重难点突破08 全等三角形8种模型（一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、平行线中点模型与雨伞模型）（原卷版）

重难点突破08 全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 【一线三垂直模型介绍】只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的 垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系 已知（一线三垂直） 图示 结论（性质） 如图B B ⊥，B=B， E DE ⊥ ，D DE ⊥ ∆BD≌∆BE，DE=D+E 如图B B ⊥，B=B， E DE ⊥ ，D DE ⊥ ∆BD≌∆BE，DE=D-E 已知∠ = DB= ED=90° ∠ ∠ ， B=D ∆DB≌∆DE 延长DE 交于点F，已 知∠DBE = B= EF=90° ∠ ∠ ，=DE ∆B≌∆DBE 【一线三等角模型介绍】三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角 一线三等角类型： （同侧）已知∠= PD= B= ∠ ∠ ∠α，P=PD （异侧）已知∠E= BD= DP= ∠ ∠ ∠α，P=PD 1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的 探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时 的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B 作BD⊥OA于点D，当小 球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的、B、、在同一平面上），过点作CE⊥OA于点E，测得 BD=8cm，OA=17cm．求AE的长． 2．（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线DE上，且 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称 为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，Rt △ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点，过作AD⊥ED于点D，过B 作 BE⊥ED于点E．求证：△BEC ≌△CDA． (2)如图3，在△ABC中，D 是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD， ∠DBA=∠DAB，AB=2❑ √3，求点到AB边的距离． (3)如图4，在▱ABCD中，E 为边BC上的一点，F 为边AB上的一点．若 ∠≝¿∠B，AB=10，BE=6，求 EF DE 的值． 3．（2022·北京·校考一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P 顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点 P的“垂直图形”． (1)点关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________； ②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________； (2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E' F '，点E的对应点为E'，点 F的对应点为F '． ①求点E'的坐标（用含a的式子表示）； ②若⊙O的半径为2，E' F '上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值． 4．（2021·浙江嘉兴·校考一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外 两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△B 中，∠B＝90°，＝B，分别过、B 向经 过点直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△D≌△EB． (1)探究问题：如果≠B，其他条件不变，如图②，可得到结论；△D∽△EB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝1 2x 与直线D 交于点M（2，1），且两直线夹角为 α，且tα＝3 2，请你求出直线D 的解析式． (3)拓展应用：如图④，在矩形BD 中，B＝4，B＝5，点E 为B 边上一个动点，连接E，将线段E 绕点E 顺 时针旋转90°，点落在点P 处，当点P 在矩形BD 外部时，连接P，PD．若△DP 为直角三角形时，请你探 究并直接写出BE 的长． 5．（2022 下·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°， AB=AD，BC ⊥AC于点，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又 ∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为“一线三等角” 模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D 都在直线l 上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x， AB=2，BD=5，用含x 的式子表示D 的长； (2)【拓展】在△ABC中，点D，E 分别是边B，上的点，连接D，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5， BC=6．若△CDE为直角三角形，求D 的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为(2,4 )，点B 为平面内任一点．△AOB是以为斜边的等腰 直角三角形，试直接写出点B 的坐标． 6．（2021 上·山东青岛·九年级统考期中）【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K 型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候 很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形BD 中，E 是对角线BD 上一点，连接E，过点E 作EF⊥E，交直线B 于点F． （1）如图1，若点F 在线段B 上，写出E 与EF 的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F 在线段B 的延长线上，请直接写出线段B，BE 和BF 的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形BD 中，B＝4，E 为D 上一动点，连接E 交BD 于F，过F 作F⊥E 于F，过作G⊥BD 于G．则下列结论：①F＝F；②∠E＝45°；③BD＝2FG；④△E 的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E 是正方形BD 对角线BD 上一点，连接E，过点E 作EF⊥E，交线段B 于点F，交线段于 点M，连接F 交线段BD 于点．给出下列四个结论，①E＝EF；②❑ √2DE＝F；③S△EM＝S△MF；④BE＝ DE+❑ √2BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形BD 是正方形，且D（0，2），点E 是线段B 延长线上一点， M 是线段B 上一动点（不包括点、B），作M⊥DM，垂足为M，交∠BE 的平分线与点，求证：MD＝M （6）如图6，在上一问的条件下，连接D 交B 于点F，连接FM，则∠FM 和∠MB 之间有怎样的数量关系？ 请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠M＝90°，点是射线上的一个定点，点B 是射线M 上的一个动点，且满足B＞．点在线段的延 长线上，且＝B．如图7，在线段B 上截取BE，使BE＝，连接E．若∠B+∠E＝β，当点B 在射线M 上运动 时，β 的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形BD 中，D＝6，点E 是对角线上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交B 于点F，连 接DF，交于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点，若点F 是B 边的中点，则 △EDM 的面积是 ． 7．（2022 上·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等 角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B 作BC ⊥AC于点，过点D 作DE⊥AC于点E．求 证：BC=AE． [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC ⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中 实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC ⊥AF于点 F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________． 8．（2020 上·河南安阳·八年级统考期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， 直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．则线段DE、BD与CE之间的数量 关系是______； （2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，，E 三点都在直线m 上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立， 请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E 是D，，E 三点所在直线m 上的两动点（D，，E 三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE．若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△≝¿的形状，并说明理由． 9．