专题32 圆中的重要模型之隐圆模型（解析版）

专题32 圆中的重要模型之隐圆模型 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、动点定长模型（圆的定义） 若P 为动点，且B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x 轴 上，点的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M 是 中点， 连接 ．将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ） ．3 B． ． D．2 【答】 【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点的坐标为 得到 ，再证 明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点在以为圆心，半径为 4 的圆上运动，则当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最小值， 即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 的一条直角边 在x 轴上，点的坐标为 ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵点M 为 中点，点为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ； 在 中， ，∴ ， ∵将 以点为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点在以为圆心，半径为4 的圆上运动， ∴当点M 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值， ∵ ，∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为3，故选． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30 度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在 ， ，E 为 边上的任意一点，把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 【答】4 【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点 的运动路线，并确定 最小时点 所在位置 ，再求出 的长度即可．确定点 的运动路线是解题的关键． 【详解】解：∵ 沿 折叠，得到 ，∴ ， ∴点F 在以B 为圆心6 为半径的圆上，设以B 为圆心6 为半径的圆与 交于点 ， 则 ， 的最小值为 的长； 在 中，∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ 的最小值为4，故答为：4． 例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ， ，则 ___， ___． 【答】 ； 【分析】连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ，从而得到 、 、 在以 为圆心， 为半径 的圆上，根据圆周角定理可得 ，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接 ， 、 分别是 、 的中垂线， ， 、 、 在以 为圆心， 为半径的圆上， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ．故答为： ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到 、 、 在以 为圆心， 为半径的圆上是解题的关键． 例4．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形BD 中， ，E 是 的中点．以点为圆 心， 长为半径画圆，点P 是 上一动点，点F 是边 上一动点，连接 ，若点Q 是 的中点，连 接 ， ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过 作 于点 ，则 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，求出 ，则 ，由勾股定理得 ，由 ，所以当 、 、 、 四点共线时， 的值最小，所以 的最小值为 ． 【详解】解：取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过 作 于点 ， 正方形BD 中， ，E 是 的中点， ， 点 是 的中点，点 是 的中点， ， 点 在以 为圆心， 为半径的 上运动， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 当 、 、 、 四点共线时， 的值最小， 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题 的关键是正确确定点 的运动路径． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 在线段 上， ，则线段 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ， 可知点F 在以 为直径的半圆上运动，当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求 解即可． 【详解】解：设 的中点为，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴点F 在以 为直径的半圆上运动， ∴当点F 运动到 与 的交点 时，线段 有最小值， ∵ ，∴ ，，∴ ， 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动 轨迹是解题的关键． 例2．（2023 上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以 为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于，B 两 点，与y 轴交于，D 两点，点E 为 上一动点，作 于点F．当点E 从点B 出发，顺时针旋转到 点D 时，点F 所经过的路径长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接 ， ， ，先由圆周角定理得到点F 的运动轨迹是以 为直径的圆上，且点在圆 上，进而得到当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为 的长；根据勾股定理 和锐角三角函数求得 ， ，则 所对的圆心角的度数为 ，利用弧长 公式求得 的长即可求解． 