专题11 圆的最值问题（隐圆模型）（解析版）

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 分别是 边D、B 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为( ) ．1 B． ． D．2 【答】D 【分析】连接BD，证明△EDB FD △ ，可得∠BPD＝120°，由于BD 的长确定，则点P 在以为圆 心，D 为半径的弧BD 上，当点，P，在一条直线上时，P 有最小值． 【详解】解：连接D，因为∠B＝30°，所以∠BD＝60°， 因为B＝D，所以△BD 是等边三角形， 所以BD＝D 因为DE＝F，∠EDB＝∠FD＝60°， 所以△EDB FD ≌△ ，所以∠EBD＝∠FD， 因为∠FD＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P 在以为圆心，D 为半径的弧BD 上， 直角△B 中，∠B＝30°，B＝2 ，所以B＝2，＝4， 所以P＝2 当点，P，在一条直线上时，P 有最小值， P 的最小值是－P＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动， 当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 【变式训练1】．如图， 是⊙的弦，点在⊙内， ，连接 ，若 ⊙的半径是4，则 长的最小值为 ． 【答】 / 【分析】延长 交圆于点D，连接 ，过点作 交于点E，则 是等边 三角形，再确定点在以E 为圆心， 为半径的圆上，则 的最小值为 ，再求解 即可． 【详解】解：如图，延长 交圆于点D，连接 ，过点作 交于点E， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点在以E 为圆心， 为半径的圆上， 在 中， ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三 角形的勾股定理，根据定角定弦确定点的轨迹是解题的关键． 【变式训练2】．如图，正方形 的边长为4，点E 是正方形 内的动点，点P 是 边上的动点，且 ．连结 ， ， ， ，则 的最小值为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先证明 ，即可得点E 在以 为直径的半圆上移动，设 的中点为， 作正方形 关于直线 对称的正方形 ，则点D 的对应点是F，连接 交 于P，交半圆于E，根据对称性有： ，则有： ，则线段 的 长即为 的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点E 在以 为直径的半圆上移动， 如图，设 的中点为， 作正方形 关于直线 对称的正方形 ， 则点D 的对应点是F， 连接 交 于P，交半圆于E， 根据对称性有： ， 则有： ， 则线段 的长即为 的长度最小值，E ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故 的长度最小值为 ， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助 线，得出点E 的运动路线是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在△B 中，∠＝90°，＝8，B＝10，D 是上一点，且D＝3，E 是B 边 上一点，将△DE 沿DE 折叠，使点落在点F 处，连接BF，则BF 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】先由折叠判断出F 的运动轨迹是为以D 为圆心，D 的长度为半径的圆，当B、 D、F 共线且F 在B、D 之间时BF 最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF 的长 度即可． 【详解】解：由折叠知，F 点的运动轨迹为：以D 为圆心，D 的长度为半径的圆，如图所 示， 可知，当点B、D、F 共线，且F 在B、D 之间时，BF 取最小值， ∵∠＝90°，＝8，B＝10， ∴B=6， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：BD= ， ∴BF=BD－DF= ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的 最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F 点运动轨迹是解题关键． 【变式训练4】．如图，四边形 中， ， ， ， ，点 是四边形 内的一个动点，满足 ，则 面积的 最小值为 ． 【答】 【分析】取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，交 于 ，则 ，通过计算得出当 三点共线时， 有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于 ，交 于 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为等腰梯形， ， ， ， ， ， 点 在以点 为圆心，2 为半径的圆上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 三点共线时， 有最小值 ， 面积的最小值为 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点 位置的确定 是解题关键． 课后训练 1．如图，在Rt△B 中， ， ，B＝2，线段B 绕点B 旋转到BD，连 D，E 为D 的中点，连接E，则E 的最大值是 ． 【答】3 【分析】通过已知求得D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为D 的中点， ∴E 在以B 中点为圆心， 长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的 最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得E 的最大值． 