82 四边形中的辅助线问题

四边形中的辅助线问题 1、如图1，已知正方形BD，E 是线段B 上一点，是线段B 延长线上一点，以E 为边在直 线B 的上方作正方形EFG． （1）连接GD，求证DG＝BE； （2）连接F，求t∠F 的值； （3）如图2，将图1 中正方形BD 改为矩形BD，B＝3，B＝8，E 是线段B 上一动点 （不含端点B，），以E 为边在直线B 的上方作矩形EFG，使顶点G 恰好落在射线D 上． 当点E 由B 向运动时，判断t∠F 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明 理由． 解：（1）如图1， ∵正方形BD 和正方形EFG 中， ∴∠BD＝∠EG＝90°，B＝D，E＝G， ∴∠BE＝∠GD， ∴△BE≌△GD（SS）， ∴DG＝BE； （2）如图2，过点F 作FM⊥B 于M，则∠B＝∠EF＝∠FME＝90°， ∴∠BE+∠EB＝∠FEM+∠EB＝90°， 即∠BE＝∠FEM， 又E＝EF， ∴△BE≌△MEF（S）， ∴FM＝BE，EM＝B， 又BE+E＝B，EM＝E+M， ∴M＝FM， 在Rt△FM 中，t∠F＝ ＝1； （3）如图2，过点F 作FM⊥B 于M，则∠B＝∠EF＝∠FME＝90°， ∴∠BE+∠EB＝∠FEM+∠EB＝90°， 即∠BE＝∠FEM， 同理可证∠GD＝∠FEM， 又G＝EF， ∴△DG≌△MEF，△BE∽△MEF， ∴EM＝D＝B＝8， ＝ ， 设BE＝，则EM＝E+M＝B＝BE+E， ∴M＝BE＝， ∴ ＝ ， ∴FM＝ ， t ∴∠F＝ ＝ ＝ ，即t∠F 的值为定值． 2、已知在▱BD 中，点E，F 分别为边B，B 上的点，∠DE＝∠BF，DE，F 交于点M． （1）如图1，若∠B＝90°，求证：△EM∽△FB； （2）若E 为B 中点． ①如图2，若F⊥B， ＝ ，求 的值； ②如图3，若∠B＝60°， ＝，请直接写出 的值（用的式子表示）． 证明：（1）∵四边形BD 是平行四边形，∠B＝90°， ∴四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝∠B＝90°，且∠DE＝∠BF， ∴∠BD﹣∠BF＝∠B﹣∠BF ∴∠ED＝∠FB，且∠BF＝∠BF， ∴△EM∽△FB （2）如图2，过点E 作E⊥F 于点， ∵E⊥F，BF⊥F， ∴E∥BF， ∴ ∴F＝2，BF＝2E， ∵ ＝ ， ∴D＝3BF， ∴D＝6E， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥E ∴△ME∽△MD ∴ ，∠DE＝∠ME， ∴M＝6M， ∴＝7M， ∵∠DE＝∠ME，∠BF＝∠DE， ∴∠BF＝∠ME，且∠E＝∠E， ∴△EM∽△E， ∴ ∴E2＝M•＝ 2， ∵设E＝BE＝，E＝b， ∴BF＝2b，D＝6b， ∴b2＝ （2﹣b2） ∴＝2 b ∴B＝2E＝2＝4 b，D＝6b， ∴ ②如图3，过点作平分∠BD，交B 的延长线于，过点B 作BG∥交F 的延长线于点G， ∵ ＝，E 为B 中点． ∴B＝D，E＝BE＝ D ∵∠B＝60°，D∥B， ∴∠BD＝120°， ∵平分∠BD， ∴∠B＝60°＝∠B ∴△B 是等边三角形， ∴B＝＝B＝D， ∵BG∥ ∴∠＝∠GBF＝60°， ∴∠BG＝120°＝∠ED，且∠BF＝∠DE， ∴△BG∽△DE， ∴ ∴BG＝ D ∵BG∥ ∴△BFG∽△F ∴ ∴ ∴F＝ BF ∵B＝BF+F ∴D＝（ ）BF ∴ ＝ 3、【操作发现】 如图①，在正方形BD 中，点、M 分别在边B、D 上，连结M、、M．∠M＝45°，将 △MD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△BE．易证：△M≌△E，从而得DM+B ＝M． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若＝3，M＝4，则正方形BD 的边长是 ． （2）如图②，点M、分别在边D、B 上，且B＝DM．