（2023 上·湖南长沙·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B (a,b)是第二象限内一点． (1)若、b 满足等式(a+3) 2+|b−2|=0，求点B 的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，动点以每秒2 个单位长度的速度从点出发，沿x 轴的负半轴方向运动，同时 动点以每秒1 个单位长度的速度从点出发，沿y 轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时， △ABC是AB为斜边的等腰直角三角形； (3)如图2，、分别是x 轴负半轴和y 轴上正半轴上一点，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若E 是线段OC上一点，连接BE交AC于点D，连接AE，当AE=CE，∠OAE=45 ∘，①求证：BE平分 ∠ABC； ②设BD的长为，△ADB的面积为S．请用含的式子表示S． 10．（2022 上·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A ，E三点都在直 线m 上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC． (1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ___________，CE与AD的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系； (3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC ，BD=EF=7 cm，点在线段DE上以2cm/s的速度由点D 向点E 运动，同时，点在线段EF上以x cm/s的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t （s）．是否存在 x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由． 题型02 手拉手模型 【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个 经典的全等模型因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型” 文字说明：1）点 为共用顶角顶点，看作头 2）线段B、为等腰∆B 的两腰，看作两条手臂 线段M、为等腰∆M 的两腰，看作两条手臂 3）点B 与点M 看作左手，线段BM 看作左手拉左手 点与点看作右手，线段看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； SS ③ 证明全等 已知 图示 结论（性质） 如图，直线B 的同一侧作∆B 和∆M 都为等边三角形（、 B、三点共线），连接 BM、，两者相交于点E 1）∆BM≌∆ 2）BM= 3）∠ME=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶 角） 4）∆F≌∆MD 5）∆F≌∆DB 6）连接 DF，DF∥B 7）连接E，E 平分∠BE 8）存在3 组四点共圆 9） E=EM+E，EB=E+E,E=ED+EF 如图，∆B 和∆M 都为等边三 角形（、B、三点不共线）， 连接BM、，两者相交于点 1）∆BM≌∆ 2）BM= 3）∠M=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4）连接，平分∠B 5）存在2 组四点共圆 6）=M+，B=+ 如图，四边形BD 和四边形 EFG 为正方形，连接EB 和 GD，两者交于点 1）∆GD≌∆EB 2）GD=EB 3）GD EB 4 ⊥ ）平分∠ED 11．（2023·安徽黄山·校考一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点A逆时针旋转 一周． (1)如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为_______；直线BD与CE所夹角的度数为_______． (2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问：MN BD 的值是 否随△ADE的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由． (3)M，N分别为BC，DE的中点，连接MN．若AB=3 ❑ √10，AD=6，当△ADE旋转至B，D，E三点 在同一条直线上时，请直接写出MN的值． 12．（2023 下·江西抚州·九年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是平面内不 与点A，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转α得到线段PD，连接AP、CD、BD． (1)当α=60°时， ①如图1，当点P在△ABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP与BD的数量 关系是_______________； ②如图2，当点P在△ABC内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD的数量关系 还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； (2)当α=90°时， ①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由； ②若点A，C，P在一条直线上，且AC=3 PC，线段PC绕点P逆时针旋转α得到线段DP，求BD AP 的值． 13．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主 题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)操作判断 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α (0°<a<360° )，连 接BD，AE，如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段BD与线段AE的数量关系是________； ②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究 如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则（1）中 的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=4 ❑ √2，当点B， D，E三点共线时，请直接写出BD的长． 14．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的 图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把 这种模型称为“手拉手模型”． (1)【问题发现】 如图1 所示，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°， 连接BD、CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是 ；BD和CE的位置关系是 ； (2)【类比探究】 如图2 所示，点P 是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF， 连接DE分别交线段BC、PC于点M、． ①求∠DMC的度数； ②连接AC交DE于点，直接写出DH BC 的值； (3)【拓展延伸】 如图3 所示，已知点为线段AE上一点，AE=6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接 BE交CD于，连接AD交BC于M，连接MN，直接写出线段MN的最大值． 15．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的 底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形 (1)问题发现： 如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，B，DE 分别是底边求证：BD=CE； 图1 (2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点，D，E 在 同一条直线上，M 为△DCE中DE 边上的高，连接BE，请判断∠EB 的度数及线段M，E，BE 之间的数量 关系并说明理由 图2 16．（2019·山东济宁·统考三模）背景材料： 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形 构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手 模型． 例如：如图1，两个等腰直角三角形△B 和△DE，∠B＝∠ED＝90°，B＝，E＝D，如果把小等腰三角形的腰 长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就 是手拉手模型，在这个模型中易得到△BD E ≌△． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知△B，以B，为边分别向△B 外作等边△BD 和等边△E，请作出一个手拉手图形（尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，D，证明BE＝D； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△B 中B＞，DE B ∥，将三角形DE 旋 转一定的角度（如图3），连接E 和BD，证明△BD E ∽△． 学以致用： （3）如图4，四边形BD 中，∠B＝90°，∠D＝∠B＝α，tα＝3 4 ，D＝5，D＝12．请在图中构造小刚发现的 手拉手模型求BD 的长． 17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点顺时针旋转α至A B '，将AC绕点 逆时针旋转β至A C '(0°<α<180° ,0°<β<180°)，得到△A B 'C '，使∠BAC+∠B ' A C '=180°，我们 称△A B 'C '是△ABC的“旋补三角形”，△A B 'C '的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点叫做“旋 补中心”．下列结论正确的有 ． ①△ABC与△A B 'C '面积相同； ②BC=2 AD； ③若AB=AC，连接B B '和C C '，则∠B ' BC+∠C C ' B '=180°； ④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B 'C '