专题22.2 二次函数的图象【六大题型】（原卷版）

专题222 二次函数的图象【六大题型】 【人版】 【题型1 二次函数的配方法】.................................................................................................................................1 【题型2 二次函数的五点绘图法】.........................................................................................................................3 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】..................................................................................................6 【题型4 二次函数图象的平移变换】......................................................................................................................7 【题型5 二次函数图象的对称变换】....................................................................................................................8 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】.........................................................................................................9 【知识点1 二次函数的配方法】 y=ax 2+bx+c (a≠0) ¿a(x 2+ b a x+ c a) ①提取二次项系数； ¿a[x 2+ b a x+( b 2a) 2 −( b 2a) 2 + c a] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； ¿a[(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项; ¿a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a ④化简：去掉中括号 二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c (a≠0)配方成顶点式y=a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ，由此 得到二次函数对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022 秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝（x+）2+k 的形式，并指 出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3； （2）y＝（1﹣x）（1+2x）． 【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点 坐标． 1 （1）y＝2x2 8 ﹣x+7； （2）y＝﹣3x2 6 ﹣x+7； （3）y＝2x2 12 ﹣ x+8； （4）y＝﹣3（x+3）（x 5 ﹣）． 【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝（x+m）2+k 的形式， 并写出他们顶点坐标及最大值或最小值． （1）y＝﹣2x 3 ﹣+1 2 x2 （2）y＝﹣2x2 5 ﹣x+7 （3）y＝x2+bx+（≠0） 【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多 问题 例如：因为52≥0，所以52+1≥1，即：当＝0 时，52+1 有最小值1．同样，因为﹣5 （2+1）≤0，所以﹣5（2+1）+6≤6 有最大值1，即当＝1 时，﹣5（2+1）+6 有最大值6． （1）当x＝ 时，代数式﹣3（x 2 ﹣）2+4 有最 （填写大或小）值为 ． （2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+4 有最 （填写大或小）值为 ． （3）矩形花的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花与墙相邻的边 长为多少时，花的面积最大？最大面积是多少？ 【知识点2 二次函数的五点绘图法】 利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点 与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， 1 （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点： 开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点 【题型2 二次函数的五点绘图法】 【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝x2+bx+中，函数y 与自变量x 的部分对应值 如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6 时，求y 的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象． 【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣ （1）求出该抛物线顶点坐标． （2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． x … … y … … 1 【变式2-2】已知二次函数y＝x2 2 ﹣的图象经过（﹣1，1）． （1）求出这个函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【变式2-3】（2022•越秀区模拟）如图，已知二次函数y=−1 2 x 2+bx+c的图象经过（2， 0）、B（0，﹣6）两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点； （3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴． 1 【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 ① 二次项系数 ：总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． ②一次项系数 ：在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置，对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异” ③常数项 ：总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置． 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 【例3】（2022 春•玉山县月考）函数y＝x2﹣与y＝x+（≠0）在同一坐标系中的图象可能 是（ ） ． B． ． D． 【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝x2+b 的图象如图所示，则一次函数y＝x+b 的图象可能是（ ） 1 ． B． ． D． 【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k 与二次函数y＝x2的图象如图所示，那 么二次函数y＝x2﹣kx﹣k 的图象可能为（ ） ． B． ． D． 【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，是常数，且＜0，二次函数y＝mx2+x+m2 4 ﹣的 图象是如图中三个图象之一，则m 的值为（ ） ．2 B．±2 ．﹣3 D．﹣2 【知识点4 二次函数图象的平移变换】 （1）平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 1 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 （2）平移规律：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概 括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型4 二次函数图象的平移变换】 【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝x2+bx+的图象先向右平移2 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的图象的解析式是y＝（x 3 ﹣）2+5，则+b+＝ ． 【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+3 的图象，可以将函数y＝ ﹣（x 3 ﹣）2的图象（ ） ．向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位 B．向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位 ．向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位 D．向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位 【变式4-2】（2022 秋•滨江区期末）将抛物线y＝x2+bx 1 ﹣向上平移3 个单位长度后，经 过点（﹣2，5），则4 2 ﹣b 1 ﹣的值是 ． 【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x 1 ﹣）（x﹣）（为常数）图象的对称轴 为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y 轴向下平移k 个单位，使其经过点（0，﹣1）， 则k 的值为（ ） ．3 B．4 ．2 D．6 【知识点5 二次函数图象的对称变换】 （1）关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； （2）关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 1 关于原点对称后，得到的解析式是 ； （4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是 ； 关于顶点对称后，得到的解析式是 ． 【题型5 二次函数图象的对称变换】 【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2﹣b）x+b+1 与y＝﹣x2+（+b）x+ 4 ﹣关于x 轴对称，则+b 的值为（ ） ．﹣5 B．3 ．5 D．15 【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y 轴对称的抛物线的表达式为 ． 【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3 绕着原 点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） ．y＝﹣（x 1 ﹣）2 2 ﹣ B．y＝﹣（x+1）2 2 ﹣ ．y＝﹣（x 1 ﹣）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2 【变式5-3】（2022 春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x 轴对称，且它们的顶点相距8 个单位长度，则k 的 值是（ ） ．﹣1 或3 B．1 或﹣2 ．1 或3 D．1 或2 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（﹣1）x2﹣x+2 1 ﹣图象经过原点，则的取 值为（ ） ．＝±1 B．＝1 ．＝﹣1 D．＝0 【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2 6 ﹣x+ 2 ﹣的顶点到x 轴的距离是4，则的 值等于 ． 【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+的顶点在x 轴上，点（m 1 ﹣，） 和点B（m+3，）均在二次函数图象上，求的值为 ． 【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m 1 ﹣，根据下列条件求m 的值． （1）图象的顶点在y 轴上． （2）图象的顶点在x 轴上． （3）二次函数的最小值是﹣1． 1