点E、F 分别在BM、D 上，∠EF ＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图③，在矩形BD 中，B＝3，D＝4，点M、分别在边D、B 上，连结M，，已 知∠M＝45°，B＝1，求DM 的长． 【实践探究】 （1）解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D＝D，∠BD＝∠＝∠D＝90°， 由旋转得：△BE≌△DM， ∴BE＝DM，∠BE＝∠D＝90°，E＝M，∠BE＝∠DM， ∴∠BE+∠BM＝∠DM+∠BM＝∠BD＝90°， 即∠EM＝90°， ∵∠M＝45°， ∴∠E＝90° 45° ﹣ ＝45°， ∴∠M＝∠E， 在△M 和△E 中， ， ∴△M≌△E（SS）， ∴M＝E． ∵E＝BE+B＝DM+B， ∴M＝B+DM． 在Rt△M 中，M＝ ＝ ＝5， 则B+DM＝5， 设正方形BD 的边长为x，则B＝B﹣＝x 3 ﹣，DM＝D﹣M＝x 4 ﹣， ∴x 3+ ﹣ x 4 ﹣＝5， 解得：x＝6， 即正方形BD 的边长是6； 故答为：6； （2）EF2＝BE2+DF2， 理由如下：如图②，将△FD 绕点顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△B，连结E， ∴∠DF＝∠B，DF＝B，∠DF＝∠B，＝F， ∵∠EF＝45°， ∴∠DF+∠BE＝45°＝∠B+∠BE， ∴∠E＝45°＝∠EF， 又∵＝F，E＝E， ∴△E≌△EF（SS）， ∴E＝EF， ∵B＝DM，B∥DM， ∴四边形BMD 是平行四边形， ∴D∥BM， ∴∠D＝∠BM， ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠B+∠BM＝90°＝∠BM， ∴BE2+B2＝E2， ∴EF2＝BE2+DF2； （3）如图③，延长B 至P，使BP＝B＝1，过P 作B 的平行线交D 的延长线于Q，延长 交PQ 于E，连接EM， 则四边形PQD 是正方形， ∴PQ＝DQ＝P＝B+BP＝4， 设DM＝x，则MQ＝4﹣x， ∵PQ∥B， ∴△B∽△PE， ∴ ， ∴PE＝ B＝ ， ∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣ ＝ ， 由（1）得：EM＝PE+DM＝ +x， 在Rt△QEM 中，由勾股定理得：（ ）2+（4﹣x）2＝（ +x）2， 解得：x＝2， 即DM 的长是2． 4、如图，在矩形BD 中，点P 为B 边上一点（BP＞P），∠PD＝90⁰，将△PD 沿PD 翻折， 得到△P′D，P′的延长线交D 于点M，过点作∥PM 交B 于点． （1）试判断四边形MP 的形状并说明理由； （2）如图2，连接BD，分别交MP，P 于点E，F，若t∠PD＝ ，求 的值． 解：（1）四边形MP 是菱形； 理由：∵四边形BD 是矩形，∴D∥B， ∴M∥P， ∵∥PM， ∴四边形PM 是平行四边形， ∵将△PD 沿PD 翻折，得到△P′D， ∴∠DP＝∠DP′， ∵D∥B， ∴∠DP＝∠DP， ∴∠DP＝∠DPM，∴DM＝PM， ∵∠PD＝90°， ∴M＝DM＝PM， ∴四边形MP 是菱形； （2）∵t∠PD＝ ＝ ， 可设P＝1，D＝2， 过P 作PG⊥D 于G， 则四边形PDG 与四边形BPG 是矩形， ∴P＝DG＝1，PG＝D＝2， ∵PG⊥D，∠PD＝90°， ∴PG2＝G•GD， 4 ∴＝1•GD， ∴G＝PB＝4， D＝G+GD＝5， ∵BP∥D， ∴△PBF∽△DF， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵DM∥PB， ∴△PBE∽△MDE，DM＝ D＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴EF＝DF﹣DE＝ BD﹣ BD＝ BD， ∴ ＝ ＝ 5、已知四边形BD 是矩形，B＝2，B＝4，E 为B 边上一动点且不与B、重合，连接E（1） 如图1，过点E 作E⊥E 交D 于点 ①若BE＝1，求的长； ②将△E 沿E 翻折，点恰好落在边D 上，求BE 的长； （2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m 的代数式表示S 四边形DFE：S△DF值． 