专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】（原卷版）

专题212 一元二次方程的解法【八大题型】 【人版】 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】.........................................................................................................1 【题型2 用配方法解一元二次方程】.....................................................................................................................2 【题型3 用公式法解一元二次方程】.....................................................................................................................3 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】.............................................................................................................3 【题型5 用指定方法解一元二次方程】................................................................................................................. 4 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】.............................................................................................................5 【题型7 用换元法解一元二次方程】.....................................................................................................................5 【题型8 配方法的应用】.........................................................................................................................................7 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x 2=p( p≥0)或(mx+n) 2=p( p≥0,m≠0) 的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（2022•建华区二模）解方程：−1 3 （x 2 ﹣）2+3 4 =¿0（开平方法）． 【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【变式1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2 9 ﹣（x 2 ﹣）2＝0（开平方 法）． 【变式1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于x 的方程：x2 3 ﹣＝1+x2（≠1）（开平方 法）． 1 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成( x+m) 2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的 方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程 两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系 数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通 过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型2 用配方法解一元二次方程】 【例2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2 6 ﹣x+3＝0； （2）请用配方法解一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）． 【变式2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2−2❑ √5 x=4． 【变式2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2 8 ﹣x 7 ﹣＝0． 【变式2-3】（2022 秋•潢川县期末）解方程：2x2 5 ﹣x+1＝0（用配方法） 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当b 2−4 ac≥0时，方程ax 2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为 x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a 的形式，这个 式子叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个 公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法 1 【题型3 用公式法解一元二次方程】 【例3】（2022 春•通州区校级月考）用公式法解方程：22 3 ﹣＝﹣4． 【变式3-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x 1 ﹣）（2x+2）（公式法）． 【变式3-2】（2022 秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2 2 ﹣❑ √2x 3 ﹣＝0． 【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2 7 ﹣x+6＝0． 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这 样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 【例4】（2022 秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x 3 ﹣）＝3x（x 3 ﹣）． 【变式4-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：（4 3 ﹣x）+（3x 4 ﹣）2＝0（因式分解 法）． 