专题22.10 二次函数解析式的确定【六大题型】（原卷版）

专题2210 二次函数解析式的确定【六大题型】 【人版】 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】.........................................................................................................1 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】.........................................................................................................2 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】.........................................................................................................3 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】.....................................................................................................4 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】.....................................................................................................6 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】..............................................................................................7 【知识点1】 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 （ ， ， 为常数， ），转化成一个三元一次方程组，以求得，b，的值 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 【例1】（2022 秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝x2+bx+中的x，y 满足下表： x … 1 ﹣ 0 1 2 3 4 5 … y … 35 1 05 ﹣ 1 ﹣ 05 ﹣ 1 35 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当x 取什么值时，y＞0？ 【变式1-1】（2022 秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1， 4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 1 【变式1-2】（2022 秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+的图象经过（2，0），（4，2）两 点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点． 【变式1-3】（2022 秋•上城区期中）已知二次函数y1＝x2+bx+，过（1，﹣32），在x＝﹣2 时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1 交于点P（m，0）． （1）求m 的值； （2）求这个二次函数解析式； （3）求y1大于y2时，x 的取值范围． 【知识点2】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式y=a (x−h)2+k ．这顶点坐标为（ ，k ），对称轴直线x = ，最值为当x = 时，y 最值=k 来求出相应的系数 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 【例2】（2022 秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣ 1． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当y＞0 时，求自变量x 的取值范围． 【变式2-1】（2022 秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x 轴两交点间 的距离是6．求抛物线解析式． 【变式2-2】（2022 秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当﹣2＜x≤1 时，y 的取值范围为 （直接写出答） 1 【变式2-3】（2022 秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为（1，4），交x 轴于点（3， 0），交y 轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求△B 的面积． 【知识点3】 已知图像与 x 轴交于不同的两点 ，设二次函数的解析式为 y=a(x−x1)(x−x2)，根据题目条件求出的值． 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0） 两点，且图象经过点（0，﹣3），求这个二次函数的解析式． 【变式3-1】（2022 秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣ 1，0），B（3，0）两点，顶点为D． （1）求此二次函数的解析式． （2）求点D 的坐标及△BD 的面积． 【变式3-2】（2022 春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M 为抛物线的顶点，其 中（1，0），B（3，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M 的坐标． （2）求直线M 的解析式． 1 【变式3-3】（2022 秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0）， （1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【知识点4】 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将 已知函数的解析是写成顶点式y = ( x – )2 + k，当图像向左（右）平移个单位时，就在x – 上加上（减去）；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m．其平移 的规律是：值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和 开口方向都没有改变，所以得值不变． 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 【例4】（2022 秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线过（﹣1，3），B（4，8）， （0，0）三点 （1）求该抛物线和直线B 的解析式； （2）平移抛物线，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式： ①平移后抛物线的顶点在直线B 上； ②设平移后抛物线与y 轴交于点，如果S△B＝3S△B． 【变式4-1】（（2022 秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3． （1）求抛物线的顶点坐标，对称轴； （2）当x＝ 时，y 随x 的增大而减小； （3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x 轴上截取的线段长为4，求平移后 1 的抛物线解析式． 【变式4-2】（2022 秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1 与x 轴交于点，抛物线y＝﹣2x2 的顶点平移后与点重合． （1）求平移后的抛物线的解析式； （2）若点B（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且−1 2 ＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小． 【变式4-3】（2022 秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（1，0），B （3，0），且过点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x 上，并写 出平移后相应的抛物线解析式． 【知识点5】 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此||永远 不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的 形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线1：y＝x2﹣bx 3 ﹣与x 轴交于（﹣1，0）、B（3， 0）两点与y 轴交于点，顶点为D． （1）求抛物线1的表达式； （2）将抛物线1绕原点旋转180°后得到抛物线2，2的顶点为D'，点M 为2上的一点，当 △D'DM 的面积等于△B 的面积时，求点M 的坐标． 【变式5-1】（2022 秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x 1 ﹣，求与这条抛物线关于原点成中 心对称的抛物线的解析式． 【变式5-2】（2022 秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示： 1 （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣3＜x＜0 时，y 的取值范围为 ； （3）将该二次函数图象沿x 轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 ． 【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴交于点（﹣1， 0）和点B，与y 轴相交于点，点D 为抛物线L 的顶点，抛物线L′与L 关于y 轴对称． （1）求抛物线L 的表达式； （2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PB 的面积等于四边形DB 的面积？若存在，求 点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【知识点6】 此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答并不唯一． 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y 轴，且图象不经 过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y 轴，开口向下，且经过点 （1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ． 【变式6-2】（2022 秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学 各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当x＜2 时，y 随x 的增大而减小，当x＞2 时，y 随x 的增大而增大； 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点； 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 ． 【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距 离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝x2+bx+（≠0）与抛物线y＝（x 1 ﹣） 2+1 的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ． 1