解：（1）①∵BE＝1， ∴E＝B﹣BE＝4 1 ﹣＝3， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠＝90°， ∴∠BE+∠BE＝90°， ∵EF⊥E， ∴∠EF＝90°， ∴∠BE+∠FE＝90°， ∴∠BE＝∠FE， ∴△BE∽△EF， ∴ ＝ ， 即： ＝ ， 解得：＝ ； ②过点E 作EF⊥D 于F，如图1 所示： 则四边形BEF 是矩形， ∴B＝EF＝2，F＝BE， 由折叠的性质得：E＝′E，＝′，∠E′＝∠＝90°， ′ ∴∠D+∠E′F＝90°， ′ ∵∠D+ ′ ∠D＝90°， ∴∠E′F＝∠′D， ∵∠D＝∠EF′， ∴△E′F ′ ∽△D， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ′ ∴D＝BE， 设BE＝x，则′D＝F＝x，′F＝4 2 ﹣x，E＝4﹣x， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴D＝x（2﹣x），＝ ， + ∴D＝x（2﹣x）+ ＝D＝2， 解得：x＝2 或x＝ ， ∴BE＝2 或BE＝ ； （2）∵四边形BD 为矩形， ∴B＝D，D∥B， ∴△DF∽△EBF， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴S△DF＝ s△BEF， S△BF＝ ＝ ＝ S△BEF， S 四边形DFE＝S△DF+S△BF﹣S△BEF＝ S△BEF+ S△BEF﹣S△BEF＝（ + 1 ﹣）S△BEF， ∴S 四边形DFE：S△DF＝（ + 1 ﹣）S△BEF： s△BEF＝1+ ﹣ ． 6、如图①，在矩形BD 中，B＝ ，D＝3，点E 是边D 靠近的三等分点，点P 是B 延长 线上一点，且EP⊥EB，点G 是BE 上任意一点，过G 作G∥BP，交EP 于点．将△EG 绕 点E 逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EM（M、分别是G、的对应点） （1）求BP 的长； （2）求 的值； （3）如图②当α＝60°时，点M 恰好落在G 上，延长BM 交P 于点Q，取EP 的中点K， 连接QK．若点G 在线段EB 上运动，问QK 是否有最小值？若有最小值，请求出点G 运 动到EB 的什么位置时，QK 有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由． 解：（1）如图①中， ∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝∠B＝90°， ∵E＝ D＝1，B＝ ， ∴BE＝ ＝2， ∵BE⊥PE， ∴∠PEB＝90°， ∴∠BE+∠BE＝90°，∠BE+∠EPB＝90°， ∴∠BE＝∠EPB， ∵∠＝∠BEP＝90°， ∴△BE∽△PEB， ∴ ＝ ， ∴PB＝ ＝4． （2）在Rt△BE 中，∵t∠BE＝ ＝ ， ∴∠BE＝30°， ∵∠B＝90°， ∴∠EB＝60°， ∵G∥B， ∴∠EG＝∠EB＝∠EM＝60°， ∴PE＝ EB，E＝ EM， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠PEB＝∠ME＝90°， ∴∠EM＝∠PE， ∴△BEM∽△PE， ∴ ＝ ＝ ． （3）如图2 中，取PB 的中点，连接Q，K．