专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】（解析版）

专题224 二次函数与一元二次方程【六大题型】 【人版】 【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】......................................................................................................................1 【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】..........................................................................................................3 【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................. 6 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】......................................................................................9 【题型5 由二次函数的图象解不等式】................................................................................................................ 11 【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】............................................................................................13 【知识点1 二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x 轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线 与x 轴交于 ， 两 点，且 ， 此时称抛物线与x 轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线 与x 轴交切于 这一点，此时称 抛物线与x 轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线 与x 轴无交点，此时称抛物线与x 轴相 离 一元二次方程 在实数范围内无解（或 称无实数根） 【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】 【例1】（2022 春•西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+与x 轴只有一个交 点（x1，0）．下列式子中正确的是（ ） ．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m ．m（x1﹣x2）＝ D．m（x1+x2）＝ 【分析】由抛物线与x 轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与 m 的关系． 1 【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x 轴只有一个交点， ∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2， ∴x2 2 ﹣x1x+x1 2=¿（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+， ∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m， 故选：B． 【变式1-1】（2022 春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x 3 ﹣与坐标轴的交点个数有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】由b2 4 ﹣的大小可判断抛物线与x 轴交点个数，由的大小可判断抛物线与y 轴 的交点，进而求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x 3 ﹣， ∴＝1，b＝2，＝﹣3， ∴b2 4 ﹣＝22+12＝16＞0， ∴抛物线与x 轴有2 个交点， ∵＝﹣3， ∴抛物线与y 轴交点为（0．﹣3）， ∴抛物线与坐标轴有3 个交点， 故选：D． 【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+与x 轴只有一个交点，且过点 （m 2 ﹣，），B（m+4，），则的值为（ ） ．﹣9 B．﹣16 ．﹣18 D．﹣27 【分析】根据点、B 的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为 y＝﹣3（x﹣m 1 ﹣）2，直接将（m 2 ﹣，）代入，通过解方程来求的值． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+过点（m 2 ﹣，）、B（m+4，）， ∴对称轴是直线x＝m+1， 又∵抛物线y＝x2+bx+与x 轴只有一个交点， ∴顶点为（m+1，0）， ∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m 1 ﹣）2， 把（m 2 ﹣，）代入，得： ＝﹣3（m 2 ﹣﹣m 1 ﹣）2＝﹣27， 即＝﹣27． 故选：D． 【变式1-3】（2022 春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴的两个交点之间的距离为 1 6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P 关于x 轴对称的点P'的坐标是（ ） ．（3，9） B．（3，﹣9） ．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9） 【分析】根据抛物线y＝x2+bx+与x 轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以 得到b、的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得 到点P 的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即 可得到点P 关于x 轴的对称点的坐标． 【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+与x 轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）， ∵抛物线y＝x2+bx+与x 轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2 4 ﹣x1x2＝36，−b 2×1=¿3， ∴（﹣b）2 4× ﹣ ＝36，b＝﹣6， 解得：＝0， ∴抛物线的解析式为y＝x2 6 ﹣x＝（x 3 ﹣）2 9 ﹣， ∴顶点P 的坐标为（3，﹣9）， ∴点P 关于x 轴的对称点的坐标是（3，9）， 故选：． 