【变式4-2】（2022 秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1 2 ﹣x）2． 【变式4-3】（2022 秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2−❑ √3 x+❑ √2 x−❑ √6=¿0 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 【例5】（2022 秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2 144 ﹣ ＝0（直接开平方法）； （2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）； 1 （4）3（x 2 ﹣）2＝x（x 2 ﹣）（因式分解法）． 【变式5-1】（2022 秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程： （1）x（x 2 ﹣）+x 2 ﹣＝0（用因式分解法） （2）x2 4 ﹣x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解） （4）（x 4 ﹣）2＝（5 2 ﹣x）2（用直接开平方法） 【变式5-2】（2022 秋•简阳市月考）解下列方程 （1）（2x 1 ﹣）2＝7（直接开平方法） （2）2x2 7 ﹣x 4 ﹣＝0（用配方法） （3）2x2 10 ﹣ x＝3（公式法） （4）（3x 4 ﹣）2＝（3 4 ﹣x）2（因式分解法） （5）x 2+4− ❑ √x 2+8=26（用换元法解） （6）（2x2+1）2 2 ﹣x2 3 ﹣＝0（用换元法解） 【变式5-3】（2022 秋•恩阳区月考）解方程： ①x2+（❑ √3+❑ √2）x+❑ √6=¿0（因式分解法） ②5x2+2x 1 ﹣＝0（公式法） ③y2+6y+2＝0（配方法） ④9（x 2 ﹣）2＝121（x+1）2（直接开平方法） ⑤x+1 x 2 −2 x 2 x+1=¿1（换元法） ⑥（x2﹣x）2 5 ﹣（x2﹣x）+6＝0（适当方法） 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 【例6】（2022 春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2 5 ﹣（x+4）＝0； （2）x2 2 ﹣x 15 ﹣ ＝0． 1 【变式6-1】（2022 春•大观区校级期中）用适当的方法解方程 （1）x2﹣x 1 ﹣＝0； （2）（x+1）2 3 ﹣（x+1）＝0． 【变式6-2】（2022 春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x 6 ﹣＝0； （2）4（x 1 ﹣）2＝9（x 5 ﹣）2． 【变式6-3】（2022 春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x 1 ﹣）＝3（x 1 ﹣）； （2）1 2x2+2❑ √2x 5 ﹣＝0． 【题型7 用换元法解一元二次方程】 【例7】（2022 秋•安居区期末）为解方程（x2 1 ﹣）2 5 ﹣（x2 1 ﹣）+4＝0，我们可以将x2﹣ 1 视为一个整体，然后设x2 1 ﹣＝y，则原方程可化为y2 5 ﹣y+4＝0，解此方程得y1＝1， y2＝4． 当y＝1 时，x2 1 ﹣＝1，所以x=± ❑ √2； 当y＝4 时，x2 1 ﹣＝4，所以x=± ❑ √5． 所以原方程的根为x1=❑ √2，x2=−❑ √2，x3=❑ √5，x4=−❑ √5． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． 运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x 4 ﹣）＝﹣4； （2）x4+x2 12 ﹣ ＝0． 【变式7-1】（2021 春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4 6 ﹣x2+8＝0 是一个一元四次方 程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2 6 ﹣y+8 ＝0，解方程求得y 的值，进而得到原方程的四个根x1¿ ❑ √2，x2¿−❑ √2，x3＝2，x4＝﹣ 2． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方 法解答下列问题． 1 （1）解方程2（x2+3x）2 3 ﹣（x2+3x）﹣2＝0； （2）已知实数满足（2+❑ √3）2 3 ﹣2＝10+3❑ √3，请直接写出−❑ √32的值． 【变式7-2】（2022 秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y 3 ﹣）（x+y+4）＝﹣10，求x+y 的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t 3 ﹣）（t+4）＝﹣10，即t2+t 2 ﹣＝0 ∴（t+2）（t 1 ﹣）＝0 得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2 或x+y＝1 已知（x2+y2 4 ﹣）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【变式7-3】（2022 秋•甘井子区月考）【例】解方程（x 1 ﹣）2 5 ﹣（x 1 ﹣）+4＝0． 解：设x 1 ﹣＝y，则原方程可化为y2 5 ﹣y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1 时，即x 1 ﹣＝1，解得x＝2； 当y＝4 时，即x 1 ﹣＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． （1）请运用“整体换元法”解方程：（2x 5 ﹣）2﹣（2x 5 ﹣）﹣2＝0； （2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求x y 的值． 【题型8 配方法的应用】 【例8】（2022 秋•饶平县期末）已知，b，满足2+2b＝7，b2 2 ﹣＝﹣1，2 6 ﹣＝﹣17，则+b ﹣的值为（ ） ．1 B．﹣5 ．﹣6 D．﹣7 【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数，b，x 满足﹣b＝2，2﹣b2＝﹣4x，则多项式2+b﹣ b2的值可能为（ ） ．﹣5 B．﹣6 ．﹣7 D．﹣8 1 【变式8-2】（2022 春•仪陇县校级月考）已知+b++3＝2❑ √a+¿4❑ √b−1+¿2❑ √c−2，则+b+ 的值是 ． 【变式8-3】（2022 春•临湘市期中）阅读材料 例：求代数式2x2+4x 6 ﹣的最小值． 解：2x2+4x 6 ﹣＝2（x2+2x 3 ﹣）＝2（x+1）2 8 ﹣．可知当x＝﹣1 时，2x2+4x 6 ﹣有最小值， 最小值是﹣8． 根据上面的方法解决下列问题： （1）m2 4 ﹣m 5 ﹣最小值是 ． （2）多项式2+b2 4+6 ﹣ b+18 最小值可以是 ． 1