101 中考数学压轴解题技巧机密

《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与圆相关的压轴题（附答） 方法提炼： 1、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的 问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知 识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂” 的问题转化为“简单”的问题。 2、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”， “从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系， 从而使问题得以解决。 典例引领： 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于，B 两点（在B 的左侧），与y 轴正半轴交于点， 对称轴为直线x＝1，且B＝， （1）求抛物线的表达式； （2）D 是直线B 上方抛物线上一点，DE⊥B 于E，若E＝3DE，求点D 的坐标； （3）将抛物线向左平移，使顶点P 落在y 轴上，直线l 与抛物线相交于M、两点（点 M，都不与点P 重合），若以M 为直径的圆恰好经过，P 两点，求直线l 的表达式． 分析：（1）x＝﹣ ，则b＝2，设点（0，），则点B（，0），将点B 的坐标代入 二次函数表达式，即可求解； （2）3DE＝3× D，E＝﹣E＝m﹣ D，即可求解； （3）在点处， ，在点P 处， ，即可求解． 解：（1）x＝﹣ ，则b＝2， 设点（0，），则点B（，0）， 将点B 的坐标代入二次函数表达式并解得：＝3， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的顶点为（1，4）； （2）过点D 作y 轴的平行线交直线B 与点， 过点作x 轴的平行线交D 于点R， 将点、B 的坐标代入一次函数表达式得： 直线B 的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（m，﹣m2+2m+3），则点（m，3﹣m）， ∵B＝B＝3，∴∠B＝∠B＝45°， ∴R＝＝m，D＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m， 3DE＝3× D， E＝﹣E＝m﹣ D， ∵E＝3DE，即R＝2D， 则m＝2（﹣m2+3m），解得：m＝ ， 则点D（ ， ）； （3）平移前函数的顶点为（1，4）， 则平移后函数的表达式为：y＝﹣x2+4， 如图所示，以M 为直径的圆恰好经过，P 两点， 则∠M＝∠MP＝90°， 在点处， 过点M、分别作x 轴的垂线交于点G、， ∵∠GM+∠＝90°，∠+∠＝90°， ∴∠MG＝∠＝α， 设点M、的坐标分别为（m，4﹣m2）、（，4﹣2），（m＜，m＜0）， 则t∠MG＝t∠＝α， 即： …①， 在点P 处， 同理可得： …②， 联立①②并整理得：m2+2＝4，m＝﹣1， 解得：m＝± ，＝ ， 将点M、的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 并解得： k＝ ，b＝3， 故直线l 的表达式：y＝ x+3． 点评：本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、解直角三角形、圆的基本知识，其 中（3），数据计算量大，有一定的难度 跟踪训练： 1．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m 的图象经过点P（4，5），与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交于点，且S△PB＝10． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点Q 使得△PQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐 标，若不存在，请说明理由； （3）过、P、三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D 点坐标及四边形PD 的周长． 2．已知如图，二次函数y＝x2+bx+2 的图象经过（3，3），与x 轴正半轴交于B 点，与y 轴 交于点，△B 的外接圆恰好经过原点． （1）求B 点的坐标及二次函数的解析式； （2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m 为整数），点M 为△B 的外接圆上一动点，求 线段QM 长度的范围； （3）将△绕平面内一点P 旋转180°至△'''（点'与为对应点），使得该三角形的对应点中 的两个点落在y＝x2+bx+2 的图象上，求出旋转中心P 的坐标． 3．如图，已知动圆恒过定点B（0，﹣1），圆心在抛物线y＝﹣ x2上运动，M 为⊙在x 轴 上截得的弦（点M 在点左侧）． （1）当点坐标为（ ，）时，求的值，并计算此时⊙的半径与弦M 的长； （2）当⊙的圆心运动时，判断弦M 的长度是否发生变化？若改变，请举例说明；若不 变，请说明理由； （3）连接BM，B，当△BM 与△B 相似时，计算点M 的坐标． 4．