专题36 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（原卷版）

专题36 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助 线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专 题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型解读】已知B 是⊙的一条弦，连接，B，则∠＝∠B． O B A 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径 构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个 端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，B，D 是 的弦，延长B，D 相交于点P．已知 ， ，则 的度数是（ ） ．30° B．25° ．20° D．10° 例2（2023•南召县中考模拟）如图，⊙的直径B 与弦D 的延长线交于点E，若DE＝B，∠＝84°，则∠E 等于 （ ） ．42° B．28° ．21° D．20° 例3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点是⊙的直径B 上的一点，过点作弦DE，使D=．若 的 度数为35°，则 的度数是_____． 例4．（2023 年山东省淄博市中考数学真题）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是 边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为 （ ） ． B． ． D． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知B 是⊙的一条弦，过点E⊥B，则E＝BE，E2+E2=2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过 弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半 径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心 距。 例1．（2023 年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽 是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点，D 时，恰好与 边相切，则此餐盘的半径等于 m． 例2．（2023 年四川省广安市中考数学真题）如图， 内接于 ，圆的半径为7， ，则弦 的长度为 ． 例3．（2021·湖北中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全 书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已 知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6 米， 半径长为4 米．若点 为运行轨道的最低 点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ） ．1 米 B． 米 ．2 米 D． 米 例4．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图所示，圆 的直径 与弦 相交于点 ．已知圆的 直径 ， ，则 的值是（ ） ． B．8 ． D．4 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型解读】如图，已知、B、P 是⊙上的点，点是圆上一动点，连接、B，则∠B= ∠B。 例1．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 例2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，点 是 上一点，若 ，则 的度数 为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分 别交 于 、 两点，若 的直径为8，则弦 长为（ ） ．8 B．4 ． D． 例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图， 为 的两条弦，D，G 分别为 的中点， 的半径为2．若 ，则 的长为（ ） ．2 B． ． D． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型解读】如图，已知B 是⊙的直径，点是圆上一点，连接、B，则∠B=90。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90 的圆 周角的构造。 例1．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示， 是 的直径，弦 交 于点E，连接 ，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 例2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图， 是⊙ 的直径， ， ， ，则 ⊙ 的半径为（ ） ． B． ． D． 例3．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图， 为 的直径，弦 交 于点 ， ， ， ，则 （ ） ． B． ．1 D．2 模型5、遇90°的圆周角连直径 【模型解读】如图，已知圆周角∠B=90，连接B，则B 是⊙的直径。 O C B A 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直 径。 例1．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点，B，，D 在 上， ，则 的长为（ ） ． B．8 ． D．4 例2．（2023·四川达州·统考二模）如图，半径为 的 经过原点和点 ，B 是y 轴左侧 优弧上 一点，则 为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部 分的面积为 ．（结果保留 ） 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型解读】如图，已知直线B 连与圆相切于点，连接，则⊥B。 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的 有关性质解题。 例1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图， 、 分别切 于点 、 ，点 为优弧 上一点，若 ，则 的度数为（ ） B ． B． ． D． 例2．（2023 年重庆市中考数学真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的长度是（ ） ． B． ． D． 例3．（2022 春·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图， 是圆 的直径， 是切线， 是切点，弦 ， 与 的延长线交于点 ， ，则 （ ） ． B． ． D． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型解读】证明直线B 是⊙的切线 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再 证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点的直线B，连接，证明⊥B，则直线B 是⊙的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直 线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点作⊥B，证明等于⊙的半径，则直线B 是⊙的切 线． 例1．（2023 年四川省攀枝花市中考数学真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，求证：直线 与 相切． 例2．（2023 秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图， ， ， 的直径为6．求证： 直线 是 的切线． 例3．（2023 年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，延长 到点 G，使得 ，连接 ，过点作 ，交 于点F，交点 于点D，过点D 作 ．交 的延长线于点E． (1)求证： 与 相切．(2)若 ， ，求 的长． B 例4．（2023 年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，过点D 作 ，交 的延长线于点F，交 的延长线于点E，连接 ．若 ． (1)求证： 为 的切线．(2)若 ， ，求 的半径． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△B 中，∠=90°，=4，B=3，⊙为Rt△B 的内切圆，则图 中阴影部分的面积为（结果保留π） ． 例2．（2023 秋·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 为 的内切圆，设 的半径为 ， 的长为，则 的值为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E， F，若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ） ．2r， B．0， ．2r， D．0， 课后专项训练 1．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的长度是（ ） ． B． ． D． 2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图， 、 分别切 于点 、 ，点 为优弧 上一点，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 3．（2023 年四川省宜宾中考数学真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点．若 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 4．（2023 年四川省凉山州数学中考真题）如图，在 中， ，则 （ ） ．1 B．2 ． D．4 5．（2023 年重庆市中考数学真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点，连接 ，若 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 6．（2023·广东·一模）如图， 是⊙的直径， 交⊙于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是 （ ） ．若 ，则 是⊙的切线 B．若 ，则 是⊙的切线 ．若 ，则 是⊙的切线 D．若 是⊙的切线，则 7．（2023 秋·山东聊城·九年级校考开学考试）如图， 为 的直径， 为 的弦，连接 、 ，若 ，则 的度数为 度． 8．（2023 秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图， 的弦 ，点E 为垂足， ， ，且 则 的半径为 ． AB BC D DE AC  E DE DO  DE AB AC  DE CD DB  DE DE AB AC  9．（2023 秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，若 ，则 和 的度数分别为 ． 10．（2022 秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图， 的内切 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且 ， 的周长为 ，则 的长为 ． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，若 的半径为2，则 的长为 12．（2023 秋·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的弦，点在 上，以 为边作等边 三角形 ，点在圆内，且 恰好经过点，其中 ， ，则 的长为 ． 13．（2023·江苏·中考真题）如图， 是 的直径，点 ， 在 上．若 ，则 度． 14．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所 示放置于桌面上，并量出 ，则这张光盘的半径是 ．（精确到 ．参考数据： ） 15．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，⊙的直径B＝4，P 为⊙上的动点，连结P，Q 为P 的中点，若 点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是 ． 16．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）如图，在 中，弦 ，D 是 一 点， ，则劣弧 的长为 ． 17．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在 的格图中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， ， 都在格点上，线段 与弧 交于点 ，则图中弧 的长度为 ． 18．（2023·广东东莞·校考一模）如图，从一块半径为1 米的圆形铁皮圆上剪出一个圆心角为90 度的扇形 ，且点、B、都在圆上，则此时扇形的面积（保留 ）是 平方米． 19．（2023 秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，点 在矩形 的内部， 与 ， 都相 切，且经过点 ，与 相交于点 ．若 的半径为， ．则 的长是 ． 20．（2022 秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 与弦 的延长线交于点 ，若 ， ，求 的度数． 21．（2023 秋·湖北武汉·九年级期中）如图， 的弦 交直径 于E， ， ，若 ，求 的长． 22．（2023 秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图 是 的直径， 是 的弦，延长 到点， 使 ．过D 点作 于E，求证： 为 的切线 23．（2023 秋·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在 上，且以 为直径的 经过点 ． (1)求证： 是 的切线；(2)当 ，且 时，求 的半径． 24．（2023 秋·江苏·九年级专题练习）如图， 为 的直径，P 在 的延长线上，为圆上一点，且 (1)求证： 与 相切；(2)若 ，求 的半径． 25．（2023·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 交 于点 ，弦 ．(1)求证： 垂直平分 ；(2)求证： 是 的切线．