【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】 【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题 有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若 s，t（s＜t）是关于x 的方程1+（x﹣m）（x﹣）＝0 的两根，且m＜，则m，，s，t 的 大小关系是（ ） ．s＜m＜＜t B．m＜s＜＜t ．m＜s＜t＜ D．s＜m＜t＜ 【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣）可得抛物线与x 轴交点坐标为（m，0），（，0），开 口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣）与直线y＝﹣1 的交点坐标为（s，﹣1），（t， ﹣1），从而可得m，，s，t 的大小关系． 【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣）＝0 可得（x﹣m）（x﹣）＝﹣1， 由y＝（x﹣m）（x﹣）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣）与x 轴交点坐标为（m，0）， （，0），抛物线开口向上， 则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣）与直线y＝﹣1 的交点在x 轴下方，坐标为（s，﹣1）， （t，﹣1）， ∴m＜s＜t＜． 故选：． 【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝x2+bx+（≠0）的部分图象如图所示，图象 过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程（x+1）（x 5 ﹣）＝﹣3 的两根为x1和x2， 1 且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ） ．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 ．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【分析】方程（x+1）（x 5 ﹣）＝﹣3 的两根即为抛物线y＝（x+1）（x 5 ﹣）与直线y＝ ﹣3 交点的横坐标，据此可判断选项． 【解答】解：令y＝（x+1）（x 5 ﹣）， 则抛物线y＝（x+1）（x 5 ﹣）与y＝x2+bx+形状相同、开口方向相同，且与x 轴的交点 为（﹣1，0）、（5，0）， 函数图象如图所示， 由函数图象可知方程（x+1）（x 5 ﹣）＝﹣3 的两根即为抛物线y＝（x+1）（x 5 ﹣）与直 线y＝﹣3 交点的横坐标， ∴x1＜﹣1＜5＜x2， 故选：． 【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0），方 程（x 1 ﹣）2﹣t2 1 ﹣＝0 的两根分别为m，（m＜），方程（x 1 ﹣）2﹣t2 3 ﹣＝0 的两根分 别为p，q（p＜q），判断m，，p，q 的大小关系是（ ） ．p＜q＜m＜ B．p＜m＜＜q ．m＜p＜q＜ D．m＜＜p＜q 【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0）的图 象，再作出直线y＝1，y＝3，它们与抛物线交于，B 和，D，分别过交点作x 轴的垂线， 则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论． 【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0） 的图象如下图： 1 作直线y＝1 与抛物线y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0）交于，B， 分别经过，B 作x 轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，， ∴m，是方程（x 1 ﹣）2﹣t2 1 ﹣＝0 的两根； 作直线y＝3 与抛物线y＝（x 1 ﹣）2﹣t2（t 是常数，且t≠0）交于，D， 分别经过，D 作x 轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q， ∴p，q 是方程（x 1 ﹣）2﹣t2 3 ﹣＝0 的两根． 由图象可知m，，p，q 的大小关系是：p＜m＜＜q． 故选：B． 【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+的图象与x 轴的两交点的横坐标分 别α，β（α＜β），而x2+bx+ 2 ﹣＝0 的两根为M、（M＜），则α、β、M、的大小顺序 为（ ） ．α＜β＜M＜ B．M＜α＜β＜ ．α＜M＜β＜ D．M＜α＜＜β 【分析】依题意画出函数y＝（x α ﹣）（x β ﹣）和y＝2 的图象草图，根据二次函数的图 象可直接求解． 【解答】解：依题意，画出函y＝（x α ﹣）（x β ﹣）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β）， 方程x2+bx+ 2 ﹣＝0 的两根是抛物线y＝（x α ﹣）（x β ﹣）与直线y＝2 的两个交点． 1 由M＜，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为． 由图象可知，M＜α＜β＜， 故选：B． 【题型3 由二次函数解一元二次方程】 【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点， 关于x 的方程x2+bx++m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x 的方程 x2+bx++＝0（0＜＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ） ．﹣2 或4 B．﹣2 或0 ．0 或4 D．﹣2 或5 【分析】根据二次函数y＝x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后 面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点， ∴当y＝0 时，0＝x2+bx+的两个根为3 和﹣1，函数y＝x2+bx+的对称轴是直线x＝1， 又∵关于x 的方程x2+bx++m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5． ∴方程x2+bx++m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝x2+bx+的图象开口向下， 如图， 0 ∵＜＜m， ∴﹣m＞﹣m， ∵关于x 的方程x2+bx++＝0 （0＜＜m）有两个整数根， ∴直线y＝﹣与y＝x2+bx+的交点的横坐标为﹣2，4， ∴这关于x 的方程x2+bx++＝0 （0＜＜m）有两个整数根，是﹣2 或4， 故选：． 【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝x2 2 ﹣x+（≠0）的图象与x 轴的一个交 点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣x+＝0 的根是 x 1＝﹣ 1 ， x 2＝ 3 ． 【分析】利用二次函数y＝x2 2 ﹣x+的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称 性求得抛物线与x 轴的另一个交点，再利用抛物线与x 轴的交点的横坐标与一元二次方 1 程的根的关系得出结论． 