专题22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】（解析版）

专题2210 二次函数解析式的确定【六大题型】 【人版】 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】.........................................................................................................1 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】.........................................................................................................4 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】.........................................................................................................8 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】...................................................................................................10 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】...................................................................................................14 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】............................................................................................18 【知识点1】 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 （ ， ， 为常数， ），转化成一个三元一次方程组，以求得，b，的值 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 【例1】（2022 秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝x2+bx+中的x，y 满足下表： x … 1 ﹣ 0 1 2 3 4 5 … y … 35 1 05 ﹣ 1 ﹣ 05 ﹣ 1 35 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当x 取什么值时，y＞0？ 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式． （2）描点、连线画出图象即可； 1 （3）令y＝0，解方程求得抛物线与x 轴交点的横坐标，根据图象即可求得． 【解答】解：（1）由已知可得， 二次函数y＝x2+bx+经过点（2，﹣1），（0，1），（4，1）则 { 4 a+2b+c=−1 c=1 16a+4 a+c=1 ， 解得：{ a=1 2 b=−2 c=1 ， ∴二次函数解析式为y¿ 1 2x2 2 ﹣x+1； （2）用描点法画出函数图象，如图所示： （3）令y＝0，则1 2x2 2 ﹣x+1＝0， 解得：x1＝2−❑ √2，x2＝2+❑ √2， 由图象知，当x＞2+❑ √2或x＜2−❑ √2时，y＞0， 【变式1-1】（2022 秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1， 4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 【分析】先设所求二次函数的解析式为y＝x2+bx+（≠0），再把（﹣1，10）、（1， 4）、（0，3）代入函数解析式，得到关于、b、的三元一次方程组，解即可求、b、， 进而可得函数解析式． 【解答】解：设所求二次函数的解析式为y＝x2+bx+（≠0）， 根据题意，得{ a−b+c=10 a+b+c=4 c=3 ， 1 解得{ a=4 b=−3 c=3 ， ∴所求二次函数解析式为y＝4x2 3 ﹣x+3． 【变式1-2】（2022 秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+的图象经过（2，0），（4，2）两 点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点． 【分析】把（2 ，0 ），（4 ，2 ）代入y ＝x2+bx+ 中，可得二元一次方程组 { 4+2b+c=0 ① 16+4 b+c=2 ② ，解二元一次方程组可得{ b=−5 c=6 ，即可求出二次函数解析式，再根 据二次函数对称轴的公式x¿−b 2a，顶点坐标公式(−b 2a ，4 ac−b 2 4 a )，把，b，的值代 入计算即可得出答． 【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+中， 得{ 4+2b+c=0 ① 16+4 b+c=2 ② ， ②﹣①， 得2b＝﹣10， 解得：b＝﹣5， 把b＝5 代入①中， 得4+2×（﹣5）+＝0， 解得：＝6， ∴{ b=−5 c=6 ， ∴这个二次函数的解析式y＝x2 5 ﹣x+6， ∴二次函数y＝x2 5 ﹣x+6 对称轴是直线x¿−b 2a=−−5 2×1 =5 2， 由二次函数的顶点坐标公式（−b 2a ，4 ac−b 2 4 a ）可得， 二次函数y＝x2 5 ﹣x+6 顶点坐标：x¿−b 2a=5 2，y¿ 4 ac−b 2 4 a = 4×1×6−(−5) 2 4×1 =−1 4 ， 即（5 2 ，−1 4 ）． 【变式1-3】（2022 秋•上城区期中）已知二次函数y1＝x2+bx+，过（1，﹣32），在x＝﹣2 时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1 交于点P（m，0）． （1）求m 的值； 1 （2）求这个二次函数解析式； （3）求y1大于y2时，x 的取值范围． 【分析】（1）将（m，0）代入直线解析式求解． （2）根据抛物线对称轴为直线x＝﹣2 可得与b 的关系，再将（﹣1，0），（1，﹣32）代 入抛物线解析式求解． （3）联立两方程，根据图象交点横坐标求解． 【解答】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1 得0＝m+1， 解得m＝﹣1． （2）由题意可得抛物线对称轴为直线x¿−b 2a=−¿2， b ∴＝4，y＝x2+4x+， 把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝x2+4x+得{ −32=a+4 a+c 0=a−4 a+c ， 解得{ a=−4 c=−12， y ∴＝﹣4x2 16x 12 ﹣ ﹣ ． （3）令﹣4x2 16x 12 ﹣ ﹣ ＝x+1， 解得x＝﹣1 或x¿−13 4 ， ∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1 和−13 4 ， 如图， ∴−13 4 ＜x＜﹣1 时，y1大于y2． 【知识点2】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式y=a (x−h)2+k ．