专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法（教师版）

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考 法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．如图，已知 ，P 是 的平分线 上的任意一点， 交 于点 D， 于点E，如果 ，求 的长． 【答】4m 【详解】如图，过点P 作PF⊥B 于点F， ∵平分∠B，PE⊥，∴PF＝PE，∠EP＝∠DP ∵PD ，∠B＝30°，∴∠PDF＝∠B＝30°， ∴∠DP＝∠EP＝∠DP，∴ PD＝D＝8m 在Rt PDF △ 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30° ∴PF= PD=4m，∴ PF＝PE＝4m． 【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ， ． 求证： 平分 ． 【答】见解析 【详解】证明：过点 作 于点 ． ． 在 和 中， ． ． 点 在 的平分线上． 平分 ． ． 【变式训练2】图，已知E⊥B，F⊥．E＝B，F＝，BF 与E 相交于点M． (1)E＝BF； (2)E⊥BF； (3)连接M，求证：M 平分∠EMF． 【答】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析． 【解析】(1)证明：∵E⊥B，F⊥，∴∠BE＝∠F＝90°， ∴∠BE+∠B＝∠F+∠B，即∠E＝∠BF， 在△BF 和△E 中，∵ ， ∴△BF≌△E(SS)，∴E＝BF； (2)根据(1)，∵△BF≌△E，∴∠E＝∠BF， ∵E⊥B，∴∠BE＝90°，∴∠E+∠DE＝90°， ∵∠DE＝∠BDM(对顶角相等)，∴∠BF+∠BDM＝90°， 在△BDM 中，∠BMD＝180°﹣∠BF﹣∠BDM＝180° 90° ﹣ ＝90°，所以E⊥BF． (3)作P⊥E 于P，Q⊥BF 于Q．如图： ∵△E≌△BF，∴P＝Q(全等三角形对应边上的高相等)． ∵P⊥E 于P，Q⊥BF 于Q， ∴M 平分∠EMF． 【变式训练3】已知点是∠M 平分线上一点，∠BD 的两边B、D 分别与射线M、相交于B，D 两点，且∠B+∠D＝180°．过点作E⊥B，垂足为E． (1)如图1，当点E 在线段B 上时，求证：B＝D； (2)如图2，当点E 在线段B 的延长线上时，探究线段B、D 与BE 之间的等量关系； (3)如图3，在(2)的条件下，若∠M＝60°，连接BD，作∠BD 的平分线BF 交D 于点F，交于点， 连接D 并延长交B 于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB 的长． 【答】(1)见解析；(2)D﹣B＝2BE，理由见解析；(3)3． 【详解】(1)证明：如图1，过点作F⊥D，垂足为F， ∵平分∠M，E⊥B，F⊥D，∴E＝F， ∵∠BE+∠D＝180°，∠DF+∠D＝180°，∴∠BE＝∠DF， 在△BE 和△DF 中， ，∴△BE≌△DF(S)∴B＝D； (2)解：D﹣B＝2BE，理由如下：如图2，过点作F⊥D，垂足为F， ∵平分∠M，E⊥B，F⊥D，∴E＝F，E＝F， ∵∠B+∠D＝180°，∠B+∠BE＝180°，∴∠DF＝∠BE， 在△BE 和△DF 中， ，∴△BE≌△DF(S)，∴DF＝BE， ∴D＝F+DF＝E+DF＝B+BE+DF＝B+2BE，∴D﹣B＝2BE； (3)解：如图3，在BD 上截取B＝BG，连接， ∵B＝BG，∠B＝∠BG，B＝B 在△B 和△BG 中， ，∴△B≌△BG(SS)∴∠B＝∠GB， ∵是∠M 的平分线，B 是∠BD 的平分线，∴点到D，B，BD 的距离相等，∴∠D＝∠DF， ∵∠B＝∠D+∠D，∠GB＝∠DF+∠DB，∴∠D＝∠DB＝60°， ∴∠G＝120°，∴∠BG＝∠B＝60°，∴∠DF＝∠BG＝60°，∴∠D＝∠DF， 在△D 和△DF 中， ，∴△D≌△DF(S)， ∴D＝DF，∴DB＝D+B＝DF+BG＝2+1＝3． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例1 如图，△B 的面积为9m2，BP 平分∠B，P⊥BP 于P，连接P，则△PB 的面积为 ______m2． 【答】45 【详解】解：延长P 交B 于E，∵BP 平分∠B，∴∠BP= EBP ∠ ， P BP ∵⊥ ，∴∠PB= EPB=90° ∠ ， 在△BP 和△EBP 中， ，∴△BP EBP(S) ≌△ ，∴P=PE， ∴ ∴ m2，故答为45． 【变式训练1】如图，在△B 中，∠＝90°，B＝，∠B 的平分线BD 交于点D，E BD ⊥ ，交BD 的延长线于点E，若BD＝4，则E＝________． 【答】2 【详解】解：如图，延长B、E 相交于点F， BD ∵ 平分∠B，∴∠BD= BD ∠ ， 在△BE 和△BFE 中， ，∴△BE BFE(S) ≌△ ，∴E=EF， B=90° ∵∠ ，E BD ⊥ ，∴∠F+ F=90° ∠ ，∠BD+ F=90° ∠ ，∴∠BD= F ∠， 在△BD 和△F 中， ，∴△BD F(S) ≌△ ，∴BD=F， F=E+EF=2E ∵ ，∴BD=2E=4，∴E=2．故答为：2． 【变式训练2】如图，在△B 中，∠=90°，B=，D 是上一点，E⊥BD 交BD 的延长线于E，E= BD，且DF⊥B 于F，求证：D=DF 【答】见解析 【解析】证明：延长E、B 交于点F 如图所示：∵E BE ⊥ ，∴∠BE=90°， 又∠F= B=90° ∠ ，∴∠DB+ F= F+ F=90° ∠ ∠ ∠ ，∴∠DB= F ∠， 在△F 和△BD 中, ，∴△F BD(S) ≌△ ，∴F=BD 又E= BD，∴E= F，即点E 是F 的中点，∴B=BF，∴BD 是∠B 的角平分线， =90° ∵∠ ，DF B ⊥于F，∴D=DF 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例1 已知：如图， ， ， 分别平分 和 ，点E 在 上．用 等式表示线段 、 、 三者之间的数量关系，并证明． 【答】B=+BD，证明见详解． 【详解】解：延长E，交BD 的延长线于点F，∵ ，∴∠F= F ∠， ∵ 平分 ，∴∠F= BF ∠ ，∴∠F= BF ∠ ，∴B=BF， ∵ 平分 ，∴E=EF，∵∠F= F ∠，∠E= FED ∠ ， E FDE ∴△≌△ ，∴=DF，∴B=BF=BD+DF=BD+． 【变式训练1】如图1，在△B 中，∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点． (1)求证：∠＝90°＋ ∠B； (2)当∠B＝90°时，且＝3D(如图2)，判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证明． 【答】(1)见解析；(2) E+D=，证明见解析 【解析】(1)证明：∵∠B+∠B+∠B=180°， ∴∠B+∠B=180°-∠B， ∵∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点． = ∴∠ ∠B，∠= ∠B， + = ∴∠∠ (∠B+∠B)= (180°-∠B)=90°- ∠B， =180°-( + )=180°-(90°- ∴∠ ∠∠ ∠B)， 即∠=90°+ ∠B； (2)解： E+D=， 证明：如图2，∵∠=90°+ ∠B=135°，∴∠E=45°， 在上分别截取M、，使M=E，=D，连接M，， 则在△E 和△M 中， ， ∴△E≌△M， 同理△D≌△， ∴∠E=∠M，∠=∠D，D=， ∴∠E=∠M= = ∠∠D=45°， ∴∠M=∠M=45°， 过M 作MK⊥D 于K，ML⊥于L， ∴MK=ML， S△M= ×MK，S△M= ×ML， ∴ ， ∵ ，∴ ， =3 ∵ D，∴ ，∴ ， = ∴ M= E， += ∵ ，∴ E+D=． 