【详解】解：∵B＝2，线段B 绕点B 旋转到BD， ∴BD＝2，∴ ． 由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动， ∵E 为D 的中点， ∴E 在以B 中点为圆心， 长为半径的圆上运动， E 的最大值即到B 中点的距离加上 长． ∵ ， ，B＝2， ∴到B 中点的距离即 ， 又∵ ， E ∴的最大值即 ． 故答为3． 【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键． 2．如图，在矩形BD 中，B＝2， ，点E 为B 中点，点F 为D 边上从到D 运动的 一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，点落在点G 处，在运动的过程中，点G 运动的 路径长为（ ） ． B． ． D．1 【答】 【详解】解：∵点E 为B 中点，点F 为D 边上从到D 运动的一个动点，联结EF，将 沿EF 折叠，∴ ，∴G 点在以E 为圆心，E 长为半径的圆上运动． 当F 与D 点重合时，如图，则G 点运动的路径为 ． ∵B＝2，点E 为B 中点，∴ ， ∵矩形BD，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ． ∵将 沿EF 折叠，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ． 故选：． 3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3 为半径 的圆上一点，连接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【详解】作B 的中点E，连接EM、E、D，则有D=3， ∵∠B=90°，即在 中， ， ∵E 是 斜边B 上的中点，∴ ， ∵M 是BD 的中点，E 是B 的中点，∴ ， ∴在 中， ，即 ； 当、M、E 三点共线时有 或者 ；即 ， ∴M 最小值为5，故选：． 4．如图，矩形 ， ， ，E 为 中点，F 为直线 上动点，B、G 关于 对称，连接 ，点P 为平面上的动点，满足 ，则 的最小值 ． 【答】 【分析】由题意可知， ，可得 ，可知点 在以 为弦， 圆周角 的圆上，（要使 最小，则点 要靠近蒂点 ，即点 在 的右侧）， 设圆心为 ，连接 ， ， ， ， ，过点 作 ，可知 为等腰 直角三角形，求得 ， ， ， ，再由三角形三边关系可得： ，当 点 在线段 上时去等号，即可求得 的最小值． 【详解】解：∵B、G 关于 对称， ∴ ，且 ∵E 为 中点，则 为 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴点 在以 为弦，圆周角 的圆上，（要使 最小，则点 要靠近蒂点 ， 即点 在 的右侧） 设圆心为 ，连接 ， ， ， ， ，过点 作 ， 则 ， ∵ ， ∴ ，则 为等腰直角三角形， ∴ ， 又∵ 为 中点， ∴ ， ， 又∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， 由三角形三边关系可得： ，当点 在线段 上时去等号， ∴ 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定 及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据 得知点 在以 为弦， 圆周角 的圆上是解决问题的关键． 5．如图，在锐角△B 中，B＝2，＝ ，∠B＝60°．D 是平面内一动点，且∠DB＝30°，则D 的最小值是 【答】 / 【分析】作⊥B 于，证明△为等腰直角三角形，求得B= +1，在B 上截取B=B=2，则△B 为等边三角形，以为圆心，2 为半径作⊙，根据∠DB=30°，可得点D 在⊙上运动，当DB 经 过圆心时，D 最小，其最小值为⊙的直径减去B 的长． 【详解】解：如图，作⊥B 于， ∵B=2，= ，∠B=60°， ∴B= B=1， = ∴ ， = ， ∴△为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， B=+B= +1， 在B 上截取B=B=2，则△B 为等边三角形， 以为圆心，2 为半径作⊙， ∵∠DB=30°， ∴点D 在⊙上运动， 当DB 经过圆心时，D 最小， 最小值为4-（ +1）=3- ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和 性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D 在⊙上运动． 6．如图，⊙的半径为2，弦B＝2，点P 为优弧B 上一动点，⊥P 交直线PB 于点，则△B 的 最大面积是 ． 【答】 【分析】连接、B，如图1，由=B=B=2 可判断△B 为等边三角形，则∠B=60°，根据圆周角定 理得∠PB= ∠B=30°，由于⊥P，所以∠=60°，因为B=2，则要使△B 的最大面积，点到B 的 距离要最大；由∠B=60°，可根据圆周角定理判断点在⊙D 上，且∠DB=120°，如图2，于是 当点优弧B 的中点时，点到B 的距离最大，此时△B 为等边三角形，从而得到△B 的最大面 积． 【详解】解：连接、B，如图1， = ∵B=2，B=2，∴△B 为等边三角形， ∴∠B=60°，∴∠PB= ∠B=30°， ∵⊥P，∴∠=60°， ∵B=2，要使△B 的最大面积，则点到B 的距离最大， 作△B 的外接圆D， ∵∠B=60°，点在⊙D 上，∴∠DB=120°，如图2， 当点优弧B 的中点时，点到B 的距离最大，此时△B 为等边三角形，且面积为 B2= ， ∴△B 的最大面积为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住 等边三角形的面积公式．