这顶点坐标为（ ，k ），对称轴直线x = ，最值为当x = 时，y 最值=k 来求出相应的系数 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 【例2】（2022 秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣ 1． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当y＞0 时，求自变量x 的取值范围． 1 【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式为y＝（x+1）2+k，再通过待 定系数法求解． （2）由抛物线顶点式求解． （3）根据抛物线的对称性求出抛物线与x 轴的另一交点坐标，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝（x+1）2+k， 将（﹣3，0），（0，3）代入y＝（x+1）2+k 得{ 0=4 a+k 3=a+k ， 解得{ a=−1 k=4 ， ∴y＝﹣（x+1）2+4． （2）∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）． （3）∵抛物线经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线经过（1，0）， 3 ∴﹣＜x＜1 时，y＞0． 【变式2-1】（2022 秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x 轴两交点间 的距离是6．求抛物线解析式． 【分析】由题意设抛物线解析式为y＝（x+1）2+9，抛物线与x 轴的交点坐标分别为 （﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 又与x 轴交点间的距离为6， ∴交点横坐标为﹣4 与2， ∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0）， 设抛物线解析式为y＝（x+1）2+9， 把点（2，0）代入0＝9+9，解得＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9． 【变式2-2】（2022 秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； 1 （2）观察图象，当﹣2＜x≤1 时，y 的取值范围为 ﹣ 4≤ y ≤0 （直接写出答） 【分析】（1）根据顶点坐标设y＝（x+1）2 4 ﹣，直接把点（1，0）代入即可得到二次 函数的解析式； （2）把x＝﹣2 和x＝1 分别代入解析式，再根据顶点可得y 的取值范围． 【解答】解：（1）∵顶点为（﹣1，﹣4）， ∴设二次函数解析式为y＝（x+1）2 4 ﹣， 把（1，0）代入可得0＝（1+1）2 4 ﹣， 解得＝1， ∴y＝（x+1）2 4 ﹣； （2）当x＝﹣2 时，y＝﹣3，当x＝1 时，y＝0， ∵y 的最小值是﹣4， ∴y 的取值范围是﹣4≤y≤0． 故答为：﹣4≤y≤0． 【变式2-3】（2022 秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为（1，4），交x 轴于点（3， 0），交y 轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求△B 的面积． 【分析】（1）已知了顶点坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后 根据点的坐标可求出二次函数的解析式； 1 （2）先根据（1）中求出的二次函数的解析式，求出B 点的坐标，然后可用待定系数法 用B、的坐标求出B 所在直线的解析式，求出对称轴与直线B 的交点D 的坐标，求三角 形B 的面积转化为三角形BD 和三角形D 面积之和即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝（x 1 ﹣）2+4， 把（3，0）代入解析式求得＝﹣1， 所以y＝﹣（x 1 ﹣）2+4＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴B 点的坐标为（0，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 把（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b 中，得 { 3k+b=0 b=3 ， 解得：{ k=−1 b=3 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3， 设对称轴直线x＝1 与直线B 相交与点D， ∴当x＝1 时，y＝2， ∴D 点坐标（1，2）， 所以D＝4 2 ﹣＝2， S△B＝S△BD+S△D¿ 1 2 ×（1+2）×2＝3， ∴△B 的面积为3． 【知识点3】 已知图像与 x 轴交于不同的两点 ，设二次函数的解析式为 y=a(x−x1)(x−x2)，根据题目条件求出的值． 1 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0） 两点，且图象经过点（0，﹣3），求这个二次函数的解析式． 【分析】设抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣），将（0，﹣3）代入解析式求解． 【解答】解：∵抛物线经过点（﹣1，0），B（3，0）， ∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 将（0，﹣3）代入y＝（x+1）（x 3 ﹣）得﹣3＝﹣3， 解得＝1． ∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣），即y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣． 【变式3-1】（2022 秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣ 1，0），B（3，0）两点，顶点为D． （1）求此二次函数的解析式． （2）求点D 的坐标及△BD 的面积． 【分析】（1）先设函数的交点式，然后将点和点B 代入函数解析式得到二次函数的一 般式； （2）将二次函数的一般式化为顶点式，得到顶点D 的坐标，然后求得△BD 的面积． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴y＝（x+1）（x 3 ﹣）＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， ∴此二次函数的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣． （2）∵y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴点D 的坐标为（1，﹣4）， ∴点D 到B 的距离为4， ∵（﹣1，0），B（3，0）， ∴B＝4， ∴S△BD¿ 1 2 ×4×4＝8． 【变式3-2】（2022 春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M 为抛物线的顶点，其 1 中（1，0），B（3，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M 的坐标． （2）求直线M 的解析式． 【分析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝（x 1 ﹣）（x 3 ﹣）， 将（0，3）代入得：3＝（0 1 ﹣）（0 3 ﹣）， ∴＝1， ∴y＝（x 1 ﹣）（x 3 ﹣）＝x2 4 ﹣x+3， ∴顶点坐标M（2，﹣1）， （2）设直线M 的解析式为y＝kx+b， 将（0，3）、M（2，﹣1）代入得： { b=3 2k+b=−1， ∴{ k=−2 b=3 ． ∴y＝﹣2x+3． 