设BQ 交PE 于． ∵△BEM∽△PE， ∴∠EBM＝∠EP， ∵∠BE＝∠P， ∴BE＝∠PQ＝90°， ∵B＝P， ∴Q＝ PB＝2， ∵P＝B，PK＝KE， ∴K＝ BE＝1， ∴QK≥Q﹣K＝1， ∴QK 的最小值为1， 此时，K，Q 共线，PK⊥Q，K＝QK， ∴P＝PQ， ∴∠PK＝∠QPK＝30°， ∴∠EBQ＝∠QPK＝30°， ∵EG＝EM，∠GEM＝60°， ∴△EGM 是等边三角形， ∴EG＝GM，∠EGM＝60°， ∵∠EGM＝∠GBM+∠GMB＝60°， ∴∠GBM＝∠GMB＝30°， ∴GB＝GM， ∴EG＝GB， ∴点G 运动到EB 的中点位置时，QK 有最小值及最小值是1． 7、已知：矩形BD 中，点E、F 为对角线上两点，F＝E． （1）如图1，求证：BE∥DF； （2）如图2，当B＝BE＝ D 时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形BD 面积的 ． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B，D∥B， ∴∠DF＝∠BE， 在△FD 和△EB 中， ， ∴△FD≌△EB（SS）， ∴∠FD＝∠EB， ∴BE∥DF； （2）解：△BF，△DE，△DF，△BE；理由如下： 由（1）得：△FD≌△EB， 同理：△BF≌△DE（SS）， ∴△FD 的面积＝△EB 的面积，△BF 的面积＝△DE 的面积， 作BG⊥于G，如图2 所示： ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝90°，B＝D， ∵B＝BE＝ D， ∴B＝BE＝ B， ∴B＝2B，＝ ＝ B，G＝EG， ∵△B 的面积＝ ×BG＝ B×B， ∴BG＝ ＝ ＝ B， ∴G＝ ＝ ＝ B， ∴E＝2G＝ B， ∵F＝E， ∴△BF 的面积＝△BE 的面积，F＝E＝ B， ∴F＝﹣F＝ B﹣ B＝ B， ∴△BF 的面积＝ F×BG＝ × B× B＝ B2， ∵矩形BD 的面积＝B×B＝B×2B＝2B2， ∴△BF 的面积＝矩形BD 面积的 ， ∴△BF 的面积＝△DE 的面积＝△DF 的面积＝△BE 的面积＝矩形BD 面积的 ． 8、如图1，在正方形BD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，B＝8，P 为线段B 上 一点，连接P，过点B 作BQ⊥P，交D 于点Q，将△BQ 沿BQ 所在的直线对折得到 △BQ′，延长Q′交D 于点． （1）求证：BP＝Q； （2）若BP＝ P，求的长； （3）如图2，延长Q 交B 的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BM'的面积为S， 求S 与x 之间的函数关系式． 解：（1）证明：∵∠B＝90° ∴∠BP+∠PB＝90° ∵BQ⊥P ∴∠PB+∠QB＝90°， ∴∠QB＝∠BP， 在△BP 于△BQ 中， ， ∴△BP≌△BQ（S）， ∴BP＝Q， （2）由翻折可知，B＝B'， 连接B，在Rt△B 和Rt ' △B 中，B＝B'，B＝B， Rt ∴ △B Rt ' ≌△ △B（L）， ∴＝'， ∵BP＝ P，B＝8， ∴BP＝2＝Q，P＝DQ＝6， 设＝'＝，则D＝8﹣， ∴在Rt△DQ 中，（8﹣）2+62＝（+2）2 解得：＝48， 即＝48． （3）解：过Q 点作QG⊥BM 于G，由（1）知BP＝Q＝BG＝x，BM＝MQ． 设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x， ∴在Rt△MQG 中，y2＝82+（y﹣x）2， ∴ ． ∴S△BM′＝S△BMQ﹣S△B'Q＝ ＝ ， ＝ ． 9、已知四边形BD 和四边形EFG 都是正方形，且B＞E． （1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE； （2）如图2，如果正方形EFG 绕点旋转到某一位置恰好使得G∥BD，BG＝BD． ①求∠BDE 的度数； ②若正方形BD 的边长是 ，请求出△BG 的面积． （1）证明：∵四边形BD 和四边形EFG 为正方形， ∴B＝D，G＝E，∠BD＝∠GE＝90°． ∴∠BD+∠DG＝∠GE+∠DG， ∴∠BG＝∠DE． 