【详解】解：连接 ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴点F 的运动轨迹是以 为直径的圆上，且点在圆上，当点E 在点B 处时， ，点F 与重合； 当点E 在点D 处时，∵以 为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于，D 两点， ∴ 即 ，点F 与重合， ∴当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为 的长； ∵ ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，则 所对的圆心角的度数为 ， ∴ 的长为 ，即点F 所经过的路径长为 ，故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F 的运动轨迹 以及点F 所经过的路径长为 的长是解答的关键． 例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点 从 点出发，在 内运动且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长 为______． 【答】 【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定P 的长最小时点P 的位 置，进而求出点P 的运动路径长． 【详解】解： 为 的直径， ∴点P 在以B 为直径的圆上运动，且在△B 的内部， 如图，记以B 为直径的圆的圆心为 ，连接 交 于点 ，连接 ∴当点 三点共线时，即点P 在点 处时，P 有最小值， ∵ ∴ 在 中， ∴∠ ∴ ∴ 两点距离最小时，点P 的运动路径长为 【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解 答本题的关键． 例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△B 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作 M⊥BP 于M．当点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 【答】 【详解】解：设B 的中点为Q，连接Q，如图所示： ∵为BM 的中点，Q 为B 的中点，∴Q 为△BM 的中位线， ∵M⊥BP，∴Q⊥B，∴∠QB＝90°， ∴点的路径是以QB 的中点为圆心， B 长为半径的圆交B 于D 的 ， ∵＝B＝4，∠B＝90°，∴B ＝4 ，∠QBD＝45°，∴∠DQ＝90°， ∴ 为⊙的 周长，∴线段BM 的中点运动的路径长为： π，故选：． 在 中， 点 、 为 、 的中点， ， ， ，即 ， 点 在以 为直径的半圆上， ， 点 的运动路径长为 ，故答为： ． 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型） 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相． 寻找隐圆技巧：B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆． 1（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，点 是 中点，连接 ，则 的最大值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据已知条件， ，得出 的轨迹是圆，取点 ，则 是 的中位线，则 求得 的正弦的最大值即可求解，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，据此即可求 解． 【详解】解：如图所示，以 为边向上作等边 ，过点 作 轴于点 ，则 ， 则 的横坐标为 ，纵坐标为 ，∴ ， 取点 ，则 是 的中位线，∴ ， ∵ ，∴点 在半径为 的 上运动，∵ 是 的中位线，∴ ， ∴ ，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大， 在 中， ， 过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ∵ 与 相切，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 设 ， ,则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 的最大值为 ，故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点 的轨 迹是解题的关键． 例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6 的等边 中，点E 在边 上自向运动，点 F 在边 上自向B 运动，且运动速度相同，连接 交于点P，连接 ，在运动过程中，点P 的运动 路径长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点作 于，作 于 ，连接 ，交 于 ，证明 ， 得 ，再证明 ，可得 ，确定点 的运动路径是以点 为圆心，以 为半径的弧 ，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作 于，作 于 ，连接 ，交 于 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是 的垂直平分线， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动路径是以点 为圆心，以 为半径的弧 ， 点P 的运动路径长为 ．故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点 的运动轨迹等知识，确定点 的运动 轨迹是解本题的关键． 例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形 中， ， ，点 是 上 的动点，以 为边作正方形 ，当点 从点 移动至点 时，求点 经过的路径长． 【答】点 经过的路径长为 ． 【分析】如图，由此B 交⊙于F，取 的中点，连接F、B、BD．易知△FB 是等腰直角三角形，F＝B， ∠FB＝90°，由∠FDB＝45°＝ ∠FB，推出点D 在⊙上运动，轨迹是 （图中红线），易知∠FG＝∠GF＝ 15°，推出∠FG＝150°，推出∠GB＝120°，易知B＝3 ，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】解：如图，由此B 交⊙于F，取 的中点，连接F、B、BD． 易知△FB 是等腰直角三角形，F＝B，∠FB＝90°， ∵∠FDB＝45°＝ ∠FB，∴点D 在⊙上运动，轨迹是 （图中红线）， 易知∠FG＝∠GF＝15°，∴∠FG＝150°，∴∠GB＝120°，易知B＝3 ， ∴点D 的运动轨迹的长为 ＝2 π． 【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，正确寻找点D 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 例4．