【变式3-3】（2022 秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0）， （1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【分析】根据抛物线与x 轴的交点（﹣1，0），（3，0）可设解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣），将点（1，﹣8）代入求得即可． 【解答】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4＝﹣8， 解得：＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x 3 ﹣）， 即y＝2x2 4 ﹣x 6 ﹣． 25． 1 二次函数的解析式y＝x2 5 ﹣x+6，对称轴是直线x¿ 5 2，顶点坐标是（5 2 ，−1 4 ）． 【知识点4】 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将 已知函数的解析是写成顶点式y = ( x – )2 + k，当图像向左（右）平移个单位时，就在x – 上加上（减去）；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m．其平移 的规律是：值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和 开口方向都没有改变，所以得值不变． 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 【例4】（2022 秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线过（﹣1，3），B（4，8）， （0，0）三点 （1）求该抛物线和直线B 的解析式； （2）平移抛物线，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式： ①平移后抛物线的顶点在直线B 上； ②设平移后抛物线与y 轴交于点，如果S△B＝3S△B． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M 和直线B 的解析式； （2）先求出直线B 与y 轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t， t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出（0，t2+t+4），利用 三角形面积公式得到1 2•|t2+t+4 4|• ﹣ （4+1）＝4× 1 2 ×4×（4+1），然后解绝对值方程求出 得到平移后的抛物线解析式． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝x2+bx+， 把（﹣1，3），B（4，8），（0，0）代入得{ a−b+c=3 16a+4 b+c=8 c=0 ，解得{ a=1 b=−2 c=0 ， ∴抛物线解析式为y＝x2 2 ﹣x； 设直线B 的解析式为y＝mx+， 1 把（﹣1，3），B（4，8）代入得{ −m+n=3 4 m+n=8，解得m＝1，＝4， ∴直线B 的解析式为y＝x+4； （2）当x＝0 时，y＝x+4＝4，则直线B 与y 轴的交点坐标为（0，4）， 设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t） 2+t+4， 当x＝0 时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则（0，t2+t+4）， ∵S△B＝3S△B， ∴1 2•|t2+t+4 4|• ﹣ （4+1）＝3× 1 2 ×4×（4+1）， 即|t2+t|＝12， 方程t2+t＝﹣12 没有实数解， 解方程t2+t＝12 得t1＝﹣4，t2＝3， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x 3 ﹣）2+7． 【变式4-1】（（2022 秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3． （1）求抛物线的顶点坐标，对称轴； （2）当x＝ ＞ 1 时，y 随x 的增大而减小； （3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x 轴上截取的线段长为4，求平移后 的抛物线解析式． 【分析】（1）先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到物线的顶点 坐标，对称轴； （2）根据二次函数的性质求解； （3）先设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx，再根据抛物线与x 轴的交点问题求出 平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（b 2，0），利用两交点间的距离可计算 出b 的值，从而得到平移后的抛物线解析式． 【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x 1 ﹣）2+5， 所以抛物线的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1； （2）当x＞1 时，y 随x 的增大而减小； 故答为＞1； （3）因为平移后的抛物线过原点， 所以设平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx， 解方程﹣2x2+bx＝0 得x1＝0，x2¿ b 2 1 所以平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（b 2，0）， 所以|b 2|＝4，解得b＝8 或﹣8， 所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2x2+8x 或y＝﹣2x2 8 ﹣x． 【变式4-2】（2022 秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1 与x 轴交于点，抛物线y＝﹣2x2 的顶点平移后与点重合． （1）求平移后的抛物线的解析式； （2）若点B（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且−1 2 ＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小． 【分析】（1）求得的坐标，然后根据平移的规律即可求得； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+1 与x 轴交于点， ∴（﹣1，0）， ∵抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点重合， ∴平移后的抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2； （2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下， 故当−1 2 ＜x1＜x2，y1＞y2． 【变式4-3】（2022 秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（1，0），B （3，0），且过点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）