【变式训练2】如图，∠B= =90° ∠ ，E 是B 的中点，DE 平分∠D．求证：E 是∠DB 的平分线． (提示：过点E 作EF⊥D，垂足为F．) 【答】见解析 【详解】证明：过点E 作EF⊥D 于点F， =90° ∵∠ ，DE 平分∠D，∴E=EF， ∵E 是B 的中点，∴BE=E，∴BE=EF， 又∵∠B=90°，EF⊥D，∴E 平分∠DB． 【变式训练3】如图所示，已知B( 2 ﹣，0)，(2，0)，为y 轴正半轴上的一点，点D 为第二 象限一动点，点E 在BD 的延长线上，D 交B 于点F，且∠BD＝∠B． (1)求证：∠BD＝∠D； (2)求证：D 平分∠DE； (3)若在D 点运动的过程中，始终有D＝D+DB，在此过程中，∠B 的度数是否发生变化？如 果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠B 的度数． 【答】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠B=60°，理由见解析 【解析】(1)证明：∵∠BD=∠B，∠DFB=∠F， 又∵∠BD+∠BD+∠DFB=∠B+∠D+∠F=180°， ∴∠BD=∠D； (2)证明：过点作M⊥D 于点M，作⊥BE 于点，如下图所示： 则∠M=∠B=90°． ∵B=，⊥B，∴B=， 由(1)可知：∠BD=∠D， ∴△M≌△B (S)，∴M=． ∴D 平分∠DE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)； (3)解：∠B 的度数为60°，理由如下： 在D 上截取P=BD，连接P，如下图所示： ∵D=D+BD，∴D=PD． ∵B=，∠BD=∠D，BD=P，∴△BD≌△P (SS) ， ∴D=P，∠BD=∠P， ∴D=P=PD，即△DP 是等边三角形， ∴∠DP=60°．∴∠B=∠BP+∠P=∠BP+∠BD=60°． 【变式训练4】已知：如图1，在 中， 是 的平分线．E 是线段 上一点 (点E 不与点，点D 重合)，满足 ． (1)如图2，若 ，且 ，则 ________ ， _______ ． (2)求证： ． (3)如图3，若 ，请直接写出 和 的数量关系． 【答】(1)36，126；(2)见解析；(3) 【详解】(1)∵ ，且 ， ∴∠E=∠E=18°，∴∠DE=∠E+∠E=36°， 又∵ 是 的平分线，∴∠BD=∠D=18°， ∵ ，∴∠BE=36°，∴ ；故答为：36，126 (2)在 上截取 ，连接 ， 又∵E=E， ，∴ ，∴ ， ∵∠FE=∠E+∠FE，∠BE=2∠E，∴ ，∴ ∴ ； (3)∵ ，∴ ， ∵ ， ，∠D=∠BE，∴∠D=∠BE， ∵∠BE=2∠E，∴∠D=2∠E，∴E 平分∠B，∴点E 到、B 的距离相等， 又∵ 是 的平分线，∴点E 到、B 的距离相等， ∴点E 到B、B 的距离相等，∴ 是 的平分线， ∴∠BE=∠BE，∴ ， 又∵ ，∴ ， 即 ． 课后训练 1．如图①， 是四边形 的一个外角， // ， ，点 在 的延 长线上， ， ，垂足为 ． (1)求证：① 平分 ；② ． (2)如图②，若 ， ， ．求 的度数． 【答】(1)①见解析；②见解析；(2)90° 【解析】(1)解：①∵D B，∴∠=∠DE， ∵B=BD，∴∠=∠DB， ∴∠DB=∠DE，∴D 平分 ； ②如图，过点F 作F⊥BD，交BD 延长线于， ∵∠FDG=∠DE，∠FD=∠DB，∠ED=∠DB，∴∠FDG=∠FD， ∵FG⊥E，F⊥BD，∴F=FG，∠=∠FGD=∠GF=90°, ∵FD=FD，∴Rt△FD≌Rt△FGD(L)，∴D=DG， ∵ ，∴FB=F， ∴Rt△FB≌Rt△FG(L)∴B=G， ∵BD=B，∴G=B=BD+D=B+DG，即G=B+DG； (2)解：∵B=4，B=3，DG=1， ∴BD=B=3，G=B+DG=3+1=4， ∴D=G+DG=4+1=5， ∵B2+BD2=42+32=52=D2，∴∠BD=90°， 过点F 作FM⊥B 于M，交D 于，如图， 则∠MF=∠BMF=90°=∠BD，∴FM BD，∴∠BFM=∠FBD， ∵ ，∴FB=F， ∴M= B=2，∠FM=∠BFM，∴∠FM=∠FBD， 由(1)②知，Rt△FB≌Rt△FG， ∴∠FG=∠FBD，∴∠FG=∠F， ∵FM BD，∴∠MFD=∠BD， ∵∠BD=∠DE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG， ∴∠FM+∠FG+∠DF+∠FDG=180°， 2 ∴∠FM+2∠DF=180°， 2 ∴∠FD=180°，∴∠FD=90°． 