【解答】解：∵y＝x2 2 ﹣x+， ∴抛物线的对称轴为直线x¿−−2a 2a =¿1． ∵二次函数y＝x2 2 ﹣x+（≠0）的图象与x 轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）． ∴关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣x+＝0 的根是：x1＝﹣1，x2＝3． 故答为：x1＝﹣1，x2＝3． 【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝x2+bx+（、b、为常数，且≠0）的y 与x 的部分对应值如下表： x 5 ﹣ 4 ﹣ 2 ﹣ 0 2 y 6 0 6 ﹣ 4 ﹣ 6 则关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 的根是 x 1＝﹣ 4 ， x 2＝ 1 ． 【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性 及抛物线经过（﹣4，0）求解． 【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x ¿ −5+2 2 =−3 2 ， ∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x¿−3 2， ∴抛物线经过（1，0）， ∴一元二次方程x2+bx+＝0 的根是x1＝﹣4，x2＝1． 故答为：x1＝﹣4，x2＝1． 【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与 （5，0）两点，且关于x 的方程﹣x2+bx++d＝0 有两个根，其中一个根是6，则d 的值为 （ ） ．5 B．7 ．12 D．﹣7 【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、， 再把b、代入方程﹣x2+bx++d＝0 后，由方程的根是6 求出d． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点， ∴{ −1−b+c=0 −25+5b+c=0， 解得：{ b=4 c=5， 将b＝4，＝5 代入方程﹣x2+bx++d＝0， 1 可得：﹣x2+4x+5+d＝0， 又∵关于x 的方程﹣x2+4x+5+d＝0 有两个根，其中一个根是6， ∴把x＝6 代入方程﹣x2+4x+5+d＝0， 得：﹣36+4×6+5+d＝0， 解得：d＝7， 经验证d＝7 时，Δ＞0，符合题意， ∴d＝7． 故选：B． 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x 10 ﹣ 中x，y 的一些对应值，则 可以估计一元二次方程x2+2x 10 ﹣ ＝0 的一个近似解为（ ） x … 21 22 23 24 25 … y … 139 ﹣ 076 ﹣ 011 ﹣ 056 125 … ．22 B．23 ．24 D．25 【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根． 【解答】解：如图： x＝23，y＝﹣011，x＝24，y＝056，x2+2x 10 ﹣ ＝0 的一个近似根是23． 故选：B． 【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝x2+bx+中，函数y 与自变量x 的部分对 应值如表，则方程x2+bx+＝0 的一个解的范围是 618 ＜ x ＜ 619 ． x 617 618 619 620 y 003 ﹣ 001 ﹣ 002 004 1 【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0 时，相应的自变量的 取值范围即可． 【解答】解：由表格数据可得，当x＝618 时，y＝﹣001，当x＝619 时，y＝002， 于是可得，当y＝0 时，相应的自变量x 的取值范围为618＜x＜619， 故答为：618＜x＜619． 【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝x2+bx﹣的部分图象，由图象可知关 于x 的一元二次方程x2+bx＝的两个根可能是 x 1＝ 08 ， x 2＝ 32 合理即可 ．（精确到 01） 【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小． 【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程x2+bx＝的两个根可能是：x1＝08，x2＝ 32 合理即可． 故答为：x1＝08，x2＝32 合理即可． 【变式4-3】（2022 秋•萍乡期末）代数式x2+bx+（≠0，，b，是常数）中，x 与x2+bx+的 对应值如下表： x 1 ﹣ −1 2 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 x2+bx+ 2 ﹣ −1 4 1 7 4 2 7 4 1 −1 4 2 ﹣ 请判断一元二次方程x2+bx+＝0（≠0，，b，是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列 选项中的（ ） ．−1 2 ＜x1＜0，3 2 ＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜−1 2，2＜x2＜5 2 ．−1 2 ＜x1＜0，2＜x2＜5 2 D．﹣1＜x1＜−1 2，3 2 ＜x2＜2 【分析】观察表格可知，在x＜1 时，随x 值的增大，代数式x2+bx+的值逐渐增大，x 的 值在−1 2 ～0 之间，代数式x2+bx+的值由负到正，故可判断x2+bx+＝0 时，对应的x 的值 1 在−1 2 ～0 之间，在x＞1 时，随x 的值增大，代数式x2+bx+逐渐减小，x 的值在2～5 2之 间，代数式x2+bx+的值由正到负，故可判断x2+bx+＝0 时，对应的x 的值在2～5 2之间， 【解答】解：根据表格可知，代数式x2+bx+＝0 时，对应的x 的值在−1 2 ～0 和2～5 2之 间， 即：一元二次方程x2+bx+＝0（≠0，，b，是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−1 2 ＜ x1＜0，2＜x2＜5 2 故选：． 【题型5 由二次函数的图象解不等式】 【例5】（2022 秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝x2+与直线y＝mx+交于（﹣1，p），B （3，q）两点，则不等式x2﹣mx+＜的解集为（ ） ．x＞﹣1 B．x＜3 ．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3 或x＞1 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x 的取值范围． 【解答】解：∵（﹣1，p），B（3，q）， 1 ∴﹣＜x＜3 时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3 时，x2+＜mx+， ∴不等式x2﹣mx+＜的解集为﹣1＜x＜3． 故选：． 【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝x2+bx+（≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y 的