专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法（学生版）

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考 法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．如图，已知 ，P 是 的平分线 上的任意一点， 交 于点 D， 于点E，如果 ，求 的长． 【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ， ． 求证： 平分 ． 【变式训练2】图，已知E⊥B，F⊥．E＝B，F＝，BF 与E 相交于点M． (1)E＝BF； (2)E⊥BF； (3)连接M，求证：M 平分∠EMF． 【变式训练3】已知点是∠M 平分线上一点，∠BD 的两边B、D 分别与射线M、相交于B，D 两点，且∠B+∠D＝180°．过点作E⊥B，垂足为E． (1)如图1，当点E 在线段B 上时，求证：B＝D； (2)如图2，当点E 在线段B 的延长线上时，探究线段B、D 与BE 之间的等量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，若∠M＝60°，连接BD，作∠BD 的平分线BF 交D 于点F，交于点， 连接D 并延长交B 于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB 的长． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例1 如图，△B 的面积为9m2，BP 平分∠B，P⊥BP 于P，连接P，则△PB 的面积为 ______m2． 【变式训练1】如图，在△B 中，∠＝90°，B＝，∠B 的平分线BD 交于点D，E BD ⊥ ，交BD 的延长线于点E，若BD＝4，则E＝________． 【变式训练2】如图，在△B 中，∠=90°，B=，D 是上一点，E⊥BD 交BD 的延长线于E，E= BD，且DF⊥B 于F，求证：D=DF 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例1 已知：如图， ， ， 分别平分 和 ，点E 在 上．用 等式表示线段 、 、 三者之间的数量关系，并证明． 【变式训练1】如图1，在△B 中，∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点． (1)求证：∠＝90°＋ ∠B； (2)当∠B＝90°时，且＝3D(如图2)，判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证明． 【变式训练2】如图，∠B= =90° ∠ ，E 是B 的中点，DE 平分∠D．求证：E 是∠DB 的平分线． (提示：过点E 作EF⊥D，垂足为F．) 【变式训练3】如图所示，已知B( 2 ﹣，0)，(2，0)，为y 轴正半轴上的一点，点D 为第二 象限一动点，点E 在BD 的延长线上，D 交B 于点F，且∠BD＝∠B． (1)求证：∠BD＝∠D； (2)求证：D 平分∠DE； (3)若在D 点运动的过程中，始终有D＝D+DB，在此过程中，∠B 的度数是否发生变化？如 果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠B 的度数． 【变式训练4】已知：如图1，在 中， 是 的平分线．E 是线段 上一点 (点E 不与点，点D 重合)，满足 ． (1)如图2，若 ，且 ，则 ________ ， _______ ． (2)求证： ． (3)如图3，若 ，请直接写出 和 的数量关系． 课后训练 1．如图①， 是四边形 的一个外角， // ， ，点 在 的延 长线上， ， ，垂足为 ． (1)求证：① 平分 ；② ． (2)如图②，若 ， ， ．求 的度数． 2．已知：如图1，四边形BD 中， ，连接、BD，交于点E， ． (1)求证： ； (2)如图2，过点B 作 ，交D 于点F，交于点G，若 ，求证： ； (3)如图3，在(2)的条件下，若 ，求线段GF 的长． 3．如图1，正方形BD 中，点E 是B 延长线上一点，连接DE，过点B 作BF⊥DE 于点F， 交D 于点G． (1)求证：G=E； (2)如图2，连接F，．若BF 平分∠DBE，求证：F 平分∠E； (3)如图3，若G 为D 中点，B=2，求EF 的长． 4．已知：在四边形 中， 于E，且 ． (1)如图1，求 的度数； (2)如图2， 平分 交 于F，点G 在 上，连接 ，且 ．求证： ； (3)如图3，在(2)的条件下， ，过点F 作 ，且 ，若 ，求线段 的长． 5．如图， 的 和 的平分线 ， 相交于点 ， ． (1)求 的度数； (2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ； (3)如图，在⑵的条件下，在 上取点 ，使得 ，且 ， ， 求 的周长． 6．如图所示， 是 的高，点为 的垂直平分线与 的交点， ． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，若 ，求证： ； (3)在(2)的条件下，若 ， ，求 的长． 7．材呈现：如图是华师版八年级上册数学材第96 页的部分内容． 请根据材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： (1)如图②．在△B 中，∠=90°，D 平分∠B 交B 于点D．若=3，B=4，求D 的长； (2)如图③．在△B 中，∠B=90°，D 平分∠B 交B 于点D，点P 在D 上，点M 在上．若=6， B=8，则P+PM 的最小值为 ．