2．已知：如图1，四边形BD 中， ，连接、BD，交于点E， ． (1)求证： ； (2)如图2，过点B 作 ，交D 于点F，交于点G，若 ，求证： ； (3)如图3，在(2)的条件下，若 ，求线段GF 的长． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】(1)解：如图，过点作P⊥BD 于点P，F⊥B，交B 的延长线于点F， ∵P⊥BD，F⊥B，BD⊥B ∴四边形PBF 是矩形 ∠ ∵ B＝135°，∠DB＝90°， ∠ ∴ BP＝45°，且∠PB＝90°，∴P＝PB， ∴四边形PBF 是正方形，∴P＝F，且D＝， ∴ ，∴∠DP＝∠F， ∠ ∵ F+∠P＝90°，∴∠DP+∠P＝90°，∴∠D＝90° (2)如图，过点F 作FM⊥B 于点M，F⊥BD 于点，过点作P⊥BF 于点P，在BD 上截取D＝ B，连接， ∠ ∵ B＝135°，∠BF＝90°， ∠ ∴ BF＝45°，且∠DB＝90°， ∠ ∴ DBF＝∠BF，且F⊥BD，FM⊥B，∴F＝FM， ∵S△DBF＝2S△BF， ∴ ×2，∴BD＝2B， ∴B＝BD﹣D＝BD﹣B＝B， ∠ ∵ ED＝∠BE，∠D＝∠DB＝90°， ∠ ∴ D＝∠B，且D＝，D＝B， △ ∴D △ ≌B(SS)， ∠ ∴ D＝∠B＝135°，＝B， ∠ ∴ B＝∠BD＝45°，∴∠B＝90°， ∵B＝B，∠B＝∠BP，∠B＝∠FB＝45°， △ ∴B △ ≌PB(S)，∴B＝P， ∵B＝P，且∠BP＝∠BP，∠GB＝∠GP， △ ∴GB △ ≌GP(S)，∴G＝G (3)解：如图， ∵B＝3＝P，∠PB＝45°，P⊥BF，∴BP＝P=3， △ ∵GB △ ≌GP，∴BG＝PG＝ ， 在 中，G＝ ＝ ，∴G＝G＝ ，∴＝D＝2G＝3 在 中，D＝ ＝ ， ∵S△DBF＝2S△BF，∴DF＝2F ∵DF+F＝D，∴F＝ 在 中，PF＝ ＝1，∴FG＝PG+PF＝1+ ＝ ． 3．如图1，正方形BD 中，点E 是B 延长线上一点，连接DE，过点B 作BF⊥DE 于点F， 交D 于点G． (1)求证：G=E； (2)如图2，连接F，．若BF 平分∠DBE，求证：F 平分∠E； (3)如图3，若G 为D 中点，B=2，求EF 的长． 【答】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3) 【解析】(1)证明：∵四边形BD 是正方形，∴B＝D，∠BG＝∠DE＝90°， ∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BG＝90°， ∵∠DGF＝∠BG，∴∠GB＝∠ED， 在△BG 和△DE 中， ，∴△BG≌△DE(S)，∴G＝E； (2)证明：∵BF 平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF， ∴F 是Rt△DE 的中线，∴F＝EF，∴∠E＝∠FE， ∵四边形BD 是正方形，∴∠DBE＝∠B＝45°， ∵BF 平分∠DBE，∴∠FBE ∠DBE＝225°， ∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90° 225° ﹣ ＝675°，∴∠FE＝675°， ∴∠F＝180°﹣∠FE﹣∠B＝180° 675° 45° ﹣ ﹣ ＝675°， ∴∠F＝∠FE，∴F 平分∠E； (3)解：∵四边形BD 是正方形， ∴∠BG＝90°，B＝B＝D＝2，BD ， ∵G 为D 中点，∴G＝GD D＝1， 在Rt△BG 中，由勾股定理得：BG ， 设GF＝x， 在Rt△BDF 和Rt△DFG 中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2， ∴ ，解得：x ， ∴DF2＝12 ( ﹣ )2 ，∴DF ， 由(1)知：△BG≌△DE，∴BG＝DE ，∴EF＝DE﹣DF ． 