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直 线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点． （1）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点（0，﹣3）为圆心，5 为半径作 圆，交x 轴的负半轴于点B，求过点B 的圆的切线的解析式； （2）若抛物线y＝x2（≠0）与直线y＝kx+b（k≠0）相切于点（2，2），求直线的解析 式； （3）若函数y＝ x2+（﹣k﹣1）x+m+k﹣2 的图象与直线y＝﹣x 相切，且当﹣1≤≤2 时， m 的最小值为k，求k 的值． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5 与x 轴，y 轴分别交于，两点，抛物线y ＝x2+bx+经过，两点，与x 轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B 点坐标； （2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，连接M、MB、B，当点M 运动到某一位置时 四边形MB 面积最大，求此时点M 的坐标及四边形MB 的面积； （3）如图2，若P 点是半径为2 的⊙B 上一动点，连接P、P，当点P 运动到某一位置时， P+ P 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，（﹣9m，0），B（m，0），（m＞0）以B 为直径的⊙M 交y 正半轴于点，D 是⊙M 的切线，交x 正半轴于点D，过作E⊥D 于E，交⊙M 于F． （1）求的坐标：（用m 的式子表示） （2）①请证明：EF＝B； ②用含m 的式子表示△F 的周长； ③若D＝ ，S△F，S△BD分别表示△F，△BD 的面积，记k＝ ，对于经过原点的 二次函数y＝x2﹣x+，当 ≤x≤ k 时，函数y 的最大值为，求此二次函数的解析式． 7．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2（≠0）与x 轴交于（﹣3，0），B（1，0）两点，与y 轴交于 点，直线y＝﹣x 与该抛物线交于E，F 两点． （1）求抛物线的解析式． （2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作P⊥EF 于点，求P 的最大值． （3）以点为圆心，1 为半径作圆，⊙上是否存在点M，使得△BM 是以M 为直角边的直 角三角形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由． 8．已知：直线y＝﹣x﹣4 分别交x、y 轴于、两点，点B 为线段的中点，抛物线y＝x2+bx 经过、B 两点， （1）求该抛物线的函数关系式； （2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以D 为半径作⊙D，连结D、D，问在抛物线 上是否存在点P，使S△P＝2S△D？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点（不与、重合），连结E、E，问在x 轴上 是否存在点Q，使∠Q：∠E＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不 存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，直线BD 交抛物 线于点D，并且D（2，﹣3），t∠DB＝ （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点B、M、、，求四边形 BM 面积的最大值； （3）在（2）中四边形BM 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线 上是否存在一个以Q 点为圆心，Q 为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐 标；若不存在，请说明理由． 10．如图，一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于、B 两点，点P 在以 （﹣2，0）为圆心，1 为半径的圆上，Q 是P 的中点 （1）若＝ ，求k 的值； （2）若Q 长的最大值为 ，求k 的值； （3）若过点的二次函数y＝x2+bx+同时满足以下两个条件：①+b+＝0；②当≤x≤+1 时， 函数y 的最大值为4，求二次项系数的值． 11．如图，抛物线y＝x2+6x（为常数，＞0）与x 轴交于，两点，点B 为抛物线的顶点，点 D 的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD 并延长与过，，B 三点的⊙P 相交于点． （1）求点的坐标； （2）过点作⊙P 的切线E 交x 轴于点E． ①如图1，求证：E＝DE； ②如图2，连接，BE，B，当＝ ，∠E＝∠BE 时，求 ﹣ 的值． 12．如图，抛物线y＝x2+bx 的对称轴为y 轴，且经过点（ ， ），P 为抛物线上一点， （0， ）． （1）求抛物线解析式； （2）Q 为直线P 上一点，且满足Q＝2P．