（2023 上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙的半径为2，弦B 的长为2 ，点是优弧B 上的 一动点，BD⊥B 交直线于点D，当点从△B 面积最大时运动到B 最长时，点D 所经过的路径长为 ． 【答】 π 【分析】如图，以B 为边向上作等边三角形△BF，连接，B，F，DF，F 交B 于．说明点D 的运动轨迹是以 F 为圆心，F 为半径的圆，再利用弧长公式求解即可． 【详解】如图，以B 为边向上作等边三角形△BF，连接，B，F，DF，F 交B 于． ∵F=FB，=B，∴F⊥B，=B= ，∴s∠B= ， ∴∠B= =60° ∠ ，∴∠B=120° = ∴∠ ∠B=60°， ∵DB⊥B，∴∠DB=90°，∴∠DB=30°， ∵∠FB=60°，∴∠DB= ∠FB，∴点D 的运动轨迹是以F 为圆心，F 为半径的圆， ∵当点从△B 面积最大时运动到B 最长时，B 绕点B 顺时针旋转了30°， ∴BD 绕点B 也旋转了30°，∴点D 的轨迹所对的圆心角为60°， ∴运动路径的长 ，故答为： ． 【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是 学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 模型4、四点共圆模型 四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模 型作相应练习即可。 1）若平面上、B、、D 四个点满足 ，则、B、、D 四点共圆． 条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角． O D C B A 2）若平面上、B、、D 四个点满足 ，则、B、、D 四点共圆． 条件：线段同侧张角相等． 例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，为线段 的中点，点，，D 到点的距离相等，则∠与∠的 数量关系为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据题意可得四边形为 的圆内接四边形，即可求解． 【详解】解∶∵为线段 的中点，点，，D 到点的距离相等， ∴点，B，，D 到点的距离相等， ∴点，B，，D 在以为圆心的圆上，即四边形为 的圆内接四边形， ∴ ．故选：D 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形 中， ，若 ， 则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】首先根据题意得到点，B，，D 四点共圆，然后证明出 ，进而得到 ，然后 利用 直角三角形的性质得到 ，进而求解即可． 【详解】如图所示，∵ ∴点，B，，D 四点共圆， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ．故选：D． 【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握以上知识点． 例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形 的边长为 ， ，点 为 边的中点．点 从点 出发，以每秒个单位的速度向点 运动，点 同时从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 运动，连接 ，过点 作 于点 ．当点 到达点 时，点 也停止运动，则点 的运动路径 长是（ ） ． B．12 ． D． 【答】D 【分析】如图，连接 、 、 ，设 、 交于点 ， 交 于点 ，连接 ，设 中点 为 ，连接 、 ，根据菱形及等边三角形得性质可得 ， ，可得出 ，可 得 必经过点 ，根据 ，可得点 在以 为直径的圆上，根据 、 的速度及 菱形性质可得当点 达到点 时，点 达到点 ， ，可得点 点运动路径长是 的长，利用 勾股定理可求出 的长，根据圆周角定理可得 ，利用弧长公式即可得答． 【详解】如图，连接 、 、 ，设 、 交于点 ， 交 于点 ，连接 ，设 中点 为 ，连接 、 ， ∵菱形 的边长为 ， ，∴ ， 是等边三角形， ∵点 为 边的中点，∴ ， ， ， ∵点 的速度为每秒个单位，点 的速度为每秒 个单位，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴ 必经过点 ， ∵ ， ，∴点 在以 为直径的圆上，且 、 、 、 四点共圆， ∵当点 达到点 时，点 达到点 ， ，∴点 点运动路径长是 的长， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，即点 点运动路径长是 ．故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧 长公式，正确得出点 的运动轨迹是解题关键． 例4．（2023 江苏九年级期末）如图，在 中， ， ， ，点P 为平面内一 点，且 ，过作 交PB 的延长线于点Q，则Q 的最大值为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据题意可得、B、、P 四点共圆，由定理判定三角形相似，由此得到Q 的值与P 有关，当P 最大 时Q 即取最大值． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴、B、、P 四点共圆，B 为圆的直径，B= ∵ ∴ B PQ ∴△∽△ ∴ ， ，即 ∴当P 取得最大值时，Q 即为最大值 ∴当P=B=5 时，Q 取得最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确 定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键． 例5．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M 是 外一动点，满足 ，若 ， ， ，则 的长度为 ． 【答】 / 【分析】过点B 作 交 的延长线于点，过点D 作 于点E，过点D 作 于点 F，点,M,B,四点共圆，得 ，解直角三角形 ， ，面积法求 解， ，得 ． 【详解】解析：过点B 作 交 的延长线于点，过点D 作 于点E，过点D 作 于点F，如图所示： ∵ ∴点,M,B,四点共圆 ∵ ∴ ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ 【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形 是解题的关键． 课后专项训练 1．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形B 与等边三角形EFB 共端点B，B＝2， BF＝ ，△EFB 绕点B 旋转，∠BF 的最大度数（ ） ．30° B．45° ．60° D．90° 【答】 【分析】由旋转的性质可得点F 在以点B 为圆心，BF 长为半径的圆上，可得当F'与⊙B 相切时，∠BF'的度 数有最大值，由三边关系得△BF′是含30 度角的直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， △ ∵EFB 绕点B 旋转，∴点F 在以点B 为圆心，BF 长为半径的圆上， ∴