4．已知：在四边形 中， 于E，且 ． (1)如图1，求 的度数； (2)如图2， 平分 交 于F，点G 在 上，连接 ，且 ．求证： ； (3)如图3，在(2)的条件下， ，过点F 作 ，且 ，若 ，求线段 的长． 【答】(1)120°；(2)见解析；(3)3． 【解析】(1)解：如图1，取D 的中点F，连接EF， ∵DE⊥，∴∠ED=90°，∴D=2F=2EF， ∵D=2E，∴E=EF=F，∴∠D=60°，∵∠B+∠D=180°，∴∠B=120°； (2)证明：如图2，作FM⊥B 于M，F⊥B 于点， ∴∠BMF=∠BF=90°，∠GMF=∠F=90°， ∵BF 平分∠B，∴FM=F， 在Rt△BFM 和Rt△BF 中， ，∴Rt△BFM≌Rt△BF(L)，∴BM=B， 在Rt△FMG 和Rt△F 中， ，∴Rt△FMG≌Rt△F(L)， ∴MG=，∴B+=BM+MG，∴B=BG． (3)如图3， 连接G，DF，DG，作FM⊥B 于M，延长GF 交D 于， ∵F=D，∠DE=60°，∴△DF 是等边三角形，∴∠FD=60°，F=DF， ∵GF=F，∠DF=180°-∠FD=120°，∴F=GF=DF， ∴∠FGD=∠FDG，∠FG=∠FG，∴∠GD= ∠F+ ∠DF= ∠FD= ×60°＝30°， ∵∠D=120°，D=DG，∴∠DG=∠DG= =30°， ∴∠DG=180°-∠DG-∠GD=180°-30°-30°=120°， ∴∠DG=∠DF， 1= 2 ∵∠ ∠，∴180°-∠DG- 1=180°- ∠ ∠DF- 2 ∠， ∴∠GF=∠FDG，∠DF=∠FGD，∴∠GF=∠DF， ∵F⊥D，∴FM=F， ∵∠FMG=∠FD=90°，∴Rt△FMG≌Rt△FD(L)，∴D=MG， 同理可得：△MF≌△F(L)， ∴M==2G，∴GM=G=D，∴3G=D= ，∴GM=G= ， ∴BM=BG-GM=B-GM=5- = ， 在Rt△BFM 中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°， ∴BF=2BM=3． 5．如图， 的 和 的平分线 ， 相交于点 ， ． (1)求 的度数； (2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ； (3)如图，在⑵的条件下，在 上取点 ，使得 ，且 ， ， 求 的周长． 【答】(1)120°；(2)见解析；(3)28 【详解】(1)证明：如图1， 分别平分 ， ， ， ， ； (2)如图2，过点 分别作GM⊥B 于M，G⊥B 于， GQ⊥于Q， 平分 ， GM⊥B 于M，G⊥B 于， ，同理 ， ， ∵GM⊥B 于M， GQ⊥于Q， 平分 ； (3)解：∵GM⊥B 于M， GQ⊥于Q，GM=GQ，∴ 平分 ， ∵又 ， ， 在 上取点 ，使 ， 平分 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， △B 的周长为： ， 的周长是 ． 6．如图所示， 是 的高，点为 的垂直平分线与 的交点， ． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，若 ，求证： ； (3)在(2)的条件下，若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析；(2)见解析；(3)1 【详解】解：(1)连接 ， ∵为 的垂直平分线与 的交点，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