在△BG 和△DE 中， ， ∴△BG≌△DE（SS）． ∴BG＝DE； （2）解：①连接BE，如图2 所示： 由（1）可知：BG＝DE， ∵G∥BD， ∴∠DG＝∠BD＝45°， ∴∠BG＝∠BD+∠DG＝90°+45°＝135°， ∵∠GE＝90°， ∴∠BE＝360°﹣∠BG﹣∠GE＝360° 135° 90° ﹣ ﹣ ＝135°， ∴∠BG＝∠BE， 在△BG 和△BE 中， ， ∴△BG≌△BE（SS）， ∴BG＝BE， ∵BG＝BD＝DE， ∴BD＝BE＝DE， ∴△BDE 为等边三角形， ∴∠BDE＝60°； ②延长E 交BD 于点，过点G 作G⊥B 于，如图3 所示： 在△BE 和△DE 中， ， ∴△BE≌△BG（SSS）， ∴∠BE＝∠DE， ∴E⊥BD，B＝ BD， ∵B＝D＝ ， ∴BD＝ B＝2， ∴BE＝2，B＝1， ∴＝1， 在Rt△BE 中，由勾股定理得：E＝ ＝ ＝ ， ∴E＝ ﹣1， ∵∠BG＝135°， ∴∠G＝45°， ∴△G 是等腰直角三角形， ∴G＝ G＝ （ ﹣1）， ∴S△BG＝ B•G＝ × × （ ﹣1）＝ ． 10、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定 中有着广泛的运用． （1）如图①，B，，D 三点共线，B⊥BD 于点B，DE⊥BD 于点D，⊥E，且＝E． 若B+DE＝6，求BD 的长． （2）如图②，在平面直角坐标系中，△B 为等腰直角三角形，直角顶点的坐标为（1， 0），点的坐标为（﹣2，1）．求直线B 与y 轴的交点坐标． （3）如图③，∠B＝90°，平分∠B，若点B 坐标为（b，0），点坐标为（0，）．则S 四边 形B＝ ．（只需写出结果，用含，b 的式子表示） 解：（1）∵B⊥BD，DE⊥BD，⊥E， ∴∠B＝∠DE＝∠E＝90°， + ∴∠∠B＝90°，∠ED+∠B＝180°﹣∠E＝90°， ∴∠＝∠ED， 在△B 和△DE 中， ， ∴△B≌△DE（S）， ∴B＝D，B＝DE， ∴BD＝D+B＝B+DE＝6； （2）过点作D⊥x 轴于D，过点B 作BE⊥x 轴于E，如图②所示： ∵△B 为等腰直角三角形 ∴∠D＝∠EB＝∠B＝90°，＝B， ∴∠D+∠D＝90°，∠EB+∠D＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠D＝∠EB， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB（S）， ∴D＝E，D＝BE， ∵点的坐标为（1，0），点的坐标为（﹣2，1）， ∴＝1，D＝1，D＝2， ∴E＝+E＝+D＝2，BE＝D＝+D＝3， ∴点B 的坐标为（2，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 将、B 两点的坐标代入，得 ， 解得： ， ∴直线B 的解析式为：y＝ x+2， 当x＝0 时，解得y＝2， ∴直线B 与y 轴的交点坐标为（0，2）； （3）过点作D⊥y 轴于D，E⊥x 轴于E，如图③所示： ∵平分∠B， ∴D＝E ∴四边形ED 是正方形 ∴∠DE＝90°，D＝E， ∵∠B＝90°， ∴∠D+∠E＝∠EB+∠E＝90°， ∴∠D＝∠EB， 在△D 和△EB 中， ， ∴△D≌△EB（S）， ∴D＝EB，S△D＝S△EB， ∵点B 坐标为（b，0），点坐标为（0，）， ∴B＝b，＝， ∵D＝E， + ∴D＝B﹣BE， 即+D＝b﹣D， ∴D＝ ， ∴D＝+D＝+ ＝ ， ∴S 四边形B＝S 四边形E+S△EB＝S 四边形E+S△D＝S 正方形DE＝D2＝（ ）2＝ ， 故答为： ． 11、如图1，将边长为2 的正方形B 如图放置在直角坐标系中． （1）如图2，若将正方形B 绕点顺时针旋转30°时，求点的坐标； （2）如图3，若将正方形B 绕点顺时针旋转75°时，求点B 的坐标． 解：（1）过点作D⊥x 轴于点D，如图2 所示： 则∠D＝30°， ∵正方形B 的边长为2， ∴＝2， ∴D＝ ＝1