当P 运动时，Q 在某个函数图象上运动，试 写出Q 点所在函数的解析式； （3）如图2，P 为半径作⊙P 与x 轴分别交于M（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）两点， 当△M 为等腰三角形时，求点P 的横坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形B 是边长为2 的正方形，二次函数y＝﹣ x2+bx+ 的图象经过、E 两点，且点E 的坐标为（﹣ ，0），以为直径作半圆，圆心为D． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线BE 是⊙D 的切线； （3）若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P，M 是线段B 上的一个动点（点M 与点B， 不重合），过点M 作M∥BE 交x 轴与点，连结PM，P，设M 的长为t，△PM 的面积为 S，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．S 是否存在着最大值？若存在， 求出最大值；若不存在，请说明理由． 参考答 1．解：（1）y＝x2﹣2x+m，函数的对称轴为：x＝1， S△PB＝10＝ ×B×yP＝ B×5，解得：B＝4， 故点、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）， 将点P 的坐标代入上式并解得：＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）①当、B 在点Q（Q′）的同侧时，如图1， △PQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称， 故点Q′（﹣2，5）； ②当、B 在点Q 的两侧时，如图1， 设PQ 交x 轴于点E，分别过点、B 作PQ 的垂线交于点M、， △PQ 和△PBQ 的面积相等，则M＝B， 而∠BE＝∠EM，∠ME＝∠BE＝90°， ∴△ME≌△BE（S）， ∴E＝BE， 即点E 是B 的中点，则点E（1，0）， 将点P、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PQ 的表达式为：y＝ x﹣ …②， 联立①②并解得：x＝﹣ 或4（舍去4）， 故点Q（﹣ ，﹣ ）， 综上，点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣ ，﹣ ）； （3）过点P 作P′⊥x 轴于点′，则点′（4，0），则′＝P′＝5，而′＝5， 故圆′是过、P、三点的圆， 设点D（m，m2﹣2m﹣3），点′（4，0），则D′＝5， 即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25， 化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0， 解得：m＝0 或﹣1 或1 或4（舍去0，﹣1，4）， 故：m＝1，故点D（1，﹣4）； 四边形PD 的周长＝P++D+PD＝5 + + +3 ＝6 +4 ． 2．解：（1）过点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为、G，连接B， ∵∠G+∠B＝90°，∠B+∠B＝90°，∴∠B＝∠G， ∠B＝∠G＝90°，G＝＝3，∴△B≌△G（S）， ∴G＝B＝1，故点B（4，0）， 将点、B 的坐标代入二次函数y＝x2+bx+2 并解得：＝﹣ ，b＝ ， 故抛物线的表达式为： ； （2）由题得： ，m1＝1；m2＝ （舍） 所以m＝1，故点Q（1，4）， 设圆的圆心为，则点在和B 中垂线的交点上，即点（2，1）， 则圆的半径为 ，Q＝ ＝ ， 故 ≤QM≤ ； （3）抛物线的表达式可整理为：y＝﹣ （5x+3）（x﹣4）， 设旋转中心P 的坐标为：（m，）， 由中点公式得：点旋转后′的坐标为（2m，2）， 同理点、旋转后对应点′、′的坐标分别为：（2m﹣3，2﹣3）、（2m，2﹣2）， ①当点′、′在抛物线上时，将点′、′的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ； ②当点′、′在抛物线上时，将点′、′的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ； ③当点′、′在抛物线上时， 同理可得：m 无解； 综上，点P 的坐标为： 或 ． 3．解：（1）把点（ ）代入 得， ＝﹣ ， ∵B（0，﹣1）， ∴B∥x 轴， ∴⊙的半径为 ， 如图1，过点作E⊥M 于点E，连接M， 则M＝B＝ ， ∴ME＝ ＝ ＝1， 由垂径定理，M＝2ME＝2×1＝2． 故此时⊙的半径为 ，弦M 的长为2； （2）M 不变．如图2，理由如下： 设点（m，），则B2＝m2+（+1）2， 在Rt△ME 中，ME2＝M2﹣E2＝m2+（+1）2﹣2＝m2+2+1， ∵点在抛物线y＝﹣ x2上， ﹣ m2＝， 将＝﹣ 代入ME2＝m2+2+1 得， ME2＝1， ME＝1， 由垂径定理得，M＝2ME＝2×1＝2（是定值，不变）； （3）由（2）知M＝2， 设M（x，0），则（x+2，0）． 当△BM 与△B 相似，有以下情况： ①M、在y 轴同侧， ∵△BM 与△B 相似， ∴ ， 即B2＝M•， ∴x（x+2）＝1， 整理得，x2+2x﹣1＝0， 解得： ， ∴当M、在y 轴右侧时，M（﹣1+ ，0）， 当M、在y 轴左侧时，M（﹣1﹣ ，0）， ②M、在y 轴两侧时， ∵△BM 与△B 相似， ∴ ， 即B2＝M•， ﹣x（x+2）＝1， 整理得，x2+2x+1＝0， 解得x＝﹣1， 此时△BM 与△B 全等，M（﹣1，0）， 综合以上可得，M 点的坐标为（﹣1+ ，0）或（﹣1﹣ ，0）或（﹣1，0）． 