5＝0 知，（m2 4 ﹣）x2+（﹣7）x+4＝0． 根据题意知，m2 4≠0 ﹣ ，﹣7＝0， 解得m≠±2，＝7． 故答是：≠±2，7． 【知识点3 一元二次方程的解】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也 称为一元二次方 程的根． 【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】 【例5】（2022 春•温州期中）若关于x 的方程x2+2x+4＝0 有一个根为﹣3，则的值是（ ） ．9 B．45 ．3 D．﹣3 【分析】把x＝﹣3 代入方程得9 6+4 ﹣ ＝0，然后解关于的一次方程即可． 【解答】解：把x＝﹣3 代入方程得9 6+4 ﹣ ＝0， 解得＝45． 故选：B． 1 【变式5-1】（2021 秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k 1 ﹣）x﹣k 7 ﹣＝0 的一个根为x＝0， 则k 的值是（ ） ．7 B．3 16 ．4 D．﹣7 【分析】把x＝0 代入方程中，就可以求出k 的值． 【解答】解：∵方程8x2﹣（k 1 ﹣）x﹣k 7 ﹣＝0 的一个根为0， ∴把x＝0 代入此方程，有： ﹣k 7 ﹣＝0， ∴k＝﹣7． 故选：D． 【变式5-2】（2021 秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k 1 ﹣）x2+3x+k2 1 ﹣＝0 有一个 解为x＝0，则k 为（ ） ．±1 B．1 ．﹣1 D．0 【分析】把x＝0 代入方程（k 1 ﹣）x2+3x+k2 1 ﹣＝0 得方程k2 1 ﹣＝0，解关于k 的方程， 然后利用一元二次方程的定义确定k 的值． 【解答】解：把x＝0 代入方程（k 1 ﹣）x2+3x+k2 1 ﹣＝0 得方程k2 1 ﹣＝0， 解得k1＝1，k2＝﹣1， 而k 1≠0 ﹣ ， 所以k＝﹣1． 故选：． 【变式5-3】（2021 秋•封丘县期末）关于x 的一元二次方程x2+（k 2 ﹣）x+k2 1 ﹣＝0 的一个 根是0，则k 的值是（ ） ．1 B．﹣1 ．±1 D．2 【分析】把x＝0 代入方程计算即可求出k 的值． 【解答】解：把x＝0 代入方程得：k2 1 ﹣＝0， 解得：k＝1 或k＝﹣1， 故选：． 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 【例6】（2021 秋•开州区期末）已知是方程2x2﹣x 3 ﹣＝0 的一个解，则62 3 ﹣的值为 9 ． 【分析】把x＝代入方程求得2﹣的值，然后根据62 3 ﹣＝3（22﹣）即可求解． 【解答】解：把x＝代入方程得：22 3 ﹣﹣＝0， 则22﹣＝3， 则62 3 ﹣＝3（22﹣）＝9． 1 故答是：9． 【变式6-1】（2021 秋•莲池区期末）若x＝﹣1 是关于x 的一元二次方程x2+bx 1 ﹣＝0 的一 个根，则2022 2+2 ﹣ b 的值为 ． 【分析】把x＝﹣1 代入方程x2+bx 1 ﹣＝0（≠0）得﹣b＝1，再把2022 2+2 ﹣ b 变形为 2022 2 ﹣（﹣b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝﹣1 代入方程x2+bx 1 ﹣＝0（≠0）得﹣b 1 ﹣＝0， ∴﹣b＝1， 2022 2+2 ∴ ﹣ b ＝2022 2 ﹣（﹣b） ＝2022 2×1 ﹣ ＝2022 2 ﹣ ＝2020． 故答为：2020． 【变式6-2】（2021 秋•盱眙县期末）若是方程3x2 4 ﹣x 3 ﹣＝0 的一个根，则代数式2−4 3 +6 的值为 ． 【分析】根据方程解的定义得到32 4 3 ﹣﹣＝0，变形得到2−4 3 ＝1，然后利用整体代入 的方法计算． 【解答】解：根据题意得32 4 6 ﹣﹣＝0， ∴2−4 3 ＝1， ∴2−4 3 +6＝1+6＝7． 故答为：7． 【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m 是一元二次方程x2 4 ﹣x+2＝0 的一个根，则8m﹣ 2m2+2 的值是（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2 4 ﹣m＝﹣2，再把8m 2 ﹣m2+2 变形为﹣2 （m2 4 ﹣m）+2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m 是一元二次方程x2 4 ﹣x+2＝0 的一个根， ∴m2 4 ﹣m+2＝0， ∴m2 4 ﹣m＝﹣2， 8 ∴m 2 ﹣m2+2＝﹣2（m2 4 ﹣m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6． 故选：B． 1 【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 【例7】（2022•遂宁）已知m 为方程x2+3x 2022 ﹣ ＝0 的根，那么m3+2m2 2025 ﹣ m+2022 的 值为（ ） ．﹣2022 B．0 ．2022 D．4044 【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即 可． 【解答】解：∵m 为方程x2+3x 2022 ﹣ ＝0 的根， ∴m2+3m 2022 ﹣ ＝0， ∴m2+3m＝2022， ∴原式＝m3+3m2﹣m2 3 ﹣m 2022 ﹣ m+2022 ＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022 ＝2022m 2022 2022 ﹣ ﹣ m+2022 ＝0． 故选：B． 【变式7-1】（2022 春•庐阳区校级期中）若是方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的一个根，则﹣3+2+2021 的值为（ ） ．2020 B．﹣2020 ．2021 D．﹣2021 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到2＝+1，再用表示3 得到3＝2+1，然后利用 整体代入的方法计算． 【解答】解：∵是方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的一个根， ∴2 1 ﹣﹣＝0， ∴2＝+1， ∴3＝（+1）＝2+＝+1+＝2+1， ∴﹣3+2+2021＝﹣（2+1）+2+2021＝﹣2 1+2+2021 ﹣ ＝2020． 故选：． 【变式7-2】（2021 秋•泉州期末）已知实数是一元二次方程x2+x 8 ﹣＝0 的根，则4+3+8 1 ﹣ 的值为（ ） ．62 B．63 ．64 D．65 【分析】把方程的解代入方程得到关于的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值． 【解答】解：∵是一元二次方程x2+x 8 ﹣＝0 的一个根， ∴2+ 8 ﹣＝0 ∴2+＝8， ∴4+3+8 1 ﹣＝2（2+）+8 1 ﹣＝82+8 1 ﹣＝64 1 ﹣＝63， 1 故选：B． 【变式7-3】（2021 秋•石鼓区期末）已知是方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的一个根，则4 3