4．解：（1）如图1，连接B，记过点B 的⊙切线交y 轴于点E ∴B＝5，∠BE＝90° ∵（0，﹣3），∠B＝90° ∴＝3 ∴B＝ ＝4 ∴B（﹣4，0） ∵∠B＝∠BE，∠B＝∠BE＝90° ∴△B∽△BE ∴ ∴E＝ ＝ ∴E＝E﹣＝ ∴E（0， ） 设直线BE 解析式为：y＝kx+ ∴﹣4k+ ＝0，解得：k＝ ∴过点B 的⊙的切线的解析式为y＝ x+ （2）∵抛物线y＝x2经过点（2，2） ∴4＝2，解得：＝ ∴抛物线解析式：y＝ x2 ∵直线y＝kx+b 经过点（2，2） ∴2k+b＝2，可得：b＝2﹣2k ∴直线解析式为：y＝kx+2﹣2k ∵直线与抛物线相切 ∴关于x 的方程 x2＝kx+2﹣2k 有两个相等的实数根 方程整理得：x2﹣2kx+4k﹣4＝0 ∴△＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣4）＝0 解得：k1＝k2＝2 ∴直线解析式为y＝2x﹣2 （3）∵函数y＝ x2+（﹣k﹣1）x+m+k﹣2 的图象与直线y＝﹣x 相切 ∴关于x 的方程 x2+（﹣k﹣1）x+m+k﹣2＝﹣x 有两个相等的实数根 方程整理得： x2+（﹣k）x+m+k﹣2＝0 ∴△＝（﹣k）2﹣4× （m+k﹣2）＝0 整理得：m＝（﹣k）2﹣k+2，可看作m 关于的二次函数， 对应抛物线开口向上，对称轴为直线x＝k ∵当﹣1≤≤2 时，m 的最小值为k ①如图2，当k＜﹣1 时，在﹣1≤≤2 时m 随的增大而增大 ∴＝﹣1 时，m 取得最小值k ∴（﹣1﹣k）2﹣k+2＝k，方程无解 ②如图3，当﹣1≤k≤2 时，＝k 时，m 取得最小值k ∴﹣k+2＝k，解得：k＝1 ③如图4，当k＞2 时，在﹣1≤≤2 时m 随的增大而减小 ∴＝2 时，m 取得最小值k ∴（2﹣k）2﹣k+2＝k，解得：k1＝3+ ，k2＝3﹣ （舍去） 综上所述，k 的值为1 或3+ ． 5．解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0 时，y＝5 ∴（0，5） y＝﹣5x+5＝0 时，解得：x＝1 ∴（1，0） ∵抛物线y＝x2+bx+经过，两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5 当y＝x2﹣6x+5＝0 时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0） （2）如图1，过点M 作M⊥x 轴于点 ∵（1，0），B（5，0），（0，5） ∴B＝5﹣1＝4，＝5 ∴S△B＝ B•＝ ×4×5＝10 ∵点M 为x 轴下方抛物线上的点 ∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴M＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5 ∴S△BM＝ B•M＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8 ∴S 四边形MB＝S△B+S△BM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18 ∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形MB 面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M 是抛物线的顶点时，面积最大求解） （3）如图2，在x 轴上取点D（4，0），连接PD、D ∴BD＝5﹣4＝1 ∵B＝4，BP＝2 ∴ ∵∠PBD＝∠BP ∴△PBD∽△BP ∴ ＝ ＝ ， ∴PD＝ P ∴P+ P＝P+PD ∴当点、P、D 在同一直线上时，P+ P＝P+PD＝D 最小 ∵D＝ ∴P+ P 的最小值为 6．解：（1）∵（﹣9m，0），B（m，0）， ∴＝9m，B＝m，B＝10m ∵B 是直径 ∴∠B＝90° ∴∠+∠B＝90°，且∠B+∠B＝90° ∴∠＝∠B，且∠＝∠B＝90° ∴△∽△B ∴ ∴2＝•B＝9m2， ∴＝3m ∴点（0，3m） （2）①连接M，F， ∵D 是⊙M 的切线 ∴M⊥D，且E⊥D ∴E∥M， ∴∠E＝∠M， ∵M＝M ∴∠M＝∠M ∴∠E＝∠M，且⊥，E⊥E ∴E＝， ∵四边形BF 是圆内接四边形 ∴∠F+∠B＝180°，且∠F+∠EF＝180°， ∴∠EF＝∠B，且E＝，∠B＝∠E＝90° ∴△EF≌△B（S） ∴EF＝B ②∵＝9m，＝3m，B＝m， ∴＝ ＝3 m，B＝ ＝ m， ∵∠E＝∠B，＝，∠E＝∠＝90° ∴△E≌△（S） ∴＝E＝9m， ∵△EF≌△B ∴F＝B＝ m，B＝EF＝m， ∴F＝E﹣EF＝9m﹣m＝8m ∴△F 的周长＝+F+F＝3 m+8m+ m＝4 m+8m ③∵B＝10m ∴M＝M＝MB＝5m，M＝4m， ∵t∠MD＝ ∴ ∴m＝1 ∴F＝8，E＝3＝，E＝＝9，EF＝B＝1，BM＝M＝M＝5 ∴DM＝ ＝ ∴BD＝DM﹣MB＝ ﹣5＝ ∴S△BD＝ ×3× ＝ ，S△F＝ ×8×3＝12 ∴k＝ ∴ ≤x≤4 ∵二次函数y＝x2﹣x+经过原点 ∴＝0， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣x， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣x 与x 轴的交点为（0，0），（ ，0），对称轴为x＝ 当